TD 4 : nombres complexes

S’1 2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I

TD 4 : nombres complexes

T Exercices théoriques :

1. Démontrer la relatione^iθe^iθ0=e^i(θ+θ0)

2. Donner la forme cartésienne puis le module et l’argument des nombres : (a)√

3+i (b)(1−i)(1+√

3i) (c)(1−i)³ (d) ¹⁺ⁱ_2−i (e) 1−3i 3. Calculer sin5θen fonction de sinθ.

4. Linéariser : (a) sin²θ (b) cos⁴θ (c) sin³θ cos²θ 5. Calculer les racines carrées de :

(a)z₁=−5i (b)z₂=¹₂−^√₂³i (c)z₃=−3+4i 6. Résoudre les équations :

(a)z²+iz−1=0 (b)iz²−(1+i)z+2=0 (c)z⁴=−16 7. On considère six6= π

2+kπ,k∈Z f(x) = 1+itanx 1−itanx.

Donner les parties réelle et imaginaire, le module, l’argument de f(x).

En déduire l’expression de cos(2x)en fonction de tanx.

P Exercices pratiques :

1. D’après un exercice du partiel S1 / 2004-2005 Un courant d’intensitéitraverse le circuit sui- vant :

C R

v u

ConnaissantR,Cetu0, on chercheietv, qui sont liées par la relationi=Cdv

dt.

(a) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la tensionv(t).

(b) Siu₀est une constanteU₀, déterminerv.

(c) Si u₀ est sinusoïdale, donnée sous forme complexe par u₀(t) = Ae^jωt, alors on cherche une solution de la forme v(t) = Be^j(ωt+ϕ).

Donner une relation entreB,ϕetR,C,A, ω.

(d) CalculerϕsiRCω=3.

2. Electricité, bis

Donner l’impédance complexe d’un circuitRLC série, c’est à dire Z tel queu=Zisii(t)est un courant sinusoïdal de pulsationω. Etudier la fonction|Z|quandωvarie.

Application numérique : siR=10Ω,ω=653rad.s⁻¹,L=20mHetC=5.10⁻⁴F, calculer le gain

|Z|et le déphasageϕ=arg(Z).