TP — S´ eries de Fourier

TP — S´ eries de Fourier

Question 1. Soit f la fonction de p´ eriode 1 d´ efinie par:

∀x ∈ [0, 1) f (x) = 1 − x

.

• Tracer le graphe de f avec Maple.

• Calculer les coefficients de Fourier de f en d´ efinissant deux fonctions a et b prenant en argument n et retournant respectivement a

(f ) et b

(f ) (correspondants aux sinus et cosinus).

• Ecrire une proc´ edure S qui ` a N associe la somme partielle S

de N termes de la s´ erie de Fourier de f ,

S

(x) = a

(f ) +

N

X

n=1

[a

(f ) cos 2πnx + b

(f) sin 2πnx] .

• Tracer sur la mˆ eme figure les graphes de f et de la somme partielle de rang 10. Repr´ esenter les graphes des sommes partielles de rang 20, 50, 100 au voisinage du point x = 0. Commentez le r´ esultat.

Les fonctions dont on peut avoir besoin:

frac, floor, int, plot, proc.

Ph´enom`ene de Gibbs: Au voisinage d’un point o`u une fonctionfpr´esente une discontinuit´e, la somme partielle S_N^f de la s´erie de Fourier defpeut pr´esenter un ´ecart important par rapport `a la fonctionfvers laquelle elle converge.

Au voisinage d’un point de discontinuit´e, les valeurs prises par les sommes partielles de la s´erie de Fourier oscillent autour de la valeur vers laquelle elles doivent converger d’apr`es la th´eorie. Par ailleurs, une augmentation deN ne r´eduira pas l’amplitude de l’oscillation contrairement `a ce que l’intuition pourrait sugg´erer. Au contraire, l’´ecart reste de mˆeme ordre que la somme partielle. Toutefois, l’oscillation s’effectuera sur des intervalles de plus en plus petits. Ce ph´enom`ene est appel´e le “ph´enom`ene de Gibbs”. Il fut pour la premi`ere fois expliqu´e du point de vue math´ematique par J. Gibbs en 1899. Ce ph´enom`ene refl`ete les difficult´es qu’il y a `a approcher une fonction discontinue par une somme de fonctions continues sinusoidales.

Question 2. D´ efinissons la fonction

S ˜

(x) = S

x

N

.

• Tracer sur la mˆ eme figure les graphes de ˜ f (x) = f

et de ˜ S

pour N = 10, 20, 50, 100 et x ∈ (−4, 4).

• Remplacer f par une autre fonction g de p´ eriode 1, avec un saut en x = 0 tel que g(−0) = 0, g(+0) = 1 (exemple: g(x) = 1 − x pour x ∈ [0, 1)) et r´ ep´ eter les manipulations pr´ ec´ edentes.

Conclusions?

• Montrer (+ 2 points ` a la note finale) que pour x > 0:

N→∞

lim

S ˜

(x) = 1 π

Z

−2πx

sin y

y dy.