Exercices : 30 - Physique statistique

Exercices : 30 - Physique statistique

1. Atmosph`ere isotherme

On rappelle que la loi de la statique des fluides conduit, dans une atmosph`ere isotherme, `a une loi d’´evolution de la pression en fonction de l’altitudez de la forme suivante :

P(z) =P0exp−M gz RT

o`uM est la masse molaire moyenne de l’atmosph`ere, g l’acc´el´eration de la pesanteur, R la constante molaire des gaz parfaits telle queR=N_AkB et T la temp´erature.P0 est la pression `a l’altitudez= 0.

1. Quelle est la loi d’´evolution de la densit´e volumique moyennenvde particules dans l’atmosph`ere isotherme en fonction de l’altitudez?

2. On consid`ere que l’atmosph`ere est uniquement compos´ee de diazoteN₂et de dioxyg`eneO<sub>2</sub>. Au niveau de la mer, on consid`ere que les fractions molaires des deux compos´es sont dans le rapport 4 :xN2= 4xO2. Pour une atmosph`ere isotherme `aT = 290 K, quel est le rapport des fractions molaires `a 4 000 m d’altitude ? Correcteurs : GC14

2. Quantification ou continuum d’´energie ?

On consid`ere des mol´ecules de diazoteN₂dans un espace unidimensionnel, appel´eboˆıte, de largeurL= 10,0 cm.

Le potentiel est suppos´e nul dans la boˆıte et infini en dehors.

1. En r´esolvant l’´equation deSchr¨odinger, exprimer l’´energieEn d’une mol´ecule de massemdans cette boˆıte, pour un ´etat stationnaire index´e par un nombren`a d´efinir.

2. Calculer l’´ecart entre les deux plus bas niveaux d’´energie d’une mol´ecule.

3. On suppose que les mol´ecules ne peuvent ˆetre que dans les deux plus bas niveaux d’´energie, et que le nombre de mol´ecules dans chacun de ces deux ´etats ob´eit `a une loi statistique de Boltzmann `a la temp´erature T. Donner l’expression de la proportion de mol´ecules de plus haute ´energie. Effectuer l’application num´erique `a T = 300 K.

4. Pour quelle valeur du niveau d’´energie n, l’´energie atteint-elle l’´energie d’agitation thermique `a T = 300 K ? Exprimer alors l’´ecart d’´energie entre les niveauxnet n+ 1. Peut-on r´epondre `a la question du titre de l’exercice ?

On donne : h= 6,62×10⁻³⁴J·s, kB = 1,38×10⁻²³J·K⁻¹, A = 14 (nombre de masse de l’azote), ma= 1,66×10⁻²⁷kg (unit´e de masse atomique).

Correcteurs : GC01

3. Exp´erience de Jean Perrin

Dans son livreLes atomes publi´e en,Jean Perrind´ecrit des exp´eriences qui lui ont permis de mesurer la constante d’Avogadro. Il observe au microscope une suspension de grains sph´eriques dans l’eau, tous les grains ayant un rayonade l’ordre d’un dixi`eme de micron. La suspension est observ´ee dans une cuve de 100µm de profondeur. La densit´e des grains estd= 1,194.

1. Chaque grain est soumis `a son poids et `a la pouss´ee d’Archim`ede. Montrer que l’´energie potentielle Ep(z) d’un grain d’altitude z est de la formeEp(z) =Az o`uA est une constante que l’on exprimera en fonction deg,d,aet de la masse volumique de l’eauµeau.

2. En faisant l’hypoth`ese que les grains suivent la loi deBoltzmann, d´eterminer une longueur caract´eris- tiqueh d´ependant deA et T, longueur caract´erisant la r´epartition des grains selon l’axe Oz. Quel est l’ordre de grandeur deh`a la temp´erature ambianteT = 293 K ? Commenter.

3. Le rayon des grains utilis´es esta= 0,212µm.Jean Perrina trouv´e que les concentrations des grains en quatre plans horizontaux ´equidistants traversant la cuve aux niveaux 5, 35, 65 et 95µm sont propor- tionnelles aux nombres 100, 47, 23 et 12. En d´eduire une valeur approch´ee de la constante d’Avogadro sachant que la constante des gaz parfaits estR= 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹. On prendraT = 293 K.

Correcteurs : GC11

4. Exp´erience de Kappler

L’exp´erience de Kappler en a permis de mesurer la constante de Boltzmann kB en ´etudiant les fluc- tuations de position d’un petit pendule de torsion plac´e dans une enceinte thermostat´ee `a la temp´erature T. Le pendule est constitu´e d’un petit miroir suspendu `a un fil de quartz. Ce miroir peut tourner autour de l’axe vertical du fil. Lorsque sa position est rep´er´ee par l’angleθpar rapport `a la position d’´equilibre, le miroir subit un couple de rappel−Cθ. `A ce couple est associ´ee une ´energie potentielleEp= 1

2Cθ².

1. Un rayon lumineux arrive sur le miroir en faisant un angleθpar rapport `a la normale `a celui-ci. Quel est l’angle d’´emergence du rayon r´efl´echi ? Le rayon r´efl´echi arrive sur un ´ecran situ´e `a grande distance du miroir, soit L cette distance. Exprimer le d´eplacement du rayon lumineux sur l’´ecran lorsque le miroir tourne et que l’angle d’incidenceθvarie d’une tr`es petite quantit´e ∆θ.

2. Du fait des chocs des mol´ecules du gaz sur le miroir, l’angleθ fluctue autour de 0. En utilisant l’´equi- partition de l’´energie, exprimer< θ² >. Quelle valeur dekB Kappler a-t-il trouv´e ? Il a travaill´e avec T = 287,1 K,C= 9,428×10⁻¹⁶N·m,L= 0,865 m. Il a mesur´e< d²>= 1,25×10⁻⁵m².

3. Le fil ´etait en quartz, de longueur ℓ et de diam`etre δ. Sa constante de raideur est C = Gπδ<sup>4</sup> 32ℓ o`u G = 3,114×10⁷Pa est le module de rigidit´e du quartz. En supposant que ℓ ´etait de l’ordre de 1 m, d´eterminer l’ordre de grandeur deδ.

Correcteurs : GC07

5. Ultracentrifugation

Un cylindre de rayona et de hauteur hest rempli d’un gaz parfait masse molaire M. Ce cylindre est anim´e d’un mouvement de rotation `a la vitesseω autour de son axeOz par rapport au r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een. On admet que le gaz atteint un ´etat d’´equilibre dans le r´ef´erentiel du cylindre et qu’il a une temp´erature uniformeT. On ne tient pas compte de la pesanteur.

1. Le r´ef´erentiel li´e au cylindre est-il galil´een ? V´erifier que l’´energie potentielle dans ce r´ef´erentiel d’une mol´ecule de massemsitu´ee au point de coordonn´ees (r, θ, z) est :

Ep=−1 2mω²r²

2. On note n(r) la densit´e volumique de particule r´egnant dans le cylindre `a la distance r de l’ax Oz.

Exprimer n(r)

n(0) en fonction deM,ω,r, T et Rla constante molaire des gaz parfaits.

3. Le dispositif pr´ec´edent est `a la base de la m´ethode d’enrichissement de l’uranium par ultracentrifugation.

L’hexafluorure d’uraniumUF₆est introduit dans des cylindres de rayona= 20 cm qui tournent `a 10 000 tours par minute. La temp´erature estT= 300 K. Calculer num´eriquement n(a)

n(0)dans le cas d’une mol´ecule

238UF₆ de masse molaireM238= 352 g·mol⁻¹, puis dans le cas d’une mol´ecule ²³⁵UF₆.

4. Dans la nature, la fraction molaire de l’isotope²³⁵U est ´egale `a 0,72% et l’op´eration d’enrichissement doit fournir un combustible contenant entre 3% et 5% de cet isotope. On note x235 la fraction molaire de mol´ecules d’hexafluorure contenant²³⁵U. Calculer x235(0)

x235(a). Correcteurs : GC06

6. Syst`eme avec ´etat d´eg´en´er´e

On consid`ere une population deN mol´ecules de dihydrog`eneH₂ind´ependantes, `a l’´equilibre avec un thermostat

`a la temp´eratureT. On consid`ere queN ≫1. Ces mol´ecules poss`edent deux niveaux d’´energie : l’´etat 1 d’´energie ε1 non d´eg´en´er´e et l’´etat 2 d’´energieε2=ε1+ε avecε >0. L’´etat 2 poss`ede une d´eg´en´erescenceg2= 3.

1. Exprimer les nombres moyensN1 etN2 de mol´ecules qui occupent respectivement l’´etat 1 et l’´etat 2 en fonction deN,ε1,ε,kB etT.

2. Donner l’expression de l’´energieEdu syst`eme. Quelles sont les limites de cette ´energie `a haute et `a basse temp´erature ?

3. D´eterminer la capacit´e thermique. Discuter les cas des hautes temp´eratures et celui des basses temp´era- tures.

4. On donneT = 14 K etε= 0,02 eV. Peut-on dire que l’on est en haute temp´erature ? en basse temp´era- ture ? En d´eduire les expressions deN1 et deN2 et celle de l’´energieE du syst`eme.

Correcteurs : GC04

7. Effusion gazeuse

Le r´ecipient de la figure 1 est constitu´e de deux compartiments de mˆeme volumeV, maintenus `a la temp´erature T. Une mole d’un gaz parfait remplit le compartiment (1) alors que le compartiment (2) est vide. `A l’instant t = 0, on perce un petit trou de section s entre les deux compartiments. On ´etudie le passage du gaz du compartiment (1) vers le compartiment (2), ce ph´enom`ene est appel´e effusion gazeuse.

(1) (2)

~ex

Figure 1 – Effusion gazeuse

On note N1(t) et N2(t) les nombres de mol´ecules dans les compartiments (1) et (2). Pour le gaz parfait, on adopte le mod`ele simplifi´e suivant :

— Toutes les mol´ecules de gaz ont la mˆeme vitessevq, vitesse quadratique moyenne.

— Les directions possibles des vitesses des mol´ecules ne peuvent qu’ˆetre~ex,~ey et~ez.

— Les sens des vitesses des mol´ecules sont r´eparties de fa¸con ´equivalente entre toutes les possibilit´es.

1. Rappeler l’expression de la vitesse quadratique moyennevqd’une mol´ecule diatomique dans un gaz parfait

`a l’´equilibre `a la temp´eratureT.

2. ´Etablir l’expression du nombre dN1→2de mol´ecules contenues dans le compartiment (1) `a l’instanttqui traversent la surfacesvers le compartiment (2) entre la datetet la datet+ dt.

3. En d´eduire les expressions de dN1

dt et dN2

dt en fonction de N1, N2,s, vq et V.

4. ´Etablir les expressions deN1(t) et deN2(t). Faire apparaˆıtre une constante de tempsτ et commenter les solutions obtenues. Comment pourrait-on mesurer exp´erimentalementN1(t) etN2(t) ?

5. Comment varieτ lorsque l’on compare l’effusion de dihydrog`eneH<sub>2</sub> et l’effusion de la mol´ecule obtenue avec le deut´erium isotope de l’atome d’hydrog`eneD₂? Expliquer comment dans un processus industriel li´e `a la fusion nucl´eaire, on peut enrichir en deut´erium un m´elangeH₂ − D₂.

Correcteurs : GC08

8. Mod`ele d’Einstein des solides

Afin de pouvoir ´evaluer pr´ecis´ement la capacit´e thermique d’un solide, on utilise le mod`ele unidimensionnel d’Einsteinde. Chaque atome de massemest consid´er´e comme un oscillateur harmonique au sens quantique

`a une dimension. Les niveaux d’´energie d’un tel syst`eme d’´energie potentielleEp(x) = 1

2mω²x² sont quantifi´es : En= (n+1

2)~ω. On poseu= ~ω kBT.

1. Pour un solide en ´equilibre avec un thermostat de temp´eratureT, exprimer la probabilit´e pn(u) qu’un atome soit dans l’´etat indic´e parn.

2. Montrer que l’´energie moyenneε(T) d’un atome vaut : ε(T) = ~ω

2 coth ~ω

2kBT

On donne :

∞

X

n=0

nexp(−αn) = 1 4 sh²α

2

pourα >0.

3. ´Evaluer la capacit´e thermique molaireCV,mol(T) du solide. On rappelle la relation d cothx

dx =− 1

sh²x. 4. Quelle est la limite `a haute temp´erature ? Quelle loi retrouve-t-on ?

5. Tracer l’allure deCV,m(T).

Correcteurs : GC12

9. Instabilit´e des ´etoiles

On consid`ere que le Soleil est un astre sph´erique compos´e deN particules ´el´ementaires assimil´ees `a des protons et des neutrons de masse m = 1,67×10⁻²⁷kg ·m⁻³ (on n´eglige la contribution des ´electrons). On note M = 2×10³⁰kg sa masse etR= 800 000 km son rayon.

1. On consid`ere une plan`ete de massemp en mouvement circulaire autour du Soleil. Montrer que l’´energie potentielle de la plan`ete soumise `a l’interaction gravitationnelle du Soleil est reli´ee `a son ´energie cin´etique par la relationEc=−1

2Ep.

2. D´eterminerN pour le Soleil ainsi que sa masse volumique moyenneµ.

Le Soleil poss`ede une ´energie potentielle gravitationnelle propre due `a l’interaction gravitationnelle entre lesN particules qui le constituent. Celle-ci est donn´ee par l’expression :

Ep,s=−3 5

GM² R

o`uG= 6,67×10⁻¹¹m³·kg⁻¹·s⁻²est la constante de gravitation universelle.

3. La relationEc=−1

2Epest aussi valable pour le Soleil. Exprimer l’´energie interneU du Soleil somme des

´energies cin´etiques desN particules et de l’´energie d’interaction gravitationnelle. En ´etudiantU =f(R) montrer que le Soleil ne peut ˆetre stable, que son rayon ne peut que diminuer tout comme son ´energie.

Que devient l’´energie interne perdue ?

4. On consid`ere que tout le Soleil est `a la temp´eratureT. Exprimer l’´energie cin´etique microscopique totale du Soleil en fonction deN et T. En d´eduire l’expression de son ´energie interne U. Calculer la capacit´e thermique du Soleil. Commenter.

5. On consid`ere maintenant une ´etoile `a neutrons de rayonR^∗= 10 km, de masse volumiqueµ^∗= 10¹⁷kg· m⁻³. ´Evaluer le nombreN^∗ de neutrons contenus dans l’´etoile ainsi que la tailler^∗ de l’espace dont ils disposent en moyenne (leur zone de confinement au sens de la M´ecanique quantique).

6. Proposer une expression de la norme de leur quantit´e de mouvement au sens de la M´ecanique quantique.

En d´eduire une expression de l’´energie cin´etique totale d’origine microscopique de l’´etoile `a neutrons.

En prenant en compte l’´energie d’origine gravitationnelle, donner l’expression de l’´energie interneU^∗ de l’´etoile `a neutrons en fonction deR^∗ entre autres.

7. ´Etudier le graphiqueU^∗=f(R^∗). Montrer que l’´etoile `a neutrons est stable pour un rayonRst que l’on exprimera et que l’on calculera num´eriquement. Commenter le r´esultat.

Correcteurs : GC09

10. Mouvement brownien

On consid`ere une particule de taille de l’ordre du microm`etre plong´ee dans l’eau. Du fait des collisions incessantes avec les mol´ecules d’eau, la particule a un mouvement al´eatoire observable au microscope appel´e mouvement brownien. On mod´elise ce mouvement en se limitant `a sa projection sur une direction horizontale Ox. La particule a une massemet sa position estx(t) avecx(0) = 0. On prend en compte les chocs des mol´ecules d’eau sur la particule de la mani`ere suivante :

— Si la particule est fixe, la force exerc´ee par l’eau fluctue avec une ´echelle de temps (de l’ordre de la dur´ee entre deux chocs) tr`es courte devant la dur´ee d’observation et sa moyenne est nulle :Feau,x =F(t) avec

< F(t)>= 0.

— Si la particule est en mouvement, les chocs avec les mol´ecules d’eau ont pour effet de la freiner et l’eau exerce sur elle la force :Feau,x=−hx˙+F(t) o`u hest une constante.

On note< X > la moyenne d’une grandeurX sur une dur´ee interm´ediaire entre le temps caract´eristique des chocs et la dur´ee d’observation. On admet que :<dX

dt >= d< X >

dt .

1. ´Ecrire le principe fondamental de la Dynamique pour une particule brownienne de masse m soumise uniquement `a la force exerc´ee par l’eau.

2. En admettant que< xF(t)>= 0, montrer que : md< xx >˙

dt =m <x˙²>−h < xx >˙ 3. Que vaut<x˙²>si la temp´erature de l’eau estT?

4. Exprimer< xx >˙ en fonction dekBT,hetτ =m h ett.

5. Montrer que, pourt≫τ,< x²>≃2Dto`uD s’exprime en fonction dekBT et h.

6. La particule brownienne est une sph`ere de rayona= 10µm, de masse volumiqueµ= 1,2×10<sup>3</sup>kg·m<sup>−3</sup>, T = 298 K eth= 6πηao`uη= 10⁻³Pa·s est la viscosit´e de l’eau. On rappelle :kB = 1,38×10⁻²³J·K⁻¹. Calculer num´eriquementτ ainsi que la distance moyenne parcourue en une seconde.

Correcteurs : GC03

11. Effet thermo´electronique

On communique aux ´electrons d’une plaque m´etallique en tungst`ene de l’´energie par chauffage. On admet que les ´electrons se comportent comme les mol´ecules d’un gaz parfait et suivent la statistique de Maxwell- Boltzmann. Le nombre dnv d’´electrons de conduction par unit´e de volume, ayant une composante de leur vitesse suivant un axe (Ox) ´egale `a vx`a dvx pr`es, est donn´e par l’expression :

dnv =nv

m 2π kBT

1/2

exp

− m v_x² 2kBT

dvx

o`unv est le nombre total d’´electrons de conduction par unit´e de volume.

1. L’´energie d’extractionWsest l’´energie n´ecessaire pour qu’un ´electron soit extrait du m´etal. Quelle vitesse minimalev0 doit avoir un ´electron pour sortir du m´etal ? Effectuer l’application num´erique pour Ws= 4,5 eV.

2. En se limitant `a la direction (Ox), perpendiculaire `a la plaque, quel domaine de vitesse correspond aux

´electrons sortants ? En d´eduire le nombre total d’´electrons ´emis par unit´e de temps et de surface, ainsi que le vecteur densit´e de courant ´electrique volumique maximalJ~e.

3. Le tungst`ene a des masses molaire et volumiqueM = 184 g·mol<sup>−1</sup> et ρ= 19,3.10<sup>3</sup>kg·m<sup>−3</sup>. En outre, sa conduction ´electrique est assur´ee par un ´electron par atome. Calculer nv puis le vecteur densit´e de courant ´electrique volumique `a 2 000 K.

Correcteurs : GC05

12. Polarisation d’un di´electrique

La r´epartition des charges dans certaines mol´ecules dissym´etriques, soumises `a un champ ´electrique, les rend

´equivalentes `a des dipˆoles ´electriques permanents. On suppose que, dans le milieu di´electrique ´etudi´e, tous les dipˆoles ont un moment dipolaire ~p, de mˆeme norme pmais d’orientation diff´erente d’une mol´ecule `a l’autre.

La direction du moment dipolaire est rep´er´ee par les angles θ et ϕ des coordonn´ees sph´eriques. On suppose qu’en tout point du di´electrique existe un champ ´electrique uniforme constantE~ parall`ele `a l’axe (Oz) de ce syst`eme de coordonn´ees. On rappelle que l’´energie potentielle E_p d’un dipˆole rigide dans le champ ´electrique E~ a pour expression E_p =−~p·E. De plus, on pr´ecise que, pour~ x≪ 1, on dispose de la relation approch´ee cothx≃1/x+x/3.

1. Pr´eliminaire : depuis un pointO, un moment dipolaire ~ppeut poss´eder toutes les directions possibles de fa¸con ´equivalente (isotropie). Quelle est la probabilit´e d²P pour le dipˆole d’ˆetre dans une direction indiqu´ee par le rep´erage (θ, ϕ) des coordonn´ees sph´eriques `a (dθ,dϕ) pr`es ? On pourra utiliser la notion d’angle solide.

2. Dans le milieu di´electrique en ´equilibre avec un thermostat `a la temp´erature T, le nombre de dipˆoles orient´es selon la direction (θ, ϕ) `a (dθ,dϕ) pr`es s’´ecrit :

d²Nθ,ϕ=A exp(−βE_p) sinθdθdϕ

o`uAest une constante etβ= 1/(kBT) est la temp´erature inverse. Commenter cette loi.

3. En l’absence d’agitation thermique, comment s’orientent les N dipˆoles du milieu ? Quel est l’effet de l’agitation thermique sur le moment dipolaire total ?

4. Montrer que le moment dipolaire total est parall`ele `a (Oz) et calculer la valeur moyennepzde la projection de~psur (Oz). La repr´esenter en fonction de β p E.

5. Pour des champs E~ pas trop intenses ou des temp´eratures assez ´elev´ees, β p E ≪ 1. Montrer que les mol´ecules du milieu di´electrique ont alors un moment dipolaire moyen proportionnel au champ ´electrique et calculer la polarisabilit´eαtelle quepz=α ε0E.

6. `AT = 300 K et pour un moment dipolaire moyen de 1 Debye, l’approximationβ p E≪1 est-elle justifi´ee ? Pour rappel, le debye vaut environ 3,3.10⁻³⁰C·m.

Correcteurs : GC02

13. Mod`ele de fil ´elastique

On mod´elise un fil ´elastique par un ensemble de N maillons OnOn+1 de mˆeme longueura avec N ≫ 1. Ces maillons sont tels que :

−−−−−→

OnOn+1=ǫna ~ex avec ǫn=±1 On poseN+= 1 +x

2 N le nombre de maillons tels queǫn= +1. De plus, on pr´ecise l’entropie du syst`eme v´erifie la formule de BoltzmannS=kB ln Ω o`ukB est la constante deBoltzmannet Ω est le nombre de micro-´etats (pour un macro-´etat donn´e).

1.

2. ExprimerL=O0On en fonction deN,aetx.

3. On suppose queL≪N aet on rappelle la formule de Stirling lnq!≃qlnq−qpour q≫1. Montrer que l’entropie vaut :

S =N kB

ln 2−1

2(1 +x) ln(1 +x)−1

2(1−x) ln(1−x)

4. On donne le d´eveloppement limit´e suivant, pourx≪1 :

(1 +x) ln(1 +x) + (1−x) ln(1−x)≃x² En d´eduire l’expression deSen fonction de kB,L,N eta.

5. On n´eglige toute interaction entre les maillons et on admet que l’´energie cin´etique microscopique de chaque maillon est de la formeα kBT o`u α est une constante. Exprimer l’´energie interne U du fil en fonction deα,N,kB etT.

6. Pour un fil ´elastique fix´e `a une extr´emit´e et tendu `a l’autre extr´emit´e par une forceF, on peut n´egliger le travail des forces de pression et le travail au cours d’une ´evolution ´el´ementaire r´eversible o`u le fil s’allonge de dLvautδWrev =FdL. ´Etablir l’expression de F en fonction deT, kB,N, aet L (on supposeraT fix´ee). Commenter.

Correcteurs : GC13