Diagonalisation
Florian Lavigne
On considère E un K-espace vectoriel de dimension finie, avecK=R ouC.
1 Définitions
Définition 1 :
Soit f ∈ L(E)un endomorphisme.
On dit que λ ∈ K est une valeur propre de f si et seulement s’il existe un vecteur x NON NUL tel que f(x) = λx.
Si λ est une valeur propre de f et si x est un vecteur NON NUL pour lequel on a f(x) = λx, on dit que x est un vecteur propre def associé à la valeur propre λ.
Plus généralementx ∈ E est un vecteur propre de f si x 6= 0E et s’il existeλ ∈Ktel que f(x) =λx.
Si λ est une valeur propre de f, on appelle sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ l’ensemble :
Eλ(f) =ker(f−λid).
Définition 2 :
Soit M ∈ Mn(K).
On dit que λ ∈K est une valeur propre de M si et seulement s’il existe un vecteur X NON NUL deKn tel que M X =λX.
Si λ est une valeur propre de M et si X est un vecteur NON NUL de Kn pour lequel on a M X = λX, on dit que X est un vecteur propre deM associé à la valeur propre λ.
Plus généralement, X ∈ Kn est un vecteur propre de M si d’une partX 6= 0Kn et si d’autre part il existe λ∈Ktel queM X =λX. Si λ est une valeur propre de M, on appelle sous-espace
propre de M associé à la valeur propre λ l’ensemble : Eλ(M) = ker(M −λIn).
ATTENTION ! Les vecteurs propres sont des éléments deE ou deKn NON NULS.
Définition 3 :
Soitf un endomorphisme deE. On appelle polynôme caractéristique de f le polynôme en l’indéterminée (ou variable si l’on préfère) X défini par :
χf(X) = det(f −Xid).
Définition 4 :
Soit M une matrice carrée de taille n. On appelle polynôme caractéristique de M le polynôme en l’indéterminée X défini par :
χM(X) = det(M −XIn).
Définition 5 :
Soit f un endomorphisme de E.
On dit que f est diagonalisable si et seulement s’il existe une base B de E telle que MatB(f) soit une matrice diagonale. Une telle base B est appelée base de diagonalisation de f.
Diagonaliser l’endomorphisme f signifie donner une base B dans laquelle la matrice de f est diagonale ainsi que la matrice de f dans cette base (si une telle base et une telle matrice existent !).
Définition 6 :
Soit M ∈ Mn(K).
On dit que M est diagonalisable si et seulement s’il existe une matriceP inversible telle que D=P−1M P soit diagonale.
Diagonaliser la matrice M signifie donner une matrice inversible P et une matrice D diagonale telles qu’on ait D=P−1M P (si de telles matrices existent !).
2 Propriétés
Dans cette partie, on énonce différentes propriétés liées aux éléments propres d’une matrice. Les mêmes résultats peuvent énoncés pour des endomorphismes f de E.
Théorème 1 :
Soitλ1, . . . , λN des valeurs propresDISTINCTES DEUX À DEUX d’une matrice M. Alors les sous-espaces Eλ1(M), . . . , EλN(M)sont en somme directe.
Proposition 2 :
Soit χM(X)le polynôme caractéristique de la matriceM. Son degré est n, son terme dominant(−1)nXn, son terme constantdet(M)et le terme d’ordre(n−1) est(−1)n−1Tr(M)Xn−1.
Remarque. En particulier, pour une matrice A de taille 2, le polynôme caractéristique est
χA(X) = X2−Tr(A)X+ det(A).
Remarque. Les formules de la Proposition 2 permettent de « vérifier » les calculs du polynôme caractéristique.
Théorème 2 :
Les valeurs propres d’une matrice M sont les racines du polynôme ca- ractéristique χM(X).
Corollaire 1 :
Soit M une matrice carrée de taillen ≥1. Alors M a au plus n valeurs propres, comptées avec leur multiplicité.
Lemme 1 :
Soit M une matrice et λ une valeur propre de M dont la multiplicité dans le polynôme caractéristique estα. Alors :
1≤dim(Eλ(M))≤α.
Théorème 3 :
Soit M ∈ Mn(K). Les propositions suivantes sont équivalentes : 1. M est diagonalisable ;
2. Il existe une base B deKn formée de vecteurs propres de M; 3. Kn est somme directe des sous-espaces propres de M;
4. χM(X)est scindé et pour toute valeur propreλdeM, la dimension deEλ(M) est égale à la multiplicité de la racine λ dans χM(X).
3 Algorithme
ATTENTION ! L’algorithme présenté par la Figure 1 ne permet QUEde déterminer si la matrice est diagonalisable.
Peut-on diagonaliser ... ... un endomorphisme f ∈ L(E)?
... une matrice M ∈ Mn(K)?
Choisir une baseB deE
Calcul de χM(X) χM(X) non scindé
χM(X) scindé
Est-ce que pour tout λ valeur propre MULTIPLE dim(Eλ(M)) =α ?
Non diagonalisable
Diagonalisable M =MatB(f)
Oui Non
Figure1: Algorithme de diagonalisabilité.
Remarque. Après avoir vérifié qu’une matrice est diagonalisable, si on demande de la diagonaliser, il faut :
Calculer les sous-espaces propres (en en donnant une base) associées aux valeurs propres restantes (celles qui sont de multiplicité 1) ;
Ordonner les valeurs propres dans un ordre quelconque λ1, . . . , λs;
Mettre dans une matrice P en colonne, d’abord les vecteurs d’une base B1 de Eλ1(M), puis les vecteurs d’une baseB2 deEλ2(M), et ainsi de suite ;
FournirP avec la matriceD=diag(λ1, . . . , λ1
| {z }
α1 fois
, . . . , λs, . . . , λs
| {z }
αsfois
).
ATTENTION !Il est indispensable de donnerEN MÊME TEMPS la matrice P et la matriceD, car elles ne sont pas indépendantes ! En effet, dans la j-ème colonne de D on trouve la valeur propre associée au vecteur d’indicej dans la matrice P. Si on met les vecteurs de base dans un ordre différent dans
la matrice P, on obtient éventuellement une autre matrice Dassociée.
4 Quelques astuces de vérification
Dans cette partie, sont énoncés plusieurs résultats hors programme sur la diago- nalisation de matrice. Bien que vous ne pouvez pas les utiliser dans un devoir, il est toujours bon de les avoir en tête pour vérifier vos résultats au brouillon.
Proposition 3 :
Soit M ∈ Mn(C). On note λ1, . . . , λn ses valeurs propres.
La trace de M est égale à la somme des valeurs propres de M.
Tr(M) :=
n
X
i=1
mii =
n
X
j=1
λj.
Le déterminant de M est égal au produit des valeurs propres de M.
det(M) =
n
Y
j=1
λj.
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence immédiate des relations coefficients/racines d’un polynôme, de la Proposition 2 et du Théorème 2.
Proposition 4 :
Soit M une matrice.
SidetM = 0, alors 0 est valeur propre.
Si la somme des coefficients de chaque ligne est égale, alors 1 est une valeur propre et(1, . . . ,1)est un vecteur propre associé.
Démonstration. Le premier point est une conséquence immédiate de la Proposition 3. Justifions donc le second. Soit s la somme des coefficients d’une ligne de M. Par hypothèse, pour une ligne i, on a s =Pn
j=1mij. Notons X le vecteur(1, . . . ,1). Dans ce cas, on voit que pour tout indice i :
(M X)i =
n
X
j=1
mijxj =
n
X
j=1
mij =s=s Xi.
On a donc montré queM X =sX, pourX un vecteur non nul. Doncsest valeur propre deM etX est bien un vecteur propre associé.
Exercice. Est-ce que la matrice M =
0 2 −1 1 0 0
−1 4 −2
est diagonalisable ?
Remarque. On peut calculer le polynôme caractéristique de M, et trouver ainsi les valeurs propres de M, pour savoir si elle est diagonalisable ou non. Cependant, nous pouvons être plus rapide, grâce aux Propositions 3 et 4.
En effet, on voit que la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1. Donc 1 est une valeur propre de M. De plus, on peut soit calculer le déterminant de M, soit voir que la colonne C2 est proportionnelle à la troisième C3 = −2C2. Dans tous les cas, det(M) = 0 et 0 est aussi une valeur propre de M.
Nous avons trouvé deux valeurs propres. Enfin, on sait que la trace de M vaut 2, et que c’est la somme des valeurs propres de M. Si on note λ la dernière valeur propre (peut-être complexe) de M, on a +1 + λ = −2. Donc la dernière valeur propre est λ=−3. On a trouvé 3 valeurs propres distinctes de M : elle est diagonalisable. Cepen- dant ce raisonnement utilise des notions en dehors du programme : vous ne pouvez donc pas l’utiliser dans une copie, mais seulement sur le brouillon. Voici ce qu’il faudrait écrire :
Exemple de réponse :
Notons X1 = (1,1,1). On voit que M X1 =X1. Comme X1 n’est pas le vecteur nul, on sait que 1 est valeur propre de M. De la même façon, on peut vérifier que les vecteurs X0 = (0,1,2)et X−3 = (−3,1,−7)sont des vecteurs propres de la matrice M, associés respectivement à 0 et à -3.
La matrice M possède exactement 3 valeurs propres réelles distinctes : elle est donc diagonalisable dans R.
L’intérêt est de ne pas avoir à calculer le polynôme caractéristique, ni de trouver ses racines (tout en évitant des erreurs de calculs possibles).
Proposition 5 :
SiM ∈ Mn(R), et si λ ∈C est une valeur propre deM, alorsλ est une valeur propre de M.
Démonstration. Le polynôme caractéristiqueχM deM est à coefficients réels (carM est à coefficients réels). On sait que les racines de χM sont exactement les valeurs propres de M. Donc χM(λ) = 0, ce qui implique que χM(λ) = χM(λ) = 0. Finalement λ est bien une valeur propre deM.
Théorème 4 :
Une matrice symétrique réelleest diagonalisable dans R.
Exemple. La matrice
1 2 3 2 2 4 3 4 4
est symétrique, donc diagonalisable.
ATTENTION !Une matrice symétrique complexen’estpasforcément diagonalisable.
