Problème proposé par Raymond Bloch
Vous avez trois armadas à installer successivement sur un champ de bataille navale, un carré 10x10 de 100 cases unitaires. Chaque navire est un rectangle identifié par sa largeur l et sa longueur L : il occupe l x L cases unitaires et peut être en contact avec le bord de la grille 10x10, mais deux
navires ne peuvent pas se toucher, même par un coin.
Pour chacun des trois cas, dessinez la grille contenant tous les navires, ou prouvez qu’il est impossible de les placer dans la grille.
1 - Deux 1x4, quatre 1x3, six 1x2, quatre 1x1, et deux 2x2.
2 - Deux 1x4, quatre 1x3, six 1x2, six 1x1 et un 2x2 3 - Deux 1x4, quatre 1x3, six 1x2, et huit 1x1.
A partir du coin inférieur gauche de chaque navire, la zone dans laquelle aucun autre navire ne peut se trouver correspond à la bordure supérieure droite de L+l+1 cases : le problème est équivalent au pavage du carré bordé 11x11 avec les rectangles
correspondants aux navires bordés. Chaque navire bordé est un rectangle (l+1)x(L+1).
1 - Les rectangles représentant les navires bordés sont : 2*2x5 (20 cases), 4*2x4 (32 cases), 6*2x3 (36 cases), 4*2x2 (16 cases) et 2*3x3 (18 cases), soit un total de 122 cases, alors que le carré bordé n’en comporte que 121 : le problème est donc impossible.
2 - Les rectangles sont : 2*2x5 (20 cases), 4*2x4 (32 cases), 6*2x3 (36 cases), 6*2x2 (24 cases), 1*3x3 (9 cases), soit une total de 121 cases. De plus, le carré étant de dimensions impaires, chaque ligne ou chaque colonne doit être recouverte par des rectangle dont un au moins a une dimension impaire : on dispose d’un carré 3x3 qui peut couvrir 3 lignes et 3 colonnes, et de 8 rectangles (deux 2x5 et six 2x3) qui peuvent couvrir 16 lignes ou colonnes : la totalité des 22 lignes et colonnes peut donc théoriquement être recouverte.
Une solution est présentée ci-dessous : pavage du carré bordé donc position des bateaux.
3 - Les rectangles sont : 2*2x5 (20 cases), 4*2x4 (32 cases), 6*2x3 (36 cases), 8*2x2 (32 cases) soit un total de 120 cases : une case ne serait pas recouverte. Comme ci-dessus, chaque ligne (sauf une) et chaque colonne (sauf une) doivent être recouvertes par des rectangles dont un au moins a une dimension impaire ; or, on ne dispose que de 8 tels rectangles, qui ne peuvent couvrir que 16 lignes ou colonne, alors qu’il y en a 20 à couvrir. Le problème est impossible.
