THE LIMITS OF APPLICABILITY OF THE HAZEN-WILLIAMS FORMULA

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7 2 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 6 - N O V E M B R E 1 9 6 0

T h e limits of applicability of the Hazen-Williams formula

B Y M . H . D I S K E N "

B . E . M . S C .

A C T I N G H E A D O F H Y D R A U L I C L A B O R A T O R Y , T E C H N I O N — I S R A E L I N S T I T U T E O F T E C H N O L O G Y ' , H A I F A

Texte français, p. 724

Having been struck by the frequent error of going beyond the limits of application of the Hazen-Williams formula, the author set himself the task of determining these limits under a form corresponding with the Darcy-Weisbach equation and then superimposing the thus transformed equation on Moody's chart.

He thus finds the maximum and minimum values of the coefficient of frictional resistance suitable for use with the Hazen-Williams for

mula and indicates the Reynolds number ranges outside which the formula cannot be expected to supply any reliable results.

L I S T O F S Y M B O L S

C : Hazen-Williams coefficient of pipe roughness.

D : Diameter of pipe.

/ : Darcy-Weisbach coefficient of friction.

g : Acceleration due to gravity.

J : Hydraulic gradient y/L.

K : Numberical factor 0.2004 (lOO/C)1'8 5 2 D-°.°19. L : Length of pipe.

<Jv : Reynolds n u m b e r V D / v . V : M e a n velocity in pipe.

y : Loss of head over length L.

s : Equivalent roughness of pipe.

v : Kinematic viscosity.

T h e wide use m a d e of the Hazen-Williams for

mula in pipe H o w computations, and the availab

ility of tables, n o m o g r a m s and slide rules based on this formula, lead quite often to its use in cases which are outside its limits of application.

It is considered, therefore, important to examine the formula in the light of the general theory of pipe flow and establish the limits of the range in which it is applicable.

T h e general theory of pipe H o w recognizes two regimes of flow; laminar flow at Reynolds n u m bers below the critical Reynolds number of ap

proximately 2 000 and turbulent flow at Rey

nolds numbers above the critival value. T h e turbulent flow region is further subdivided into

three zones : smooth turbulent flow, rough tur

bulent flow, and a transition zone between the smooth and rough turbulent flow zones. This

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1960059

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N O V E M B R E 1 9 6 0 - N " 6 M H . D I S K I N 721

subdivision is m a d e according to the effect of the wall roughness on the flow. In smooth flow the roughness has no effect, the flow being characterized only by the Reynolds number, in the rough flow zone the flow is characterized only by the relative wall roughness and the Reynolds n u m b e r has no effect, while in the transition zone both factors exert their influence.

T h e quantitative description of the general theory of pipe flow is usually m a d e with re- ference to the friction coefficient f in the Darcy- Weisbach formula for loss of head in pipes :

y = / ( L / D ) (V*/2g) (1)

T h e friction coefficient (f) in this formula is a function of the Reynolds n u m b e r ((fi), the rela- tive equivalent roughness (e/D), or both according to the zone flow. T h e functional relations- hip :

/ = «/D) (2) is expressed by a n u m b e r of equations for the

various zones of flow but the most comprehen- sive w a y to express it is by the so called Niku- radse or M o o d y diagram (Fig. 1 ) which shows clearly the zones of flow and the dépendance of

the friction coefficient on the two factors of equation (2) above.

The limits of applicability of the Hazen- Williams equation m a y be determined by ex- pressing it in a form corresponding to Darcy- Weisbaeh's equation (1) and comparing the resultant expression for the friction coefficient (/') with the M o o d y diagram.

Expressed in metric units the Hazen-Williams formula m a y be written as :

0.354 C J°-^r,+ D"^l!:i (3)

Solving for the loss of head, the equation becomes :

6.818 L V1-8 5 2

¿1.852 Dl.l.!7 (4)

which m a y also be written as :

= 6-818

•f ~Q1.852 I)0.1fi7 y o . H S J)

T V2

(5) introducing the acceleration due to gravity to bring the last equation into a form correspond-

ing to equation (1) and taking its value as g = 9.81 m/sec² the last equation becomes :

1 3 3 . 7 7 LVf_

(M.8I.2 ]-)(I.Ï07 yo.i-th J) y q (0)

„ L a m i n a r _ Critical J F l o w I Flow, - Écoulemt | Écoulem*

\ laminaire , critique

2(10J) 3 4 5 6 8 10* 21 0*) 3 4 5 6 B »5 2I105) 3 4 5 6 8 l b6 2(106> 3 4 5 6 8 I07 2(loIl_34 5 - 6 ^ 8 J 08

R e y n o l d s n u m b e r - Nombre de Reynolds-lfà-.ïf-) 0,000 005

^^•0,000 001

F I G . 1

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722 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 6 - N O V E M B R E 1 9 6 0

showing that the expression for the coefficient of friction as given by Hazen-Williams' for

mula is :

™M1 (7)

' Q1.852 rjO.lllT y o . H S v

T o m a k e the last expression comparable with equation (2) above or with the M o o d y Diagram w e must introduce into it a kinematic viscosity (v) term, which, it is assumed, w a s contained in the numerical term (133.77) of the expres

sion. Since the Hazen-Williams formula is res

tricted to water at ordinary temperature w e m a y take a m e a n value of kinematic viscosity of v = 1.14 X 1 0 -6 mVsec. for water at 15 °C and introduce it into the last expression :

f =

133.77 (100/Qi-8 5 2

(100/C)1-8 5 2 (1.14.10-8)0 1 4 8 D ° -0 1 9 (VD/v)°-14S

(8) giving :

/ = 0.2004 (100/C)¹-^{8 3}

Do.019 ( V D / v )⁰-^{1 4 8}(9) T h e expression obtained for the coefficient of friction / shows that the Hazen-Williams for

mula is applicable only in the transition zone of turbulent flow where / depends on the Rey

nolds n u m b e r öl == V D / v and on the relative roughness of the pipe which in this case is ex

pressed by the term ( l O O / O ^ / D0-0 1 9. Further

more, the expression shows that the Hazen- Williams formula is applicable in part of the transition zone only, since it gives a straight line variation between log / and log (R, whereas the transition zone lines in the M o o d y diagram are curved.

T h e limits of Reynolds numbers range in which Hazen-Williams expression for the coef

ficient of friction, eq. (9) is a good approxima

tion of the transition zone lines m a y be obtain

ed by superimposing on the M o o d y diagrams lines representing equation (9) which m a y be writen as :

' d l0-1 4 8

where K is a constant factor for a given pipe, depending on the pipe diameter and its rough

ness expressed by the coefficient C : K = 0.2004 a 0° / Q ;8 5 2

J)0.019 (ID

0,008

4 6 8 10= 2(10=1 4 S 8 1 0^s 2t10⁶l 4 6 8 10' Reynolds number - Nombre de Reynolds (j\ =

F I G . 2

2(10' 6 8 1 08

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N O V E M B R E 1960 - № 6 M H. DISKIN 723

Numerical values of K are given in table I for various values of D and C. T h e M o o d y dia

gram with the Hazen-Williams formula lines superimposed upon it is given in Fig. 2. This diagram shows clearly that the Hazen-Williams formula is applicable only for pipes having a Hazen-Williams coefficient C in the range 100 to 160 and further that for each pipe the formula is applicable to a restricted range of Reynolds numbers.

T h e range of Reynolds numbers over which the formula is applicable m a y roughly be fixed by determining, for each of the lines in the M o o d y diagram, the range in which its slope is approximately — 0.148. T h e results obtained are given in Table II which shows also the approxi

mate values of C corresponding to the relative equivalent roughness value (s/D).

Valeurs de K ; Values of K j

T A B L E I :

= 0.2004 (lOO/C)1-8^ D-o-oi»

c D ( m )

0.05 0.10 0.25 0.50 1.00 160 0.0888 0.0877 0.0862 0.0850 0.0839 140 0.1138 0.1123 0.1103 0.1089 0.1075 120 0.1513 0.1494 0.1468 0.1449 0.1430 100 0.2121 0.2094 0.2058 0.2031 0.2001 80 0.3208 0.3165 0.3111 0.3070 0.3030 60 0.5465 0.5393 0.5300 0.5231 0.5162

CONCLUSION

T h e Hazen-Williams formula is applicable only to pipes having a coefficient C in the range 100- 160. For each of these pipes the formula should be used only in the range of Reynolds numbers given in table II.

T A B L E II :

Limits of applicability of the Hazen-Williams formula.

Limites d'applicalion de la formule d'Hazen-Williams.

e/D _{$ V m a x} Approx. C

2 X 10-2 2 X 10» 5 X lO3 100 1.5 ^X 10-2 2 X 103 7,5 X 10³ 110 10-2 2 X 103 1 X 10* 110 6 ^X^10-3 4 X 10³ 2 _X10* 120 4 X 10-3 8 X lO3 2.5 X 10* 120 2 ^X 10-3 1 X 10* 4 X 10* 130 10-3 2 X 10* 1 X 105 130 6 X 10-4 3 X 10* 1.5 X 105 140 4 x^io-i4 X 10* 2 X 105 140 2 X 10-* 6 X 10* 4 X 105 140 10-* 8 X 10* 8 X 105 150 5 x io-5 1 X 105 1 X 108 150 10-5 4 X 105 4 X 10« 160 5 ^X^10-8 6 X 10⁶ 2 X lO* 160

P R O F E S S E U R D ' H Y D R A U L I Q U E - U N I V E R S I T É L A V A L Q U É B E C - C A N A D A

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7 2 4 LA H O U I L L E B L A N C H E № 6 - N O V E M B R E 1 9 6 0

Limites ^application d e la formule d'Hazen-Williams*

P A R M . H . D I S K L X

B . E . M . S C .

A C T I N G H E A D O F H Y D R A U L I C L A B O R A T O R Y , T E C H N I C S I S R A E L I N S T I T U T E O F T E C H N O L O G Y , H A I F A

English text, p. 720

L'auteur, frappé par le fait qu'on est souvent conduit à outrepasser les limites d'application de la formule d'Hazen-Williams, s'est proposé de déterminer ces limites en mettant l'équation d'Hazen-Williams sous une jorme correspondant A l'équation de Darcy-Weisbach et en super- posant au diagramme de Moody l'équation ainsi transformée.

Il obtient ainsi pour le coefficient de rugosité les valeurs maximale et minimale utilisables avec la formule d'Hazen-Williams et indique les tranches de nombres de Reynolds en dehors desquelles la formule ne peut plus être em- ployée avec sécurité.

L I S T E D E S S Y M B O L E S

C : Coefficient de rugosité de la conduite selon Hazen-Williams.

D : Diamètre de la conduite.

f : Coefficient de frottement selon Darcy-Weisbach.

g : Accélération duc à la pesanteur.

J : Gradient hydraulique ij, L.

K : Paramètre = 0,2004 (100/C)1-*52 D-°.»19. L : Longueur de la conduite.

Cîl : N o m b r e de Reynolds = VD/v.

V : Vitesse moyenne dans la conduite.

y : Perte de charge sur la longueur L.

s : Rugosité équivalente de la conduite, v : Viscosité cinématique.

Le fréquent usage de la formule d'Hazen- Williams dans les calculs du débit d'une conduite, et le fait qu'on dispose de tables, de no- m o g r a m m e s et de règles à calculs basés sur cette formule, conduisent bien souvent à l'employer dans des cas qui outrepassent ses limites d'applicalion. Aussi importe-t il d'examiner cette for-

(*> Voir Figures et tableaux au texte anglais, p. 720 à 723.

mule à la lumière de la théorie générale de l'écou- lement en conduite et de fixer les limites de son c h a m p d'application.

L a théorie générale de l'écoulement en conduite admet deux régimes d'écoulement : l'écou- lement laminaire, à des nombres de Reynolds inférieurs à la valeur critique d'environ 2 000, et l'écoulement turbulent, pour des nombres de Reynolds supérieurs à cette valeur critique. L a région de l'écoulement turbulent est divisée en-

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N O V E M B R E 1 9 6 0 - № '6 M H. DISKIN 725

suite en trois zones : écoulement turbulent lisse, écoulement turbulent rugueux, et une zone in- termédiaire, formant transition entre la zone à écoulement lisse et celle à écoulement rugueux.

Cette division est établie d'après les effets de la rugosité de la paroi sur l'écoulement. D a n s l'écoulement lisse, la rugosité n'exerce aucun effet, et l'écoulement est caractérisé uniquement par le nombre de Reynolds; dans la zone d'écou- lement rugueux, l'écoulement est caractérisé uniquement par la rugosité relative de la paroi, et le nombre de Reynolds n'a pas d'influence; enfin, dans la zone intermédiaire, ces facteurs exer- cent tous deux leur influence.

L'analyse quantitative de la théorie générale de l'écoulement en conduite est faite d'ordinaire en prenant en compte le coefficient de frottement f de la formule de Darcy-Weisbach pour la perte de charge en conduite :

y = f (L/D) ( V V 2 g) (1) D a n s cette formule, le coefficient de frotte- ment / est fonction du nombre de Reynolds cK, de la rugosité relative équivalente s/D, ou des deux, suivant la zone d'écoulement considérée.

L a fonction

f = 9(ól; s/D) (2)

est traduite pour de nombreuses équations poul- ies différentes zones d'écoulement, mais sa forme d'expression la plus complète est celle dite dia- g r a m m e de Nikuradse ou de M o o d y (fig. 1), qui montre clairement les zones d'écoulement et la dépendance du coefficient de frottement à l'égard des deux facteurs de l'équation (2) ci-dessus.

Les limites d'application de l'équation d'Hazen- Williams peuvent être déterminées en la mettant sous une forme correspondant à l'équation (1) de Darcy-Weisbach, et en comparant au dia- g r a m m e de M o o d y l'expression du coefficient de frottement f qui en résulte.

E n unités métriques, la formule d'Hazen-Wil- liams peut s'écrire :

V = 0,354 C J0-5'4 D°.B S (3) pour là perte de charge, cette équation devient :

6,818 L V1-8 5 2

£1,852 1)1,107

et peut aussi être écrite:

6,818 y

L V2

Cl,852 1)0,167 yO,14S J)

(4)

(5) E n introduisant l'accélération due à la pesanteur pour mettre cette dernière équation sous une forme correspondant à l'équation (1), et en pre-

nant pour g la valeur 9,81 m / s2, on obtient 133,77

Ql,852 J)0,l(¡7 yo,148

D2g (6)

ce qui montre que l'expression du coefficient de frottement découlant de la formule d'Hazen- Williams est :

133,77

(21,852 J)0,l«7 yo.l-f! (7) Pour rendre cette dernière expression comparable à l'équation (2) ou au diagramme de Moody, nous devons y introduire la viscosité cinémati- que v, qui est supposée contenue dans le terme numérique 133,77.

Puisque la formule d'Hazen-Williams se li- mite à l'eau prise à la température ordinaire, nous pouvons adopter une valeur moyenne polil- la viscosité cinématique :

v = 1,14.10-° m2/ s pour l'eau à 15 °C et introduire cette valeur dans la dernière expression :

133,77 (100/C) ^1,852

soit :

(100/C)1.8 5 2 (1,14.10-«)0-148 D°.°in ( V D / v j " . »8

(8) / = 0,2004 (100/C)1'8 5 2 1

D0 , 0 1 9 (VD/v)«.:

(9) L'expression obtenue pour le coefficient de frottement f montre que la foi-mule d'Hazen- Williams est applicable seulement dans la zone intermédiaire de l'écoulement turbulent où /' dé- pend à la fois du nombre de Reynolds <ft=VD/v et de la rugosité relative de la conduite, rugosité qui est ici exprimée par le terme :

(lOO/QL^VDo.oi».

E n outre, elle montre que ladite formule est applicable à une partie seulement de la zone inter- médiaire, puisqu'elle conduit à une relation linéaire rectiligne entre log / et log <Jl, alors que les tracés de la zone intermédiaire dans le dia- g r a m m e de M o o d y sont des courbes.

Les limites des nombres de Reynolds dans les- quelles le coefficient de frottement selon Hazen- Williams (équation 9) fournit, avec une bonne approximation, les tracés de la zone intermé- diaire, peuvent être obtenues en superposant au diagramme de M o o d y les tracés représentant l'équation (9) qui peut s'écrire :

f-

K

di⁰-^{1 4 8} ⁽¹⁰⁾

expression où K est un facteur constant pour une conduite donnée, dépendant du diamètre de

(7)

7 2 6 LA H O U I L L E B L A N C H E № 6 - N O V E M B R E 1 9 6 0

la conduite et de sa rugosité représentée par le coefficient C :

K = 0,2004 - - p ^ ! '⁸"² ( H )

Les valeurs numériques de K sont données dans le tableau I pour diverses valeurs de D et de C. L a figure 2 montre la superposition des tracés de la formule d'Hazen-Williams au dia- g r a m m e de Moody. O n voit clairement sur ce gra- phique que la formule est applicable seulement aux conduites ayant u n coefficient C d'Hazen- Williams compris entre 100 et 160 et, de plus, que pour chacune de ces conditions, la formule n'est applicable qu'à une tranche restreinte de nombres de Reynolds.

L a tranche des nombres de Reynolds à l'inté-

rieur de laquelle la formule est applicable peut être délimitée approximativement en détermi- nant, pour chaque ligne du diagramme de Moody, le c h a m p dans lequel la pente est d'environ 0,148.

Les résultats obtenus sont consignés dans le tableau II, qui donne aussi les valeurs appro- chées de C correspondant à la valeur de la rugo- sité relative équivalente e / D .

CONCLUSION

L a formule d'Hazen-Williams est applicable exclusivement aux conduites dont le coefficient C est compris entre 100 et 160. Pour chacune de ces conduites, la formule ne doit être employée que pour les tranches de nombres de Reynolds indiquées dans le tableau IL

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