Devoir de Mathématiques N°2 Durée :3h TGF
Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun document n’est autorisé.
Exercice1 (4pts):
Dans l’entreprise de Sophie qui fabrique et vend un seul produit, le relevé des ventes mensuelles et des charges (en centaines d’euros) donne le tableau suivant :
Mois jan fev mars avril mai juin juil aout sept oct nov dec nombres
de ventes xi
18 16 21 22 28 28 10 11 27 25 26 20
montant des charges
yi (en centaines
d’euros)
20 16 18 21 26 24 12 12 22 20 22 15
1. Représenter le nuage de points de coordonnées (xi ;yi) dans un repère orthogonal. On prendra les unités suivantes :
-1cm pour 2 ventes en abscisses ;
-1 cm pour 2 centaines d’euros en ordonnée.
2.a) Calculer les coordonnées du point G, le point moyen du nuage de point. Placer G sur le graphique.
b)A l’aide de la calculatrice , donner une équation de la droite d’ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés puis la tracer sur le graphique.
3. On retiendra finalement comme ajustement affine la droite d’équation y=0,7x+4,3.
a) Estimer par le calcul le montant des charges en euros pour 24 ventes mensuelles.
b) Estimer, à l’aide du graphique, le nombre de ventes à réaliser par mois pour que les charges restent inférieur à 2600€.
Exercice2(5pts) : Partie A :
Voici l’évolution du salaire moyen de l’entreprise Start-Rek d’une année sur l’autre :
2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013
+3,4% -2,7% +6,1% -12,2%
1. Déterminer le taux d’évolution global entre 2009 et 2013.
2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen du salaire dans cette entreprise.
3. Le salaire moyen était de 1725€ net en 2009, de combien est-il en 2013 ? Partie B :
On considère que le salaire moyen va perdre 27 € par an. En 2013, il est de 1617€. On appelle Sn le montant du salaire moyen la n-ième année et on pose S0=1617 (2013 étant l’année 0).
1. Déterminer la nature de la suite (Sn) . 2. Exprimer Sn en fonction de n.
3. Quel sera le salaire moyen en 2027 dans cette entreprise?
4.On considère l’algorithme suivant : Variables S est un réel, N est un entier Entrée
Saisir N Initialisation
S prend la valeur ….
Traitement
Pour I allant de 1 à … S prend la valeur … Fin Pour
Sortie
Afficher S
Compléter cette algorithme pour qu’il donne le montant du salaire moyen la N-ième année.
Exercice3(5pts) :
Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant le même jeu.Un jour l’une des deux est déréglée.Les joueurs ne peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée.
1. Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l’une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
On note :
D l’évènement « le joueur choisit la console déréglée » et D l’évènement contraire ; G l’évènement « le joueur gagne la partie » et G l’évènement contraire.
Cette situation aléatoire est modélisée par l’arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités.
Ainsi, 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu’il a choisi une console déréglée.
a. Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter.
b. Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur choisit la console déréglée et il gagne ».
c. Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur choisit la console non déréglée et il gagne
».
d. Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.
e. Calculer la probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu’il a gagné.
2. Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l’une des deux consoles et joue une partie.
Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur gagne exactement deux fois ». Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.
Exercice4 (6pts) : Elle court, elle court la rumeur….
Après la diffusion d’une rumeur, on estime que le nombre de personnes connaissant la rumeur au jour t, à partir du jour d’apparition de la rumeur est donné par R(t) = - t 3 +3t²+40t+1 La vitesse de propagation de cette rumeur est assimilée à la dérivée du nombre de personnes concernées par cette rumeur en fonction de t.
1/a)Calculer R’(t).
b/En déduire la vitesse de propagation le 9ième jour.
c/Dresser le tableau de variation des personnes connaissant la rumeur R(t).
d) En déduire le jour où la connaissance de la rumeur est maximale. Calculer alors cette connaissance.
e/ Déterminer le jour où la vitesse de propagation est égale à 40 personnes par jour ! 2/a)Déterminez l’accélération de la vitesse, sachant que celle-ci peut être modélisée par la dérivée de la vitesse de propagation.
b) Dresser le tableau de variation de la vitesse de propagation de la rumeur.
c)Quel jour cette vitesse de propagation est-elle maximum ? Quelle est cette vitesse de propagation ?
