Mathématiques – Devoir surveillé 1 – 02/10/2021 (Durée 3h)

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Mathématiques – Devoir surveillé 1 – 02/10/2021 (Durée 3h)

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Questions de cours (15 minutes)

Vous commencez par traiter cet exercice. À 8h15, je ramasse le document réponse en annexe .

Sur ledocument réponse, compléter (sans justification) les trous.

Q1. Pour tout (a,b)∈R²^,^a²+2a×b+b²=...(factoriser).

Q2. Pour tout (a,b)∈R²^,^a²−b²=...(factoriser).

Q3. Pour toutx∈R^{, 6}^x²−2x−4=(3x+2)×(...) (factoriser).

Q4. lim

x→+∞e^−x=.... Q5. lim

x→0⁺ln(x)=....

Q6. Pour toutx∈R^, ^p^x²=.... Q7. Énoncer l’inégalité triangulaire.

Q8. Soit Aune partie deR. Écrire à l’aide quantificateurs «An’est pas minorée ».

...

Q9. Donner la définition de fonction strictement croissante.

Q10. Que dire du graphe d’une fonction impaire ?

Soientuune fonction dérivable sur un intervalleIetvune fonction dérivable sur l’intervalleu(I).

Q11. (v◦u)⁰=...

Q12. (ln(u))⁰=... (on suppose queuest à valeurs dansR^?₊⁾ Q13. (p

u)⁰=... (on suppose queuest à valeurs dansR^?₊⁾ Q14. (cos(u))⁰=...

Q15. (tan(u))⁰=... (on suppose queuest à valeurs dansi

−^π 2,^π

2 h

)

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02/10/2021 (DURÉE3H) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ1

Exercice 1 – Du calcul !

Détaillez un minimum vos calculs. On ne demande pas de justifier l’existence des expressions.

Q1. Dans l’expressionPV=nRT, exprimerRen fonction des autres variables.

Q2. Dans l’expressionF=G×m_A×m_B

r² , exprimerm_Ben fonction des autres variables.

Q3. Exprimer sous forme d’une seule fraction l’expression suivante : 1

1 R1+_R¹₂. Q4. Dans l’expression 1

d= 1 OF⁰− 1

OF, exprimerOFen fonction des autres variables. On donnera le résultat sous la forme d’une seule fraction.

Q5. Dans l’expressiona=10 ln µI

I⁰

¶

, exprimerI⁰en fonction des autres variables.

Q6. Dans l’expression y=n+x×y²

x+n , exprimer xen fonction deyetn.

Q7. Écrire sous forme d’une seule puissance de 10 l’expression suivante :

¡10⁻⁵¢3

×10² 10¹⁰ . Q8. Écrire sous la forme 2^a×3^bl’expression suivante : 6⁵×12⁻²

2³ . Q9. Écrire sous la forme d’une fraction irréductible : 6⁵×2⁻³

10² .

Q10. Sans se soucier de l’ensemble de dérivation, calculer la dérivée de : f₁(x)=x²⁰²¹+e¹⁰^x×ln(2x) Q11. Sans se soucier de l’ensemble de dérivation, calculer la dérivée de : f₂(x)=

q 1+¡

cos(x)¢4

. Q12. Sans se soucier de l’ensemble de dérivation, calculer la dérivée de : f₃(x)=cos³

sin¡ e^p^x¢´

.

Exercice 2 – Des équations et inéquations

Q1. Résoudre l’équation¥

x²+2x¦

= −1 d’inconnue réellex.

Q2. Résoudre l’inéquation 1

2x+1< 1

x−3 d’inconnue réellex.

Q3. Résoudre l’inéquation p

x−1Êx−7 d’inconnue réellex.On commencera par déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’équation a un sens, puis, on effectuera une disjonction de cas

Histoire des mathématiques – Alain Connes (lauréat de la médaille Fields en 1982)

Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent très propice à l’élaboration dans le cerveau de la représentation mentale des concepts utilisés. C’est pourquoi l’ordinateur, qui donne le résultat d’un tel calcul en supprimant la durée, n’est pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le résultat brut d’un calcul sans la représentation mentale de sa signification n’est pas un progrès.

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Exercice 3 – Montrer des inégalités

Q1. Montrer que, pour tout x> −1, ln(1+x)Éx.

On rappelle que, pour tousa∈R^?₊^et^b∈R^,^a^b=e^b×ln(a).

Q2. Soitn∈N\ {0, 1} (c’est-à-direnest un entier naturel différent de 0 et 1). Déduire de la question précédente les inégalités :

µ 1+1

n

¶n

ÉeÉ µ

1−1 n

¶₋n

.

Q3. Montrer que, pour tout xÊ0,x−x²

2 Éln(1+x).

Problème 1 – Étude de fonction

Dans ce problème, on considère la fonction

f :x7→ e^x−e^−x e^x+e⁻^x.

On noteDf l’ensemble de définition def,Γf le graphe de f et on munit le plan d’un repère orthonormé (O;~ı,~).

Partie 1 : Étude de f

Q1. Justifier précisément queDf =R^.

Q2. Étudier la parité de f. Que peut-on en déduire sur le graphe def?

Q3. Justifier que f est dérivable surR, montrer que, pour toutx∈R^, ^f⁰^(x)= 4

¡e^x+e^−x¢2. Q4. En déduire les variations de f.

Q5. Montrer que, pour tout x∈R^, ^f^(x)=1−e⁻²^x 1+e⁻²^x.

Q6. En déduire les limites de f en+∞et en−∞, puis, dresser le tableau de variations def. Q7. Donner l’équation de la tangenteT àΓf au point d’abscisse 0.

Dans la suite, on considère la fonction_ϕ:x7→f(x)−xdéfinie surR^. Q8. Justifier que_ϕest dérivable surRet calculer, pour toutx∈R^,ϕ⁰(x).

Q9. En déduire le tableau de variations de_ϕ.On précisera les limites de_ϕaux bornes de son intervalle de définition.

Q10. Déterminer la position relative deΓf par rapport àT.

Partie 2 : Bijection réciproque de f

Q11. Montrer que f réalise une bijection deRsur un intervalle J à déterminer.On ne demande pas dans cette question de déterminer l’expression de f⁻¹.

Q12. Calculer f⁻¹(0).

Q13. Justifier que f⁻¹est dérivable surRet calculer¡ f⁻¹¢0

(0).

Q14. Dresser le tableau de variations def⁻¹.On placera les limites de f⁻¹ aux bornes de son ensemble de définition.

Q15. Tracer, dans un même repère orthonormé, les courbesΓf etΓf⁻¹.On tracera aussi les éventuelles tangentes horizontales et asymptotes aux courbes représentatives de f et f⁻¹.

Q16. Déterminer une expression de f⁻¹à l’aide des fonctions usuelles.

Tournez S.V.P.−→

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02/10/2021 (DURÉE3H) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ1

Problème 2 – Étude d’une famille d’équations

Dans ce problème, on s’intéresse à l’équation :

e^λ×^e^λ×^x=x, (E_λ)

où_λ∈R^?₊est fixé. On note

f :x7→e^λ×x.

Q1. Déterminer l’ensemble de définition et le tableau de variations de f. Q2. Soitx∈R^{tel que}^f^(x)=x. Montrer quexest solution de (E_λ).

Q3. Soitx∈Rune solution de (E_λ). En utilisant un raisonnement par l’absurde, montrer que f(x)=x.

On considère la fonctiong:x7→f(x)−xdéfinie surR^.

Q4. Montrer quexest solution de (E_λ) si, et seulement si, g(x)=0.

Q5. Déterminer les variations deg.

Q6. En déduire que gpossède un minimum égal à 1+ln(_λ) λ .

Q7. En utilisant les questions précédentes, déterminer selon les valeurs de_λle nombre de solutions de l’équation (E_λ).On ne demande pas de déterminer explicitement les solutions de l’équation.

La mathématique du chat, Geluck

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Mathématiques – Devoir Surveillé 1 – Document réponse

Nom Prénom :

Sur cedocument réponse, compléter (sans justification) les trous.

Q1. Pour tout (a,b)∈R²^,^a²+2a×b+b²=...(factoriser).

Q2. Pour tout (a,b)∈R²^,^a²−b²=...(factoriser).

Q3. Pour toutx∈R^{, 6}^x²−2x−4=(3x+2)×(...) (factoriser).

Q4. lim

x→+∞e⁻^x=.... Q5. lim

x→0⁺ln(x)=....

Q6. Pour toutx∈R^, ^p^x²=.... Q7. Énoncer l’inégalité triangulaire.

Q8. SoitAune partie deR. Écrire à l’aide quantificateurs «An’est pas minorée ».

...

Q9. Donner la définition de fonction strictement croissante.

Q10. Que dire du graphe d’une fonction impaire ?

Soientuune fonction dérivable sur un intervalleI etvune fonction dérivable sur l’intervalle u(I).

Q11. (v◦u)⁰=...

Q12. (ln(u))⁰=... (on suppose queuest à valeurs dansR^?₊⁾ Q13. (p

u)⁰=... (on suppose queu est à valeurs dansR^?₊⁾ Q14. (cos(u))⁰=...

Q15. (tan(u))⁰=... (on suppose queuest à valeurs dansi

−π 2,π

2 h

)