Université Paris 6 Licence de Mathématiques- Module LM346 Examen du 5 juin 2007 Durée 2h. Exercice 1

Université Paris 6 Licence de Mathématiques- Module LM346 Examen du 5 juin 2007

Durée 2h.

Exercice 1 Le but de cet exercice est de simuler par une méthode du rejet une suite de v.a. indépendantes suivant une loi normale centrée réduite.

1) 1.a) Rappeler comment, à partir d'une suite de v.a. i.i.d. uniformément distribuées sur[0,1], simuler une suite de v.a. i.i.d.(Y_n)_n≥1 suivant une même loi exponentielle de paramètre 1 (de densité 1[0,∞[e^−x).

1.b) Comment simuler à partir d'une suite de v.a. i.i.d. uniformément dis- tribuées sur [0,1] une suite de v.a. i.i.d. (Σn)n≥1 suivant une même loi de Bernoulli à valeurs dans {−1,1}telle queP(Σ_n= 1) =P(Σ_n =−1) = 1/2? 2) On veut à présent simuler trois suites de v.a. (Y_n)n≥1,(Σ_n)n≥1 et(V_n)n≥1

telles que : (i) la suite Y₁,Σ₁, V₁, Y₂,Σ₂, V₂, . . . , Y_n,Σ_n, V_n, . . . soit indépen- dante ; (ii) pour tout n≥1la v.a.Y_n suit une loi exponentielle de paramètre 1 ; (iii) pour tout n ≥ 1 la v.a. Σ_n suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2 à valeurs dans {−1,1};(iv) pour tout n ≥1, la v.a. V_n suit une loi uni- forme sur [0,1]. Démontrer que cela est possible en décrivant une procédure de simulation.

3) On pose

ν1 := inf{k≥1 :Vk ≤exp(−(Yk−1)²/2)}, X1 =Yν1, Z1 = Σ1·X1. Pour étudier ces v.a. on introduit les événements A_k = {V_k ≤ exp(−(Y_k− 1)²/2)} (k ≥1) et pour I intervalle de R

B_n(I) =A^c₁∩ · · · ∩A^c_n−1∩(A_n∩(Y_n ∈I)) (n≥1) où A^c désigne le complémentaire de l'événement A.

3.a) Déterminer la densité du vecteur aléatoire (V_k, Y_k). 3.b) Calculer pour k ≥1,P(A_k)et P(A_k∩(Y_k ∈I)). 3.c) Démontrer que ν1 est une v.a. Déterminer la loi de ν1. 3.d) Démontrer queX₁est une v.a. qui admet pour densitép

π/21_(0,∞)e^−x2/2 et que Z₁ suit une loi normale centrée réduite.

4) En s'inspirant du cours et de 3), expliquer rapidement comment simuler une suite de v.a. i.i.d (Xn)n≥1 suivant une loi normale centrée réduite.

Exercice 2 Comment calculer Rπ

0 sin(cosx)dx par la méthode de Monte Carlo ? Donner une estimation du temps de calcul si l'on veut obtenir un résultat à 10⁻² près avec une abilité de 95% ?

Exercice 3 On considère une chaîne de Markov (X_n)n≥0 dont l'espace des états E est ni E ={1,2,3} et dont la matrice de transition est donnée par

P =





1/2 1/2 0 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2





1) Déterminer les états récurrents et et les états transients de cette chaîne.

Cette chaîne est-elle irréductible ?

2) Est-il vrai qu'avec probabilité 1 la chaîne sera une innité de fois dans l'état 1 ?

3) La matrice P est elle apériodique ?

4) Existe-t-il une loi stationnaire ? Est-elle unique ? Si oui, la déterminer.

5) On note An le nombre de k,1 ≤k ≤n pour lesquels Xk = 1. Démontrer que presque-sûrement A_n/n admet une limite.

6*) On noteB_nle nombre dek,1≤k ≤npour lesquelsX_k = 1etX_k+1 = 1. Démontrer que presque-sûrement B_n/n admet une limite.