DS final Durée :2h PES Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun
document n’est autorisé.
Exercice n° 1 :(4pts)
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correct. Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point , une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
On donne ci-dessous la représentation graphique (C) d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [-1 ;3].
On note f’ la fonction dérivée de f.
La tangente à la courbe (C) au point A(1 ;0) est tracée, elle passe par le point de coordonnées (0 ;3).
1. f’(1)=
a. 3 b. -3 c. d. 0
2. Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 2 est : a. -2 b. 0 c. 2 d. 1
3. L’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est : a. y=2x+2 b. y=2 c. y=0 d. y=-3x+2
4. On peut dire que le signe de f’ est :
a. positif sur [-0,8 ;1] b. négatif sur [0 ;2] c. positif sur [0 ;2] d. négatif sur [-0,8 ;1]
Exercice 2(6points)
Partie A : Lors d’un tournoi de foot, 3 équipes s’affrontent toutes les unes les autres (il y a ainsi pour chaque équipe 2 matchs) .Pour participer au tournoi l’inscription est de 20€ , pour chaque match nul, on offre à l’équipe 10% de leur participation et pour chaque victoire, on leur offre leur participation diminué de 10% . On suppose que chaque équipe à autant de chance de gagner, de perdre ou de faire match nul. Soit X la variable aléatoire qui compte les gains potentiels de l’équipe de Manassé.
1. Quelles sont les valeurs prises par X. (on donnera l’arbre représentant cette expérience) 2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
3.a. Déterminer l’espérance de X.
b. Quel sera le gain pour l’organisateur du tournoi ?
Partie B : Toutes les probabilités seront données à 10-3
L’équipe de Manassé s’est qualifié pour les phases finales, 5 matchs.
On suppose désormais qu’il ont une chance sur 3 de l’emporter et qu’il ne peuvent pas faire match nul. Chaque match est indépendant des précédents.
Soit Y la variable aléatoire qui compte le nombre de match gagné par l’équipe de Manassé.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
2. Quelle est la probabilité que cette équipe gagne tous les matchs ? 3. Quelle est la probabilité que cette équipe gagne aucun match ?
4. Quelle est la probabilité que cette équipe gagne moins de 3 matchs ? 5. Quelle est la probabilité que cette équipe gagne plus de 4 matchs ? Exercice n° 3 : (4pts)
Mélanie et Alanne doivent trier des chaussettes avec leur prof de maths et réviser leur DS.
Le professeur leur propose donc de calculer le temps qu’il faudra pour trier toutes les chaussettes ce qui permettra de réviser les suites.
Au départ il y a 3600 chaussettes que l’on notera c0 . On considère qu’ à eux 3, ils trient 60 chaussettes à la minute. On note cn le nombre de chaussettes restant à trier au bout de n minutes après le début du triage.
On admet donc que cn+1=cn-60.
1. Quelle est la nature de la suite (cn) ?
2. Calculer c1 et c2 . Et expliquer à quoi ces nombres correspondent ? 3. Déterminer le terme général de cette suite.
4. En déduire, c20.
5. Combien de temps leur faudra-t-il pour trier toutes les chaussettes ? Justifier.
Exercice 4 (6points) Elle court, elle court la rumeur….
Après la diffusion d’une rumeur, on estime que le nombre de personnes connaissant la rumeur au jour t, à partir du jour d’apparition de la rumeur est donné par R(t) = - t 3 +3t²+40t+1 La vitesse de propagation de cette rumeur est assimilée à la dérivée du nombre de personnes concernées par cette rumeur en fonction de t.
1/a)Calculer R’(t).
b/En déduire la vitesse de propagation le 9ième jour.
c/Dresser le tableau de variation des personnes connaissant la rumeur R(t).
d) En déduire le jour où la connaissance de la rumeur est maximale. Calculer alors cette connaissance.
e/ Déterminer le jour où la vitesse de propagation est égale à 40 personnes par jour ! 2/a)Déterminez l’accélération de la vitesse, sachant que celle-ci peut être modélisée par la dérivée de la vitesse de propagation.
b) Dresser le tableau de variation de la vitesse de propagation de la rumeur.
c)Quel jour cette vitesse de propagation est-elle maximum ? Quelle est cette vitesse de propagation ?
