Chapitre 3
Réduction des endomorphismes
3.1 Éléments propres d’un endomorphisme
Exercice 3.1.1 ⋆ exo:2005:Nov:Sun:15:33:50
On considère l’espaceEdes fonctions continues surRetu∈L(E)l’endomorphisme qui à une fonctionf deEassocie la fonctionu(f)définie par :
∀x∈R, u(f)(x)= Zx
0 f(t) dt Déterminer le spectre deu.
Exercice 3.1.2 ⋆
Soientf un endomorphisme d’unK-espace vectoriel etn∈N⋆. On suppose que0∈sp(fn). Montrer que0∈sp(f).
Exercice 3.1.3 ⋆ Centrale 2003
Trouver les éléments propres des endomorphismesf etgdeR[X]définis par :
∀P∈R[X], f(P)(X)=P(X+1)
∀P∈R[X], g(P)(X)=P(−X) Exercice 3.1.4 ⋆
Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Montrer
0∉sp(f)⇔f surjectif Exercice 3.1.5 ⋆
Soituun automorphisme d’unK-espace vectorielE. Établir
Sp(u−1)=©
λ−1:λ∈Sp(u)ª .
Exercice 3.1.6 ⋆
SoitEunK-espace vectoriel. Déterminer tous les endomorphismes deEpour lesquels chaque vecteur deEest un vecteur propre.
Exercice 3.1.7 ⋆⋆ Mines-Pont PC 2017 SoitΦl’endomorphisme deMn(R)défini par :
∀M∈Mn(R), Φ(M)=αM+βMT. 1. Déterminer les éléments propres deΦ.
2. Calculer la trace et le déterminant deΦ. Exercice 3.1.8 ⋆
SoitE=C0(R,R)l’espace des applications continues deRdansR. Pour f ∈E, on définitu(f)par, pour toutx∈R,u(f)(x)=Rx+1
x f(t)dt.
1. Montrer queu(f)est de classeC1surRet donner la valeur de¡u(f)¢′
(x)pour tout x∈R.
2. (a) Justifier que l’applicationu:f 7→u(f)est un endomorphisme deE. (b) uest-il surjectif ?
3. (a) Prouver l’équivalence¡f ∈Keru¢
⇐⇒³
f est1−périodique etR01f(t)dt=0´ . (b) Keru est-il de dimension finie ? On pourra considérer la famille(fk)kÊ0avec fk:
x7→cos(2kπx).
4. Poura∈R, on considèreha:x7→eax.
(a) Prouver queha est un vecteur propre deu. (b) Prouver queR+est inclus dans le spectre deu.
Exercice 3.1.9 ⋆
On poseE=C0(R+,R). Pour toutf ∈E, on définit :
Tf :
R+ −→ R+
x 7−→ Tf(x)=
f(0) si x=0
1 x
Rx
0 f(t)dt sinon
.
1. Montrer que pour toutf ∈E,Tf ∈E.
2. On noteTl’application deEdansEqui àf associeTf. Montrer queTest linéaire.
3. Déterminer les éléments propres deT.
Exercice 3.1.10 ⋆⋆⋆ Centrale – P.C.
Soitn∈N∗. SiP∈Rn[X], on noteT(P)l’unique polynôme tel que
∀x>0, T(P)(x)=1
x
Zx 0
P(t) dt.
1. Montrer queTest un endomorphisme deRn[X].
2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deT.
3.2 Détermination des éléments propres d’un endomorphisme
Exercice 3.2.1 ⋆⋆
SoitEleR-espace vectoriel des fonctions continues de[0,+∞[versRconvergentes en+∞. SoitTl’endomorphisme deEdonné par
∀x∈[0,+∞[ , T(f)(x)=f(x+1) Déterminer les valeurs propres deTet les vecteurs propres associés.
Exercice 3.2.2 ⋆
SoientE=C∞(R,R)etDl’endomorphisme deEqui àf associe sa dérivéef′. Déterminer les valeurs propres deDainsi que les sous-espaces propres associés.
Exercice 3.2.3 ⋆
SoientE=C0(R,R)etIl’endomorphisme deEqui àf ∈Eassocie sa primitive qui s’annule en 0.
Déterminer les valeurs propres deI. Exercice 3.2.4 ⋆
SoientEl’espace des suites réelles convergeant vers 0 et∆: E→El’endomorphisme défini par
∆(u)(n)=u(n+1)−u(n) Déterminer les valeurs propres de∆.
Exercice 3.2.5 ⋆⋆
SoientE=Rn[X]et
u:
½ E −→ E
P 7−→ (X2−1)P′−nXP .
1. Montrer queuest un endomophisme deEet écrire sa matrice dans la base canonique deE.
2. Déterminer, suivant la valeur den, le noyau, le rang et l’image deu. On précisera des bases de ces sous-espaces.
3. Pourλ∈R, résoudre et discuter l’équationu(P)=λP. Donner une base de l’espace des solutions.
Exercice 3.2.6 ⋆ CCP MP
Soientuetvdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielE.
1. Soitλune valeur propre non nulle deu◦v. Montrer queλest une valeur propre de v◦u.
2. Montrer que cette propriété reste valable siλ=0et siEest de dimension finie.
3. On poseE=R[X]et pourP∈E,u(P)=P′,v(P)=Rx
0P(t)dt. Calculer le noyau deu◦v puis celui dev◦u. Conclusion ?
Exercice 3.2.7 ⋆⋆⋆ X PC 2018
SoitA∈Rn[X]scindé à racines simples de degrén. SoitϕAl’endomorphisme deRn[X]qui àP associe le reste de la division euclidienne deXPparA. Déterminer les valeurs propres deϕA.
3.3 Éléments propres d’une matrice
Exercice 3.3.1 ⋆
Déterminer les valeurs propres de la matriceA=(i j)(i,j)∈1,n2∈Mn(R). Exercice 3.3.2 ⋆
1. Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
2. Que dire de la réciproque ? Exercice 3.3.3 ⋆
SoitFun sous-espace vectoriel stable par un endomorphismeud’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Établir que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit parusurFdivise le poly- nôme caractéristique deu.
Exercice 3.3.4 ⋆⋆ Lemmes d’Hadamard et de Gerschgörin On considère une matriceA=((ai j))∈Mn(C).
1. Hadamard : On suppose queAest àdiagonale dominante:
∀i∈[[1,n]], |aii| >X
j6=i
|ai j| Montrer que la matriceAest inversible.
2. Gerschgörin : Localisation des valeurs propres d’une matrice.En déduire que le spectre (complexe) d’une matrice est inclus dans une union de disques :
Sp(A)⊂ [
1ÉiÉn
D(aii,ρi)oùρi=X
j6=i
|ai j| Exercice 3.3.5 ⋆ Classique
exo:2005:Nov:Sun:15:41:23
On considère une matrice A=((ai j))∈Mn(C)stochastique: tous ses coefficients sont des réelsÊ0et
∀i∈[[1,n]],
n
X
j=1
ai j=1 1. Montrer que1est valeur propre deA.
2. On définit surMn,1(C)la normekXk∞=max1ÉiÉn|xi|. Montrer quekAXk∞É kXk∞. 3. En déduire que siλ∈Cest une valeur propre deA, alors|λ| É1.
4. En utilisant la localisation des valeurs propres de Gerschgörin, montrer que si tous les coefficients diagonaux sont strictement positifs, alors1est la seule valeur propre deA de module1.
Exercice 3.3.6 ⋆ Matrice compagnon exo_matrice_compagnon
On appelle matrice compagnonC(P)du polynômeP=c0+c1X+ · · · +cn−1Xn−1+Xn∈Kn[X]
la matrice carrée suivante :
C(p)=
0 0 . . . 0 −c0
1 0 . . . 0 −c1
0 1 . . . 0 −c2
... ... ... ... ... 0 0 . . . 1 −cn−1
1. Montrer queχC(P)=P.
2. En déduire que siP=a0+a1X+ · · · +an−1X+Xn∈C[X]est un polynôme normalisé, si z∈Cest racine deP, alors
|z| Émax¡
|a0|, 1+ |a1|, . . . , 1+ |an−1|¢ . Exercice 3.3.7 ⋆
SoitA=
1 2 −3 2 4 −6 4 8 −12
.
1. Calculer le rang deA. En déduire sans calcul le polynôme caractéristique deAet indi- quer siAest diagonalisable ou pas.
2. Donner les éléments propres deA. Exercice 3.3.8 ⋆
Les matricesA=
0 0 4
1 0 −8
0 1 5
etB=
2 1 1
0 0 −2
0 1 3
sont-elles semblables ? Exercice 3.3.9 ⋆⋆ Mines-Pont PC 2017
SoeintAetBdeux matrices deMn(C)avecBnilpotente et telles queAB=0. Montrer que le spectre deA+Best égal au spectre deA.
Exercice 3.3.10 ⋆⋆⋆ X PC 2012
SoientAetBdeux matrices deMn(C). Montrer que s’il existeS∈Mn(C)non nulle telle que AS=SBalorsAetBont une valeur propre commune.
Réciproque ?
Exercice 3.3.11 ⋆⋆⋆ Mines PC 2018
Soitf l’endomorphisme deR4canoniquement associé à la matrice
A=
1 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
1. Déterminer l’image et le noyau de f. Donner une basebde l’image.
2. On noteg la restriction de f à son image. Donner la matrice de f dans la baseb et donner ses éléments propres.
3. Donner les éléments propres de f.
3.4 Polynômes d’endomorphisme
Exercice 3.4.1 ⋆
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnÊ2. Soitu∈L(E)un endomorphisme deEde rang1.
1. Montrer queu admet un polynôme annulateur de la formeP=X2−kXaveck∈Kà déterminer.
2. Que représentekpouru? Exercice 3.4.2 ⋆
SoitA∈Mn(C). On considère la matrice M=
A A A
0n A A
0n 0n A
∈M3n(C).
PourP∈C[X], calculerP(M)en fonction deAdePet de ses dérivées.
Exercice 3.4.3 ⋆⋆⋆ Mines-ponts – P.C.
SoitA∈Mn(R)telle queA2=A−In. Montrer quedet(A)=1.
3.5 Polynôme caractéristique
Exercice 3.5.1 ⋆
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice
A=
0 3 2
−2 5 2 2 −3 0
∈M3(R)
Exercice 3.5.2 ⋆ L’ensemble des matrices inversibles est dense dans l’en- semble des matrices carrées
Montrer que l’ensemble des matrices inversibles est dense dansMn(R). Exercice 3.5.3 ⋆ χA−1 en fonction deχA
exo:2005:Nov:Sun:15:50:54
SoitA∈Mn(K)une matrice inversible. Exprimer le polynôme caractéristique deA−1à l’aide du polynôme caractéristique deA.
Exercice 3.5.4 ⋆⋆
exo:2004:Nov:Mon:10:25:44
SoitA∈Mn(K), on forme la matrice M=
µ0 A
A 0
¶
∈M2n(K)
Exprimer le polynôme caractéristique deMen fonction de celui deA. Exercice 3.5.5 ⋆ Théorème de Cayley-Hamilton exo_hamilton_cayley
On considère un polynôme unitaire
P(X)=a0+a1X+ · · · +an−1Xn+Xn∈Kn[X]
À partir des coefficients de ce polynôme, on forme samatrice compagnon:
C=
0 −a0
1 0 −a1
1 . .. ... . .. 0 ...
1 −an−1
1. Calculer le polynôme caractéristiqueχC(λ).
2. SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnetu∈L(E). Le but des questions suivantes est de montrer queχu(u)=0. Siu=0, ce résultat est évident aussi on suppose que u6=0.
(a) Soitx∈Etel queu(x)6=0. Montrer qu’il existep∈ 1,ntel que(x,u(x), . . . ,up−1(x)) est libre et tel que(x,u(x), . . . ,up(x))est liée.
(b) Il existe donca0, . . . ,ap−1tels quea0x+a1u(x)+. . .+ap−1up−1(x)+up(x). Posons P=a0+a1X+. . .+ap−1Xp−1+Xp. Introduisons aussiF=Vect(x,u(x), . . . ,up−1(x)). Montrer que siu|Fest la restriction deuàFalorsχu|F=P.
(c) En déduire le théorème de Cayley-Hamilton : le polynôme caractéristique d’un endomorphisme deEest un polynôme annulateur deu:χu(u)=0.
Exercice 3.5.6 ⋆ χAB=χBA
exo:2005:Nov:Fri:15:37:07
Soient(A, B)∈Mn(K)deux matrices quelconques.
1. SiAest inversible, montrer queχAB=χBA. 2. En considérant les produits par blocs
A=
µXIn A B In
¶ µ−In 0n
B In
¶
et B=
µXIn A B In
¶ µ−In A 0n −XIn
¶
montrer queχAB=χBApour toutes matricesA, B∈Mn(K). Exercice 3.5.7 ⋆ En dimension impaire exo:2004:Nov:Mon:10:32:25
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie impaire etu∈L(E)un endomorphisme deE. 1. Montrer qu’il existe une droite vectorielle stable paru.
2. Montrer qu’il existe un hyperplan stable paru. Exercice 3.5.8 ⋆⋆⋆ X PC 2005,2017
SoientAetBdeux matrices complexes d’ordren. On suppose queAetBcommutent et queB est nilpotente. Montrer quedet(B+In)=1puis quedet(A+B)=det(A).
Exercice 3.5.9 ⋆⋆ Mines 2009
SoitA∈GLn(K). On noteA−1=(a′i,j),J=((1))etB=A+J. Montrer que : det(B)=
Ã
1+ X
1Éi,jÉn
ai′,j
! det(A).
Exercice 3.5.10 ⋆ CCP 2003 SoientA, B, C∈M3(R)vérifiant :
(BC=CB AB−BA=C . 1. Montrer que :
∀p∈N, ABp+1=Bp¡
BA+(p+1)C¢ . 2. En déduire quedet(B)=0oudet(C)=0.
Exercice 3.5.11 ⋆⋆ X PC 2017
SoientA∈GLn(R)etB∈Mn(R). Montrer que la fonctionΨdéfinie surRpart7→det(A+tB) est constante si et seulement si il exister∈N∗tel que(A−1B)r=0.
Exercice 3.5.12 ⋆⋆⋆ X PC 2018 SoientAetBdeux matrices deM3(R).
On suppose quedet(A)=det(B)=det(A+B)=det(A−B)=0. Montrer que pour toutx∈R,det(xA+B)=0.
Exercice 3.5.13 ⋆ Mines PC 2018 Déterminer le polynômes caractéristique de
A=
0 . . . 0 1 ... ... 2 0 . . . 0 n−1 1 2 . . . n
.
3.6 Existence de valeurs propres sur C
Exercice 3.6.1 ⋆ Dimension finie versus dimension infinie
1. Justifier que tout endomorphisme d’unC-espace vectoriel de dimension finieEpossède au moins une valeur propre.
2. Observer que l’endomorphismeP(X)7→(X−1)P(X)deC[X]n’a pas de valeur propre.
Exercice 3.6.2 ⋆ Centrale 2005
Soientu,vdeux endomorphismes d’unC-espace vectorielEde dimension finie non nulle.
On suppose
u◦v=v◦u Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.
Exercice 3.6.3 ⋆ CCP MP Soit la matriceM=
0 a c
b 0 c
b −a 0
oùa,b,c sont des réels.
Mest-elle diagonalisable dansM3(R)?Mest-elle diagonalisable dansM3(C)?
3.7 Diagonalisation
Exercice 3.7.1 ⋆ exo:2004:Aug:Thu:19:33:01
Diagonaliser la matriceA=
0 −1 2
0 1 0
1 1 −1
. Exercice 3.7.2 ⋆
Réduire la matrice
A=
1 2 0
2 4 0
−4 8 3
Exercice 3.7.3 ⋆
Diagonaliser, si possible, les matrices suivantes :
1. A=
1 0 −2
0 1 1
−2 2 2
dansM3(R) 2. B =
1−i t 0 2i t 0
0 1−i t 2i t 0
0 0 1+i t 0
0 0 0 1+i t
dansM4(C).
Exercice 3.7.4 ⋆ Soientα∈Ret
A=
µ cosα −sinα sinα cosα
¶
∈M2(K)etB=
µ cosα sinα sinα −cosα
¶
∈M2(K)
1. On supposeK=C. La matriceAest-elle diagonalisable ? 2. On supposeK=R. La matriceAest-elle diagonalisable ? 3. Mêmes questions avecB.
Exercice 3.7.5 ⋆ exo:2004:Dec:Thu:18:19:52
On considère la matrice
A=
1 a b c
0 1 d e
0 0 −1 f
0 0 0 −1
∈M4(K)
Trouver une CNS sur(a,b,c,d,e,f)pour queAsoit diagonalisable.
Exercice 3.7.6 ⋆
On considère un entiernÊ2et deux complexes(a,b)∈C2tels quea6=0et la matrice
A=
b a . . . . . . a a b . .. ... ... . .. ... ... ...
... . .. ... a a . . . . . . a b
∈Mn(C)
1. La matriceH=
1 . . . 1 ... ... 1 . . . 1
∈Mn(K)est-elle diagonalisable ? 2. En déduire queAest diagonalisable.
3. Calculerdet(A).
Exercice 3.7.7 ⋆ On considère la matrice :
A=
0 1 O
. .. ...
O . .. 1
1 0
1. Calculer son polynôme caractéristiqueχA(X). 2. Aest-elle diagonalisable dansMn(C)? 3. Aest-elle diagonalisable dansMn(R)? 4. Application : Soienta1, . . . ,an∈Cet soit
M=
a1 a2 . . . an−1 an
an a1 a2 . . . an−1
... . .. a1 . .. ... a3 . .. . .. a2
a2 a3 . . . an a1
.
Calculerdet(M).
Exercice 3.7.8 ⋆ Classique exo:2004:Nov:Mon:10:42:44
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie etu∈L(E)un endomorphisme nilpotent.
1. Déterminer les valeurs propres deu. 2. uest-il diagonalisable ?
Exercice 3.7.9 ⋆ Instructif exo:2004:Nov:Mon:10:48:25
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie.
1. Quels-sont les endomorphismes de E diagonalisables qui n’ont qu’une seule valeur propre ?
2. Quels-sont les endomorphismes deEdiagonalisables tels queSp(u)⊂{0, 1}?
3. Donner un exemple d’endomorphisme qui n’a qu’une seule valeur propre et qui n’est pas une homothétie.
Exercice 3.7.10 ⋆ exo:2004:Nov:Mon:10:55:14
On considère deux complexes(a,b)∈C2. La matrice
A=
0 a b
a 0 b
a −a 0
est-elle diagonalisable ?
Exercice 3.7.11 ⋆
PournÊ3, diagonaliser la matriceA=
0 . . . 0 1 ... . .. ... ...
0 . . . 0 1 1 . . . 1 0
∈Mn(R)
1. sans calculer son polynôme caractéristique, 2. puis en le calculant.
Exercice 3.7.12 ⋆ Matrices de rang1 exo:2005:Nov:Sun:15:55:17
1. On considère deux matrices colonnes non nullesX=
x1
... xn
etY=
y1
... yn
et l’on forme la matriceA=XYT∈Mn(K). Montrer querg(A)=1 et déterminerKer(A)etIm(A). Exprimer matriciellementTr (A)à l’aide deXetY.
2. Réciproquement, montrer que toute matrice de rang1s’écrit A=XYToùXetYsont des matrices colonnes non nulles.
3. Que vaut le polynôme caractéristique d’une matrice de rang1?
4. Montrer qu’une matrice de rang1est diagonalisable si et seulement siTr (A)6=0. 5. On considère la matriceA=((i/j))∈Mn(R). Diagonaliser cette matrice.
Exercice 3.7.13 ⋆ Diagonalisation simultanée exo:2005:Nov:Fri:15:53:38
On considère unK-espace vectoriel de dimension finie.
1. On suppose queu∈L(E)possèdenvaleurs propres distinctes et quev∈L(E)commute avecu. Montrer qu’il existe une baseeformée de vecteurs propres communs àuetv. 2. SoitFun sous-espace stable par un endomorphisme diagonalisableu∈L(E). Montrer
que la restrictionv=u|FdeuàFest un endomorphisme diagonalisable deF.
3. Soient deux endomorphismes(u,v)∈L(E)2diagonalisables qui commutent :u◦v= v◦u. Montrer qu’il existe une baseε=(ε1, . . . ,εn)de vecteurs propres communs àuet v.
Exercice 3.7.14 ⋆⋆⋆ Type X
SoientA, B∈M2(R)deux matrices diagonalisables. Montrer que siA=
µa1,1 a1,2
a2,1 a2,2
¶ alors la matrice définie par blocs
M=
µa1,1B a1,2B a2,1B a2,2B
¶
∈M4(R) est aussi diagonalisable.
Exercice 3.7.15 ⋆ Centrale 2005 Diagonaliser la matrice
M=
a2 ab ac ad ab b2 bc bd ac bc c2 cd ad bd cd d2
où(a,b,c,d)∈R4.
Exercice 3.7.16 ⋆ Mines 2005 Soienta∈CetM=
0 a a
1 0 a
1 1 0
. La matriceMest-elle diagonalisable ?
3.8 Étude de matrices diagonalisables
Exercice 3.8.1 ⋆
Montrer que siAest diagonalisable alorsATl’est aussi.
Exercice 3.8.2 ⋆ SoientA∈GLn(K)etB∈Mn(K).
On suppose la matriceABdiagonalisable. Montrer queBAest diagonalisable.
Exercice 3.8.3 ⋆
SoientA1∈Mp(K),A2∈Mq(K)etA∈Mp+q(K)définie par A=
µ A1 O O A2
¶
Montrer queAest diagonalisable si, et seulement si,A1etA2le sont.
Exercice 3.8.4 ⋆
Pourp∈N,pÊ2,a,b∈Knon tous deux nuls, montrer que la matrice
A=
a 0 . . . 0 b 0 a . . . b 0 ... ... . .. ... ...
0 b . . . a 0 b 0 . . . 0 a
∈M2p(K)
est diagonalisable.
Exercice 3.8.5 ⋆
1. Montrer que siM∈Mn(K)est de rang1alorsM2=Tr (M) M. 2. En déduire que siλest une valeur propre deMalorsλ2−Tr (M)λ=0. 3. Quelles sont les valeurs propres deMpossibles ?
4. SiTr (M)=0,Mpeut-elle être diagonalisable ? Exercice 3.8.6 ⋆⋆⋆ Type X
Soitn∈N∗. Sans utiliser le théorème spectral, prouver que la matrice suivante est diagonali- sable :
A=
0 . . . 0 α1
... . .. ... ... 0 . . . 0 αn−1
α1 . . . αn−1 αn
oùα1, . . . ,αn∈R.
Exercice 3.8.7 ⋆⋆⋆ Type X
SoitA∈Mn(R). On s’intéresse à la matrice définie par blocs : B=
µ0 In
A 0
¶
∈M2n(R).
1. Exprimer le polynôme caractéristique deBen fonction de celui deA. 2. Relier les éléments propres deBà ceux deA.
3. Montrer que siBest diagonalisable surRalorsAl’est. Que dire de la réciproque ? Exercice 3.8.8 ⋆⋆⋆ Type X
SoitAune matrice carrée d’ordren diagonalisable. La matriceM=
µ 0 2A
−A 3A
¶
est-elle diago- nalisable ?
3.9 Diagonalisabilité d’une matrice
Exercice 3.9.1 ⋆
Soient nÊ2 et(a1, . . . ,an)∈Kn un n-uplet de scalaires non tous nuls. Soit A∈Mn(K) la matrice dont les vecteurs colonnes sont tous égaux à(a1, . . . ,an)T.
1. Trouver les valeurs propres deA. 2. La matriceAest-elle diagonalisable ?
3. SoitB=2A−Tr(A)In. A quelle condition la matriceBest-elle diagonalisable ? Inver- sible ?
Exercice 3.9.2 ⋆⋆ Type Centrale
SoitB∈Mn(C)non nulle telle qu’il existekÊ2vérifiantBk=0.
1. Montrer que pour tout p∈N,p Ê1, si λ∈Sp(B)alors λp ∈Sp(Bp). En déduire le spectre deB. La matriceBest-elle diagonalisable ?
2. SoitA∈Mn(C)telle queAB=0.
(a) Montrer qu’il existeP∈GLn(C)telle que P−1AP=
µ0 A1
0 A2
¶
et P−1BP=
µB1 B2
0 0
¶ . (b) Montrer queA+BetAont le même spectre.
Exercice 3.9.3 ⋆ CCP MP On considère la matriceA=
0 a 1
a 0 1 a 1 0
oùaest un réel.
1. Déterminer le rang deA.
2. Pour quelles valeurs dea, la matriceAest-elle diagonalisable ?
Exercice 3.9.4 ⋆ CCP MP SoitA=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
∈M3(C).
1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deA.Aest-elle diagonalisable ? 2. Soit(a,b,c)∈C3etB=aI3+bA+cA2, oùI3désigne la matrice identité d’ordre 3.
Déduire de la question1.les éléments propres deB. Exercice 3.9.5 ⋆ CCP 2003
Trouver, sans calculer son polynôme caractéristique, les éléments propre de
M=
a b . . . . . . b b . .. ... ... ... . .. ... ... ...
... . .. ... b b . . . . . . b a
Exercice 3.9.6 ⋆⋆ Centrale PSI 2013
Pourn∈N∗, on considèreA∈Mn(R)telle que∀(i,j)∈ 1,n2,Ai,j=i j. 1. La matriceAest-elle diagonalisable ?
2. CalculerAp pourp∈N.
Exercice 3.9.7 ⋆ Petites Mines 2011, CCP 2016 SoitM=
0 . . . 0 1 ... ... ... 0 . . . 0 1 1 . . . 1 1
∈M2n+1(R).
1. CalculerM2.
2. Mest-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres.
Exercice 3.9.8 ⋆⋆ Mines 2011 Déterminer les éléments propres de
A=
a 2 . . . 2 1 0 . . . 0 ... ... ... 1 0 . . . 0
oùa∈R.
Exercice 3.9.9 ⋆ X 2013
On se donne des nombres complexesa1, . . . ,an et on pose pournÊ2:
J=
0 1 0 . . . 0 ... . .. ... ... ...
... . .. ... ... 0 0 . . . 0 . .. 1 1 0 . . . . . . 0
∈Mn(C) et A=
a1 a2 a3 . . . an
an . .. . .. . .. ... an−1 . .. . .. . .. a3
... . .. an . .. a2
a2 . . . an−1 an a1
1. Pourp∈N, calculerJp.
2. ExprimerAcomme un polynôme enJ.
3. Soitωune racine nième de l’unité. On poseXω=¡
1 ω ω2 . . . ωn−1¢T. Calculer JXω.
4. En déduire queJest diagonalisable. Préciser une matrice de passagePdiagonalisantJ. 5. Montrer queAest diagonalisable. Préciser ses éléments propres. Que vautdet(A)?.
Exercice 3.9.10 ⋆⋆⋆ Mines 2003
Soituun endomorphisme deKnadmettantnvaleurs propres deux à deux distinctesλ1, . . . ,λn∈ K. On noteC(u)={v∈L(E) :u◦v=v◦u}.
1. Montrer que tout élément deC(u)est diagonalisable et s’écrit comme un polynôme en u.
2. Montrer queC(u)est unK-espace vectoriel de dimensionnet que(idE,u,u2, . . . ,un−1) en forme une base.
Exercice 3.9.11 ⋆ SoitA∈Mn(R).
1. Montrer queATAest diagonalisable.
2. Soitλ∈Sp(ATA). Montrer queλÊ0.
3. Soient(α1, . . . ,αm)la liste des valeurs propres deATA. En notantai,j les coefficients deA, montrer que
X
(i,j)∈1,n2
a2i,j=
n
X
i=1
αk. Exercice 3.9.12 ⋆⋆ X PC 2014
On considère la matrice deMn(C)suivante :
A=
0 · · · 0 a1
... . .. ... ... 0 · · · 0 an−1
a1 · · · an−1 0
.
On suppose que(a1, . . . ,an)6=(0, . . . , 0). La matriceAest-elle diagonalisable ?
