10.0.3 Projections orthogonales

(1)

Chapitre 10

Espaces euclidiens

10.0.1 Espaces préhilbertiens réels

Exercice 10.0.1 ^⋆

Soit l’espaceE=R₁[X]muni du produit scalaire (P|Q)=

Z1

0 P(t)Q(t)d t. 1. Montrer que(.|.)définit un produit scalaire surE. 2. Trouver une base orthonormaleεdeE.

3. Trouver les coordonnées du vecteurP=X+1dansε. Exercice 10.0.2 ^⋆

Dans l’espace vectoriel^R⁴muni de son produit scalaire usuel, on considère les vecteursv1= (0, 3, 1,−1)etv2=(1, 2,−1, 1). SoitFle sous-espace vectoriel engendré par ces deux vecteurs.

Déterminer un système d’équations deF^⊥puis une base orthonormale deF^⊥. Exercice 10.0.3 ^⋆

SoitEun espace préhilbertien réel, etB=(e1, . . . ,en)une famille de vecteurs deEde norme1 tels que :

∀x∈E, x= Xn k=1

(x|ek) .ek.

1. Montrer que sii6=j, alors^¡ei|ej

¢=0.

2. Montrer queBest une base orthonormale deE. Exercice 10.0.4 ⋆

SoientEun espace préhilbertien réel et une applicationf : E7→Evérifiantf(0)=0et

∀(x,y)∈E², kf(x)−f(y)k = kx−yk.

1. Montrer que_∀(x,y)∈E²,_kf_{(x)k = kxk}et^¡f(x)|f(y)¢

=¡ x|y¢.

2. Calculer_kf(λx+µy)−λf(x)−µf(y)k²et en déduire que l’applicationf est linéaire.

Exercice 10.0.5 ⋆ Un produit scalaire sur^Mn(R) exo_prod_scal_matrices

Pour deux matricesA, B∈M_n₍R)on définit :

(A|B)=Tr (A^TB)

1. Montrer que(.|.)est un produit scalaire sur l’espace des matrices carréesE=M_n₍R). 2. Montrer que l’ensemble des matrices symétriques et l’ensemble des matrices antisy-

métriques forment deux sous-espaces orthogonaux pour ce produit scalaire.

3. Déterminer la projection orthogonale d’une matriceAsur l’espace des matrices antisy- métriques.

4. Montrer que si_k.kest la norme dérivant de ce produit scalaire alors

∀A∈M_n₍R), |Tr (A)| Ép nkAk.

Exercice 10.0.6 ^⋆ SoitM∈M_n₍R). Montrer que

(∀X∈M_n,1₍R) , X^TMX=0)⇐⇒(M^T= −M) Exercice 10.0.7 ^⋆

SoitEun espace euclidien etS=(e1, . . . ,en)une famille de vecteurs unitaires tels que :

∀x∈E, Xn k=1

(x|ek)²= kxk²

Montrer queSest une base deE.

(2)

SoitEun espace euclidien, etF, Gdeux sous-espaces vectoriels deE. Montrer que 1. (F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥;

2. (F∩G)^⊥=F^⊥+G^⊥; 3. E=F⊕G⇐⇒E=F^⊥⊕G^⊥.

Soitϕune forme linéaire sur^Mn(R). Montrer qu’il existe une matriceB∈M_n₍R)telle que :

∀A∈M_n₍R), ϕ(A)=Tr (BA)

Exercice 10.0.10 ⋆⋆ Égalité de la médiane Soit_k•_kune norme euclidienne surE.

1. (Re)démontrer l’égalité de la médiane :

∀x,y∈E,kx+yk²+ kx−yk²=2(kxk²+ kyk²).

2. En déduire que∀x,y,z∈E,kx+y+zk²+kxk²+kyk²+kzk²= ky+zk²+kz+xk²+kx+yk² Exercice 10.0.11 ^⋆⋆ Une autre démonstration de l’inégalité de Cauchy- Schwarz

Soit un espace préhilbertien réelEet deux vecteursx,y∈E. 1. Développer l’expression

°°

°kyk².x−¡ x|y¢

.y°°

°

2.

2. Retrouver l’inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d’égalité.

Exercice 10.0.12 ⋆⋆

SoitEun espace préhilbertien réel etf,g: E7→Edeux applications telles que :

∀(x,y)∈E² ¡ x|f(y)¢

=¡ g(x)|y¢

. Montrer quef etgsont linéaires.

1. SoitEun espace euclidien etf ∈L_(E)tel que

∀(x,y)∈E², ¡ x|y¢

=0 =⇒ ¡

f(x)|f(y)¢

=0.

Montrer qu’il existeα>0tel que

∀x,y∈E, ¡

f(x)|f(y)¢

=α¡ x|y¢

. 2. Sif ∈GL(E)vérifie :

∀(x,y)∈E²non-nuls,

¡f(x)|f(y)¢

kf(x)kkf(y)k=

¡x|y¢

kxkkyk, montrer qu’il existeα>0tel que :

∀x∈E, kf(x)k =αkxk.

Exercice 10.0.14 ^⋆⋆

Sur l’espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur à2,E=R₂[X], on définit (P|Q)=P(1)Q(1)+P(0)Q(0)+P(−1)Q(−1)

Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire, et trouver une base orthogonale pour ce produit scalaire.

Soit(.|.)un produit scalaire sur^Rⁿ,e la base canonique de^Rⁿ etAla matrice de ce produit scalaire dans la base canonique.

1. Lorsquen=2, montrer queTr (A)>0etdet(A)>0. 2. LorsquenÊ3, montrer queTr (A)>0etdet(A)>0.

3. Montrer que_∀pÊ2,A^p est une matrice symétrique définie positive (et donc qu’elle définit également un produit scalaire sur^Rⁿ). On distinguera les casppair et impair.

Dans un espace euclidien de dimensionn, on dit qu’une famille(xi)1ÉiÉn de vecteurs normés estµ-presque orthogonale(µ>0)si et seulement si pour tous réels(a1, . . . ,an)∈Rⁿ, on a

1 µ

Xn i=1

(ai)²É°°° Xn i=1

aixi

°°

°²Éµ Xn i=1

(ai)²

1. Montrer que la famille(xi)1ÉiÉnest une base orthonormale si et seulement si c’est une suite1-presque orthogonale.

2. Montrer qu’une familleµ-presque orthogonale est libre.

Dans un espace euclidienE, montrez qu’il existe une basee=(e1, . . . ,en)formée de vecteurs unitaires vérifiant :

∀(i,j)∈ 1,n², i6=j =⇒ kei−ejk =1 Exercice 10.0.18 ⋆⋆

SoitEun espace euclidien, etx1, . . . ,xn∈E,α1, . . . ,αn∈R. Montrer que kα1x1+ ··· +αnxnk²É

Ã_n X

i=1

|αi|²

! Ã _n X

i=1

kxik²

!

SoitΦune injection de^N^∗dans^N^∗. Démontrer que_∀n∈N, Xn

k=1

Φ(k) k² Ê

Xn k=1

1 k. En déduire que

nlim→∞

Xn k=1

Φ(k) k² = +∞.

(3)

Soita1, . . . ,ammnombres réels strictement positifs. Démontrer que Xm

n=1

na_n² µXm

n=1

an

¶2> 1 2p

m.

Exercice 10.0.21 ^⋆⋆⋆

Soitf une fonction[0; 1]→Rcontinue,n>0un entier naturel fixé tel que^R₀¹₍₁₋xⁿ)f(x) dx= 0Montrer que :

(2n+2)³ Z¹

0 f(x) dx´2

É Z1

0 (f(x))²dx.

Exercice 10.0.22 ⋆

1. Soienta1, . . . ,an,ba, . . . ,bn,c1, . . . ,cndes réels positifs. Montrer que : Ã _n

X

k=1

akbkck

!2

É Ã _n

X

k=1

a²_kck

! Ã _n X

k=1

b²_kck

! .

2. Soit f : [0, 1]→Rde classe^C¹et telle que f(0)=0. Montrer que pour toutx∈[0, 1], on a :

f²(x)Éx µZ1

0 (f^′(t))²dt

¶ .

3. Soitn réels strictement positifsx1, . . . ,xn tels que^Xⁿ

i=1

xi =1. Montrer que^Xⁿ

i=1

1 xi Ên². Étudier le cas d’égalité.

Exercice 10.0.23 ^⋆ Oral CCP MP 2015 Soitaetbdeux réels tels quea<b.

1. Soithune fonction continue et positive de[a,b]dans^R. Démontrer que^Z^b

a

h(x)dx=0=⇒h=0.

2. SoitEle^R-espace vectoriel des fonctions continues de[a,b]dans^R. On pose,_∀(f,g)∈E²,^¡f|g¢

= Zb

a

f(x)g(x)dx.

Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire surE. 3. Majorer^Z¹

0

pxe⁻^xdxen utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercice 10.0.24 ^⋆⋆⋆ Polynômes de Legendre On munit l’espace vectoriel^Rn[X]du produit scalaire défini par :

(P|Q)=1 2

Z1

−1P(t)Q(t)dt.

Soit(P0, P1, . . . , Pn)la base orthonormalisée par la méthode de Gram-Schmidt de la base canonique(1, X, . . . , Xⁿ). Pour toutk∈ 0,n, on pose :

Lk= 1 p2k+1Pk.

1. Calculer les polynômesL0àL3.

2. Démontrer que pour toutn, le polynômeLnpossèdenracines réelles distinctes appar- tenant toutes à l’intervalle_{]−1, 1[}.

Exercice 10.0.25 ⋆⋆⋆ Centrale PC 2016 On munit l’espace vectoriel^R4[X]du produit scalaire défini par :

(P|Q)= Z2

−2P(t)Q(t)dt.

On dispose des fonctions Python polynômes denumpyetinteger. 1. Montrer que(.|.)est bien un produit scalaire.

2. Écrire une fonction Python qui calcule le produit scalaire entre deux polynômes.

3. Montrer que les sous-espaces vectoriels formés des polynômes pairs et des polynômes impairs sont supplémentaires orthogonaux.

4. Déterminer une base orthonormée deE. 5. On pose

f :

½ E −→ E

P 7−→ 2XP^′+(X²−4)P^′′ . Montrer quef est une symétrie.

6. Écrire la matrice de f dans la base canonique.

Exercice 10.0.26 ^⋆ CCP 2009

Soit E le ^R-espace vectoriel des fonctions^C² sur [0, 1]. Soit V=©

f ∈E :f^′′=fª

et W=

©f ∈E :f(0)=f(1)=0ª.

1. Montrer qu’on définit un produit scalaire surEen posant

∀(f,g)∈E², 〈f|g〉 = Z1

0

¡f(t)g(t)+f^′(t)g^′(t)¢ dt.

2. Montrer que(sh, ch)forme une base deV.

(4)

3. (a) Soitf ∈E. Pour(λ,µ)∈R², on posek=f−¡

λch+µsh¢

. Montrer que : k∈W⇐⇒

·

λ=f(0) et µ= f(1)−f(0) ch(1) sh(1)

¸ .

(b) Montrer queVetWsont supplémentaires dansE. 4. Soitf ∈Vet soit_k.kla norme associée au produit scalaire.

(a) Montrer que^°°f°

°²=f(1)f^′(1)−f(0)f^′(0). (b) Calculerkshk²etkchk².

5. Montrer queV^⊥=W. Exercice 10.0.27 ^⋆

On munit l’espace vectorielE=C⁰([0, 1] ,R)du produit scalaire défini par

∀(f,g)∈E², 〈f|g〉 = Z1

0 f(x)g(x)dx.

On poseH=©

f ∈E :f(0)=0ª

. Soitg∈H^⊥. En utilisant une fonction f :x7→xg(x), montrer queg=0. Conclusion ?

Exercice 10.0.28 ^⋆⋆⋆ Mines 2011

SoitEun espace euclidien et f un endomorphisme deE. On suppose que l’application f est 1-lipschitzienne. Montrer queKer(f −idE)etIm(f−idE)sont supplémentaires orthogonaux.

10.0.2 Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace vectoriel

Soit(E, (.|.))un espace euclidien etu∈L_(E)telle que :_∀x∈E, (u(x)|x)=0. 1. Montrer que :_∀(x,y)∈E², ¡

u(x)|y¢

= −¡

x|u(y)¢. 2. En déduire que :E=Keru⊕^⊥Imu.

Soit^M2(R)muni de son produit scalaire canonique(A|B)=Tr¡ A^TB¢

.

1. Calculer l’orthogonal deDl’ensemble des matrices réelles diagonales de taille2. 2. Calculer l’orthogonal de^S2(R)l’ensemble des matrices carrées symétriques de taille

2.

Exercice 10.0.31 ⋆ Oral CCP MP 2015 SoitEun espace euclidien.

1. SoitAun sous-espace vectoriel deE. Démontrer que^¡A^⊥¢_⊥

=A.

2. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. (a) Démontrer que _(F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥.

(b) Démontrer que(F∩G)^⊥=F^⊥+G^⊥.

Exercice 10.0.32 ^⋆ Oral CCP MP 2015

Soitn∈N∗. On considèreE=M_n(R)l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordren. On pose_∀(A, B)∈E²,_〈A , B〉 =tr(^tAB)où tr désigne la trace et^tAdésigne la transposée de la matriceA.

1. Prouver que_〈_,〉est un produit scalaire surE.

2. On noteSn(R)l’ensemble matrices symétriques deEetAn(R)l’ensemble des matrices antisymétriques deE.

(a) Prouver queE=Sn(R)⊕An(R). (b) Prouver queSn(R)=An(R)^⊥.

3. SoitFl’ensemble des matrices diagonales deE. DéterminerF^⊥.

10.0.3 Projections orthogonales

SoitFle sous-espace de^R³engendré par(1, 0, 1)et_{(1, 2,−1)}. 1. Donner une équation deF.

2. Déterminer une base de l’orthogonal deF. 3. Déterminer le projeté orthogonal de(1, 1, 1)surF.

1. Montrer que (P|Q)=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2) définit un produit scalaire sur E=R₂[X]. Dans la suite, on considèreEmuni de ce produit scalaire.

2. Orthonormaliser la base canonique(1, X, X²). 3. Calculer la distance deX²àF=R₁[X].

Montrer que l’endomorphisme de^R³dont la matrice relativement à la base canonique est

A=1 6





5 −2 −1

−2 2 −2

−1 −2 5





est une projection orthogonale dont on déterminera l’image.

Soit(E, (.|.)) un espace préhilbertien réel et soitp∈L_(E) un projecteur. Montrer quep est orthogonal si et seulement si

∀x∈E, °°p(x)°°É kxk.

(5)

Soit(E, (.|.))un espace euclidien de dimension3,u∈E,u6=0et^P ₌(Vect u)^⊥. Soitp la projection orthogonale sur^P etsla réflexion d’axe^P.

1. Montrer que :_∀x∈E, p(x)=x−(x|u) kuk² u. 2. Montrer que :_∀x∈E, s(x)=x−2(x|u)

kuk²u.

3. On considère dans^R³le plan^P : x−y+z=0. Déterminer la matrice dans la base canonique de la réflexion d’axe^P.

Déterminer la matrice dans la base canonique de^R³de la projection orthogonale sur le plan^P d’équationx+2y−3z=0. En déduire la matrice de la réflexion d’axe ce plan.

Exercice 10.0.39 ^⋆ 1. Montrer que le système

(x+y−z−t =0

x+3y+z−t =0 définit un plan^P de^R⁴.

2. Construire une base orthonormale(f1,f2)de^P.

3. Former la matrice relativement à la base canonique de^R⁴de la projection orthogonale psur le plan^P puis celle de la symétrie orthogonalesd’axe^P.

4. SoitX=(1, 1, 1,−1), calculerd(X, P). Exercice 10.0.40 ⋆

Sur l’espaceE=R_n[X], on définit pour deux polynômes(P, Q)∈E², (P|Q)=

Z1

0

tP(t)Q(t) dt 1. Vérifier que c’est un produit scalaire.

2. Déterminer une base orthonormale du sous-espaceF=R₂[X]pour ce produit scalaire.

3. Déterminer le projeté orthogonal du polynômeP=X³sur le sous-espaceF. Exercice 10.0.41 ⋆

Soit(E,n, (.|.)) un espace euclidien et un vecteurx∈E. Soit un vecteur non-nula∈E. On définit la droite vectorielleD=Vect(a) et son orthogonalH=D^⊥. Exprimer les distances d(x, H)etd(x, D)en fonction de la norme du vecteurxet du produit scalaire(x|a).

SoitEun espace préhilbertien réel et(en)n∈N une famille orthonormale. Soitx∈E. Montrer que

∀n∈N Xn i=1

(x|ei)²É kxk²

SoitEun espace euclidien etpun projecteur. Montrer quepest un projecteur orthogonal si et seulement si

∀x∈E, kp(x)k É kxk Exercice 10.0.44 ⋆ Oral CCP MP 2015

SoitEl’espace vectoriel des applications continues et2π-périodiques de^Rdans^R. 1. Démontrer que^¡f |g¢

= 1 2π

Z2π

0 f (t)g(t)dtdéfinit un produit scalaire surE. 2. SoitFle sous-espace vectoriel engendré par f :x7→cosxetg:x7→cos (2x).

Déterminer le projeté orthogonal surFde la fonctionu:x7→sin²x. Exercice 10.0.45 ⋆ Oral CCP MP 2015

On définit dans^M2(R)×M₂(R)l’application ϕ¡ A, A^′¢

=tr^¡^tAA^′¢, oùtr^¡^tAA^′¢désigne la trace du produit de la matrice^tApar la matriceA^′.

On note^F₌

½µ a b

−b a

¶

, (a,b)∈R²

¾ .

On admet queϕest un produit scalaire sur^M2(R) .

1. Démontrer que^Fest un sous-espace vectoriel de^M2(R). 2. Déterminer une base de^F^⊥.

3. Déterminer la projection orthogonale deJ= µ 1 1

1 1

¶

sur^F^⊥. 4. Calculer la distance deJà^F.

Dans^Mn(R)muni du produit scalaire usuel(A|B)=Tr¡ A^TB¢

, on pose :

U=







0 1 0 . . . 0 0 0 1 . .. ...

... . .. ... 0

0 0 1

1 0 . . . . . . 0







∈M_n₍R).

Soit aussiF=Vect©

U^k|k∈ 0,n−1ª . 1. Montrer que∀k∈ 0,n−1, ¡

U^T¢k

=Uⁿ⁻^k.

2. Montrer que(U^k)k∈0,n−1est une base orthogonale deF.

3. Déterminer la projection orthogonale d’une matriceA∈M_n₍R)surF.

(6)

Soit(E, (.|.))un espace préhilbertien réel, et p,qdeux projecteurs orthogonaux. Montrer les équivalences :

(i)p+qest un projecteur orthogonal (ii)_∀x∈E,^¡p(x)|q(x)¢

=0 (iii)poq=qop=0 (iv)Imp⊥Imq

Dans l’espaceE=R³muni du produit scalaire usuel, on considère le vecteurn=(1, 1, 1)et le sous-espaceF={n}^⊥. Ecrire la matrice du projecteur orthogonal surFdans la base canonique.

Six=(3, 2, 1), déterminerd(x, F).

Exercice 10.0.49 ^⋆⋆ CCP 2007 On munit^R3[X]d’un produit scalaire en posant pourP=

X3 n=0

anXⁿetQ= X3 n=0

bnXⁿ :

〈P|Q〉 = X3 n=0

anbn. .

On considère l’ensembleF={P∈R₃[X] : P(1)=0}.

1. Montrer queFest un espace vectoriel et donner sa dimension.

2. CalculerpF(1)oùpFest la projection orthogonale surF. Exercice 10.0.50 ^⋆

Dans l’espaceE=R[X]muni du produit scalaire défini par :

∀(P, Q)∈E², 〈P|Q〉 = Z1

−1

P(x)Q(x)dx

déterminer la projection deP=X² sur le sous-espace vectorielF=Vect(1, X). Calculer la distance deP=X²àF.

Exercice 10.0.51 ⋆ Centrale 2003

On se place dans^R⁴muni du produit scalaire usuel. Déterminer la matrice, relativement à la base canonique de^R⁴de la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel

F=©

(x,y,z,t) :x+y+z+t=0 et x−y+z−t=0ª . Exercice 10.0.52 ^⋆ CCP 2003

On considère le plan^P d’équation x+y−2z=0 relativement à la base orthonormée^B= (i,j,k)de^R³.

1. Trouver une base orthonormée de^P dont le premier vecteur est colinéaire à(1, 1, 1). 2. Donner la matrice, relativement à^B, de la projection orthogonale surP.

3. Calculer la distance deM(x,y,z)à^P.

4. Donner la matrice, relativement à^B, de la symétrie orthogonale par rapport à^P. Exercice 10.0.53 ⋆

SoitEun espace euclidien etpun projecteur deE. On note

|||p||| = sup

kxk=1

°°p(x)°

°

où_k.kdésigne la norme surEassociée au produit scalaire.

1. Montrer que_|||p||| Ê1.

2. Montrer que si pn’est pas un projecteur orthogonal alors on peut trouver un vecteur z∈Etel que^°^°p(z)°°> kzk.

3. Conclure que_|||p||| =1si et seulement sipest un projecteur orthogonal.

4. Montrer que l’ensemble^P des projecteur orthogonaux deE est une partie fermée et bornée de^L(E).

10.0.4 Symétrie orthogonales

SoitEun espace préhilbertien réel, ets∈L_(E)une symétrie vectorielle. Montrer quesest une symétrie orthogonale si et seulement si_∀x_∈E,ks(x)k = kxk.

SoitE=R⁴muni du produit scalaire usuel etFle plan d’équationsx+2y+z=0,x−z+2t=0. Déterminer une b.o.n. de F, puis écrire la matrice du projecteur orthogonal sur F, et de la symétrie orthogonale par rapport àFdans la base canonique.

SoitEun espace préhilbertien réel. Soit f : E7→Eune application.

1. Montrer l’équivalence :

¡∀x,y∈E,¡ f(x)|y¢

= −¡

x|f(y)¢¢

⇐⇒¡

f est linéaire et_∀x∈E,¡ f(x)|x¢

=0¢ 2. Que peut-on dire de la matrice def dans une baseeorthonormale ?

3. Montrer queKerf etImf sont orthogonaux.

4. Montrer queKerf =Kerf o f. Exercice 10.0.57 ⋆

SoitE=R⁴muni du produit scalaire usuel etFle plan d’équationsx+2y+z=0,x−z+2t=0. Déterminer une b.o.n. de F, puis écrire la matrice du projecteur orthogonal sur F, et de la symétrie orthogonale par rapport àFdans la base canonique.

Exercice 10.0.58 ⋆ Oral CCP MP 2015

SoitEun espace préhilbertien etFun sous-espace vectoriel deEde dimension finien>0. On admet que pour toutx∈E, il existe un élément uniquey0deFtel quex−y0soit orthogonal àFet que la distance dexàFsoit égale à^°^°x−y0

°°. PourA=

µa b c d

¶ etA^′=

µa^′ b^′ c^′ d^′

¶

, on pose^¡A|A^′¢

=aa^′+bb^′+cc^′+dd^′.

(7)

1. Démontrer que( .|. )est un produit scalaire sur^M2(R). 2. Calculez la distance de la matriceA=

µ 1 0

−1 2

¶

au sous-espace vectorielFdes matrices triangulaires supérieures.

10.0.5 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Exercice 10.0.59 ^⋆⋆⋆ X 2001 Résoudre dans^Rⁿ :

Xn i=1

i q

xi−i²=1 2

Xn i=1

xi. Exercice 10.0.60 ⋆⋆⋆ ENS Ulm 1997

Soit (an)une suite de réels positifs, non tous nuls, telle que la série de terme général an

converge.

1. Montrer que pour toutk>1, la série^Pa^k_nconverge.

2. Montrer qu’en posantαk=^+∞X

n=0

a^k_n, la suite^³_α^α^k

k+1

´

k∈Nest décroissante.

Exercice 10.0.61 ⋆⋆⋆ Centrale 2000 On considère la fonction donnée parΓ(x)=R_+∞

0 e⁻^tt^x⁻¹dt. 1. Rappeler le domaine de définition deΓ.

2. Montrer quelnΓest de classe^C²sur_]0,+∞[et que(lnΓ)^′′Ê0.

10.0.6 Problèmes de minimisation

Trouver le réelaqui minimise^R₁²(lnx−ax)²dx. Exercice 10.0.63 ⋆

SoitE=C⁰([−π,π],R). Trouver(a,b,c)∈R³tels que la quantité 1

π Zπ

−π

¡e^t−(a+bsint+ccost)¢2

d t soit minimale.

Exercice 10.0.64 ^⋆ Soitα=inf(a,b)∈R2R1

0(x²−ax−b)²dx.

1. Déterminer un espace euclidien(E, (.|.)), un sous-espace vectorielFdeEet f ∈Etel queα=d(f, F)².

2. En déduire l’existence et le calcul deα.

Exercice 10.0.65 ⋆ Droite des moindres carrés SoientX=(x1, . . . ,xn), Y=(y1, . . . ,yn)∈Rⁿ.

1. InterpréterΦ=inf_(a,b)_∈R2

Ã_n X

i=1

(yi−axi−b)²

!1/2

comme la distance d’un vecteur de^Rⁿ à un sous-espace vectoriel de^Rⁿ.

2. En déduire qu’il existe un couple(a,b)∈R²en lequel cette borne inférieure est atteinte.

3. Calculeraen fonction dex=1 n

Xn i=1

xi,y=1 n

Xn i=1

yi,P=1 n

Xn i=1

xiyi etCx=1 n

Xn i=1

x²_i. Exercice 10.0.66 ⋆

1. Montrer que ^¡f |g¢

=R1 0

¡f(t)g(t)+f^′(y)g^′(t)¢

dt définit un produit scalaire surE= C²([0, 1] ,R).

f ∈E|f^′′=fª

sont supplémentaires orthogonaux dansE.

f ∈E|f(0)=a,f(1)=bª

. Justifier l’existence d’une borne inférieure pour l’ensemble^nR₀¹^¡h(t)²+h^′(t)²¢dt|h∈Ea,b

o. Exercice 10.0.67 ^⋆ Oral CCP MP 2015

SoitEun^R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté(|). On pose_∀x∈E,_||x|| =p

(x|x).

1. (a) Énoncer et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

(b) Dans quel cas a-t-on égalité ? Le démontrer.

2. SoitE=©

f ∈C([a,b] ,R) ,∀x∈[a,b]f(x)>0ª . Prouver que l’ensemble^½Z^b

a

f(t)d t× Zb

a

1

f(t)d t,f ∈E

¾

admet une borne inférieure met déterminer la valeur dem.

10.0.7 Groupe orthogonal

SoitFun sev d’un espace euclidien(E, (.|.))et soitf ∈O(E). Montrer quef(F^⊥)=¡ f(F)¢_⊥. Exercice 10.0.69 ^⋆

Soitf une isométrie vectoriel d’un espace euclidien(E, (.|.)). Montrer que Ker¡

f −idE¢

=Im¡

f −idE¢_⊥ . Exercice 10.0.70 ^⋆

Montrer que l’endomorphisme de^R³canoniquement associé à la matrice A=1

3



−1 2 −2

2 2 1

−2 1 2





est une réflexion dont on déterminera l’axe.