Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture

(1)

Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture

Annexe A

A. Zeghloul

SOMMAIRE

Rappels d’élasticité plane

Fonction d’Airy en variables complexes

Représentation des déplacements et des contraintes

Expression du torseur des efforts

Potentiels complexes dans un domaine Borné et multiplement Connexe

Potentiels complexes dans un domaine infini et multiplement Connexe

Plaque comportant un petit trou circulaire

Méthode utilisant l’intégrale de Cauchy

Plaque comportant un petit trou elliptique

Méthode de Westergaard pour les fissures

(2)

Rappels d’élasticité

Equations de comportement Equations d’équilibre Equations de compatibilité

Solutions vérifiant les CL

Equations de comportement (loi de Hooke)

ε

= +1

υ σ υ

−

σ

E E(trace )I σ =2µε λ+ (traceε)I

σ

RS ε

T

f

µ λ

= +

= + −

R S ||

T ||

E v

Ev

v v

2 1

1 1 2

b g

b gb g

v

E

v E

= +

+

R S ||

T ||

^⇒ ⁼ ⁺

λ λ µ

µ λ µ

λ µ

λ

µ λ µ

2

3 2 2 3 2

b g

Etats plans

0

: 0

0 0 0

x xy

xy y

σ σ

σ σ σ

 

 

 

0

: 0

0 0

x xy

xy y

z

ε ε

ε ε ε

ε

⇓

 

 

 

0

: 0

0 0

x xy

xy y

z

σ σ

σ σ σ

σ

⇓

 

 

 

0

: 0

0 0 0

x xy

xy y

ε ε

ε ε ε

 

 

 

εεεε µµµµ σσσσ λλλλ

λλλλ µµµµ σσσσ σσσσ

εεεε µµµµ σσσσ λλλλ

λλλλ µµµµ σσσσ σσσσ εεεε µµµµσσσσ

x x x y

y y x y

xy xy

= −

+ +

L

N MM O

Q PP

= −

+ +

L

N MM O

Q PP

=

R S

|| |||

T

|| ||

|

1

2 2

1

2 2

1 2

*

c h d i

λ λ

λ λ µ

λ µ

*

=

= +

en déformations planes en contraintes planes 2

2

Par la suite, état de déformations planes x

y

(3)

Résolution par la méthode d’Airy - Equations d’équilibre

div

σσσσ

+ =f 0 f X Y 0

F H GG I

K JJ

^f ^{= −}^{grad V}^où^V ⁼^{V x y}^{( , )} ^X_Y ^V^V^x

y

= − ∂

∂

= − ∂

∂

F H GG G

I K JJ J

σσσσ σσσσ

x x xy y

xy x y y

x x xy y

xy x y y

X Y

V V

, ,

+ + =

RS T|

^⇒

− + =

+ − =

R S|

T|

0 0

b g

d i

σσσσ σσσσ σσσσ

x yy

y xx

xy xy

V A

A

− =

= −

R S|

T|

, , ,

εεεε

ij kl,

+ εεεε

kl ij,

− εεεε

il jk,

− εεεε

jk il,

= 0

- Equations de compatibilité

(ijkl)=(1212), (1213)+PC

ETATS PLANS

  → + =

= = =

RS T ^εεεε ^εεεε

^{z xx}^,^{x yy}^,

^εεεε ^εεεε

^{z yy}^,^{y xx}^,

^εεεε

^{z xy}

^εεεε

^, ^{xy xy}^,

2 0

∆ ∆ Α

b g

⁺ ²₊ ∆ ⁼

2 0

µµµµ λλλλ µµµµ ^V

A fonction d' Airy

* Forces de volume = forces de la pesanteur

f g g y

→ → →

=

ρρρρ

= −

ρρρρ

x

y

V x y( , )=V y( )=ρρρρ gy+V0

∆ ∆ Α b g ⁼ ⁰

∆ ∆ Α

b g

+ ∆

+ =

2

2 0

µµµµ λλλλ µµµµ ^V

Solution d’un problème d’élasticité plane

Fonction biharmonique A

* Forces de volume négligées

avec ∆ ∆ Α b g ⁼ ⁰

σσσσ σσσσ σσσσ

x yy

y xx

=

= − Α Α

Α

,

(4)

Exemple : Etude d’un barrage poids

A B

y

x α H

Sol O

γγγγ

e γγγγb

* Calculer le champ de contraintes en fonction de γ_e, γ_bet α

* Pour quelles valeurs de α le barrage ne se soulève pas en supposant : a- pas d ’infiltration sous le barrage

b- infiltration sous le barrage

A B

y

x α H

Sol O

(5)

Fonction d’Airy en variables complexes

- Fonctions holomorphes (ou analytiques)

z x iy z x iy

= +

RS

= −

M(x,y)

T

x y

⇒ = +

= −

R S ||

T ||

x z z y z z i 2 2 ( , )x y ∈Plan →^g g x y( , ) ( , )x y  → ( , )z z  →^g g z z( , )

g g ig

z x y

, , ,

= −

= +

R S|

T|

1 2 1 2

d i

g g g

g i g g

x z z

y z z

, , ,

, ( , , )

= +

= −

RS T

P P x y Q Q x y

=

RS

=

T

^{( , )}^{( , )} ^g^{= +}^P ^iQ ^g est holomorphe si ∂^g^z

∂ =0

g z g

x i g ' ( )= ∂ y

∂ = − ∂

∂

E

* Propriétés des fonctions analytiques

g P iQ dg

dz g

x i g

= + = ∂ y

∂ = − ∂

avec ∂

∂∂∂∂

P x i Q

x i P

y Q

y

P x

Q y P

y

Q x

+ = − + ⇒

=

= −

R S ||

T ||

∆ P = ∆ Q =

E

0

Les parties réelle et imaginaire d' une fonction analytique, sont harmoniques

UV W

^⇐

Inversement, si et

vérifient les conditions de CauchyP x y Q x y est analytique g P iQ

( , ) ( , )

⇒ = +

- Si g est analytique, sa dérivée et son intégrale le sont aussi

(6)

- Expressions de la fonction d’Airy

∆ ∆ Α b g ⁼

⁰

^Si P = ∆ A ^alors ∆ P = 0 ⇒ est harmonique P

f z P iQ

P x

Q y P y

Q x

b g

= +

=

= −

R S ||

T ||

est analytique avec

∂∂∂∂

Calcul de Q x y

dQ Q

xdx Q ydy

Q dQ P

ydx P xdy ( , )

= +

= =

F

− +

HG I

z z KJ

∂∂∂∂

ϕϕϕϕ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

z f z dz p iq P p

∂∂∂∂

x q

b g

⁼ ¹₄

z b g

^{= +} est analytique ^⇒ ⁼⁴ ⁼⁴ y Si p₁ = −Α px−qy alors ∆p₁=0 ⇒

χχχχ

( )z = p₁+iq₁ est analytique

A px qy p

z z z

z z z z z z

= + + ⇒ = +

= + + +

R S|

1

T|

1

2 Α Α

Re

ϕϕϕϕ χχχχ

ϕϕϕϕ χχχχ ϕϕϕϕ χχχχ

b g b g

b g b g b g b g

Expression des déplacements

2 2

µµµµ εεεε σσσσ λλλλ

λλλλ µµµµ σσσσ σσσσ λλλλ µµµµ

λλλλ µµµµ σσσσ σσσσ σσσσ

µµµµ εεεε σσσσ λλλλ

λλλλ µµµµ σσσσ σσσσ λλλλ µµµµ

λλλλ µµµµ σσσσ σσσσ σσσσ

x x x y x y y

y y x y x y x

= −

+ + = +

+ + −

= −

+ + = +

+ + −

R S ||

T || b gd i b gd i

b gd i b gd i

^⇒

= +

+ −

= +

+ −

R S ||

T ||

2 2

2

2 2

2 µµµµ εεεε λλλλ µµµµ

λλλλ µµµµ µµµµ εεεε λλλλ µµµµ λλλλ µµµµ

x xx

y yy

b g

∆ Α Α

,

∆A P p

x q

= =4∂∂∂∂ =4 y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ^⇒

= +

+ − +

= +

+ − +

R S ||

T ||

2 2 2

µµµµ λλλλ µµµµ

λλλλ µµµµ αααα

λλλλ µµµµ ββββ

U p y

U q x

x x

y y

b g b g

Α Α

,

avec αααα ββββ

y cy d

x cx d

b g b g

^{= − +}⁼ ⁺

RS T

¹²

2 2 2

λλλλ µµµµ

U_x+iU_y = + p iq _x i _y

+ + − +

d i b g d

^Α^, ^Α^,

i

^g ^g ^ig

g g ig

z x y

, , ,

= −

= +

R S|

T|

1 2 1 2

d i

^⇒ ^Α^,^x⁺ⁱ^Α^,^y ^{= ∂}^∂

A

d i

² z

2 2 2

λλλλ µµµµ ϕϕϕϕ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

λλλλ µµµµ

λλλλ µµµµ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ψψψψ

U iU z

z z z z z z

x + y = +

+ − = +

+ − − −

d i b g

^Α

b g b g

^'

d i d i

2µµµµ

d

U_x+iU_y

i

=κκκκ ϕϕϕϕ

b g

z −zϕϕϕϕ^'

d i d i

z −ψψψψ z

avec (z) = ' (z) ψ

ψψ

ψ χχχχ

avec κκκκ λλλλ µµµµ en DP λλλλ µµµµ

= +

+3 = − 3 4v

(7)

Expression des contraintes

σσσσx +iσσσσxy =Α_,yy−iΑ_,xy = −i Α_,x+iΑ_,y y = −i Α_,z y = Αzz−Αzz

, , ,

d i c

²

h

²

c h

, , ,

x yy

y xx

xy xy

σ σ σ

= Α

= −Α

⇒ σσσσ_x +iσσσσ_xy =ϕϕϕϕ'

b g d i

z +ϕϕϕϕ'z −zϕϕϕϕ' '

d i d i

z −ψψψψ'z

g g ig

z x y

, , ,

= −

= +

R S|

T|

1 2 1 2

d i

g g g

g i g g

x z z

y z z

, , ,

, ( , , )

= +

= −

RS T

^{Α =} ¹² ^z

^ϕϕϕϕ b g b g

^z ⁺

^χχχχ

^z ⁺^z

^ϕϕϕϕ

^{( )}^z ⁺

^χχχχ

^{( )}^z

σσσσ_y σσσσ_xy _xx _xy _x _y

x z x zz zz

i i i

− =Α_, + Α_, = Α_, + Α_, = Α = Α +Α

, , , , ,

d i

²

c h

²

c h

⇒ σσσσy−iσσσσxy =ϕϕϕϕ'

b g d i

z +ϕϕϕϕ'z +zϕϕϕϕ' '

d i d i

z +ψψψψ'z

σσσσy+σσσσx =2

e

ϕϕϕϕ'

b g

z +ϕϕϕϕ'

d i

z

j

=4Re

c

ϕϕϕϕ'

b g

z

h

^σσσσy−^σσσσx+2i^σσσσxy =2

d

z^ϕϕϕϕ' '

b g

z +^ψ^ψψ^ψ'

b g

z

i

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

y x

y x xy

z

i z z z

+ =

− + = +

R S|

T|

4

2 2

Re ' Φ

Φ Ψ

c h b g b g b g

d i

^avec (z) = ' (z)

(z) = ' (z) Φ

Ψ ϕϕϕϕ ψ ψψ

RS

ψ

T

* Changement de repère

x

e_r e_θθθθ

θ θ

e x y

r= +

= − +

RS T

^θθθθ ^{cos .}^{sin .}^θθθθ^θθθθ ^{sin .}^{cos .}^θθθθ^θθθθ ^e^eθθθθ^r ^x^y

θθθθ θθθθ θθθθ θθθθ

F HG I KJ

⁼

F

HG I

KJ F

−

HG I

KJ

P avec P : cos sin sin cos u

u u u

u u

r x

y

x y

θθθθ

θθθθ θθθθ θθθθ θθθθ

F HG I KJ

⁼

F

HG I

KJ

⁼

F

⁻ ⁺⁺

HG I

KJ

P cos sin

sin cos

u_r

+

iu_θθθθ

=

e⁻ⁱ^θθθθ(u_x

+

iu_y) 2

µµµµ b

u_r

+

iu_θθθθ

g =

e⁻ⁱ^θθθθ

e κκκκ ϕϕϕϕ b g

z

−

z

ϕϕϕϕ

^'

d i d i

z

− ψ ψψ ψ

z

j

σσσσ σσσσ

h

_{e e}θθθθ

h

_{x y}^t

r

P P

,

=

, ⇒

+ = +

− + = − +

RS T

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

σσσσ

_θθθθ

σσσσ σσσσ

_θθθθ ^θθθθ ^θθθθ

σσσσ σσσσ σσσσ

r x y

r r

i

y x xy

i e i

2 ²

d

2

i

σσσσ

_θθθθ

− σσσσ

_r

+

2i

σσσσ

_r_θθθθ

=

2e²ⁱ^θθθθ

d

z

ϕϕϕϕ

' '

b g

z

+ ψ ψψ ψ

'

b g

z

i =

2e²ⁱ^θθθθ

d

z

^Φ

'

b g b g

z

+ ^Ψ

z

i

y

(8)

Expression du torseur des efforts

n

B C α

x y

P dy ds

dx α α

n

P ⇒

F

HG I

KJ

_{= −}⁼

R S|

T|

n

dy ds dx ds : cos et

sin

cos sin αααα αααα

αααα αααα T P n n Xn Yn

→

F

→ →

H I

K

⁼ ⁼

, σσσσ

b

,

g

X x n

Y y n

n t

x xy yy xy

n t

xy y xy xx

= = + = −

= = + = − +

. . cos sin , cos , sin

σ σ α σ α α α

Α Α

Α Α ^⇒

=

F

HG I KJ

= −

F HG I

KJ R

S ||

T ||

X d

ds y

Y d

ds x

n

∂∂∂∂

Α Α

* Vecteur contrainte

* Résultante par unité d’épaisseur sur BC

F T P n ds X X ds

Y Y ds

B

C n

B C

B n C

→ → →

=

F

H I

K

^⇒

R

⁼₌

S| T|

z z

z

,

X X ds

Y Y ds

B n C

=

R S|

T| z

z

^X ^iY ^B^C ^Xⁿ ^{iY ds}ⁿ ^B^C^d ^y ⁱ ^x ⁱ ^x ⁱ ^y ^B ⁱ ^z

C

B C

+ = + =

F

−

HG I

KJ

^{= −}

L

⁺

NM O

QP

^{= −}

L

NM O

z ^b ^g z

^∂∂∂∂_∂∂∂∂^Α ^∂∂∂∂_∂∂∂∂^Α ^∂∂∂∂_∂∂∂∂^Α ^∂∂∂∂_∂∂∂∂^Α ² ^∂∂∂∂_∂∂∂∂^Α

QP

⇒ X+iY= −i z +z z + z

B

ϕϕϕϕ

b g

ϕϕϕϕ^'

d i d i

ψψψψ C

Α =1 + + +

2 zϕϕϕϕ

b g b g

z χχχχ z zϕϕϕϕ^{( )}z χχχχ^{( )}z

* Moment par unité d’épaisseur en un point O

M OP T P n ds M

B

→ C→ → →

= ∧

F

H I

K

⁼

z

^, ^{( , ,}^{0 0} ⁾ ^{avec M}⁼

z

^B^C

^b

^xYⁿ⁻^{yX ds}ⁿ

^g

⁼

z

^B^C

^L _NM

⁻^xd

^F _HG

^∂∂∂∂_∂∂∂∂^Α_x

^I _KJ

⁻^yd

^F _HG

^∂∂∂∂_∂∂∂∂^Α_y

^I _KJ ^O _QP

IPP ⇒ = −

L

+

NM O

M x

QP

x y

B y

C

B C

Α ∂∂∂∂Α Α

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

x x y

y x iy

x i y z z

z z z z z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

ϕϕϕϕ ψψψψ ϕϕϕϕ

Α Α Α Α

Α

+ = +

F

−

HG I

L KJ

NM O

QP

=

L

NM O

QP

= + +

Re

Re '

b g

b g b g d i

{ }

2

⇒ M = z − z z − z z z

B

Re χχχχ b g ψ ψψ ψ b g ϕϕϕϕ ' b g

C

(9)

Expressions des fonctions et dans un domaine borné et multiplement connexe

ϕϕϕϕ ^{( )} ^z ψψ ψ ψ ^{( )} ^z

* Domaine simplement connexe

D

C

D

C

* Domaine multiplement connexe

D

C1

C2

Domaine doublement connexe

C1

C2

Cm

C_m+1

Cj

Lj

Domaine multiplement connexe

n

- L’uniformité de la solution impose sur tout contour fermé C de D σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

y x

y x xy

z

i z z z

+ =

− + = +

R S|

T|

4

2 2

Re ' Φ

Φ Ψ

b g c h b g b g

d i

- Le champ des contraintes est solution de

ReΦ z

b g

C ⁼⁰

- Cette condition est satisfaite si on prend Φ(z) de la forme : Φz Α_k z z_k Φ z

k

b g

⁼ m

b

⁻

g

⁺

b g

=

∑

^log ^*

1

avec A_k∈R, les points situés à l'intérieur de z_k C_k et Φ^*( )z uniforme dans m_ connexeD

* Vérification sur la courbe fermée L_javec z-z_j=re^iθ

C1

C2

Cm

Cm+1

C_j

Lj n

Φ z iΑ Φz

Lj j Lj

b g

⁼²ππππ ^⇒ ^Re

b g

⁼⁰

(10)

Φ z Α_k z z_k Φ z Φ

k

b g

⁼ m

b

⁻

g

⁺

b g

=

∑

^log ^*

1

avec (z) = '(z)ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ z z dz cste _k z z_k z z_k z z_k z dz cste

k

b g

⁼

z

^Φ

b g

⁺ ⁼

^∑

m₌₁ ^Α

b

⁻

g b

^log ⁻

g b

^{− −}

g

⁺

z

^Φ^*

b g

⁺

Φ^* z dz C_klogz z_k

k

b g

m

b g

z

⁼

^∑

₌₁ ⁻ + fonction uniforme dans D

ϕϕϕϕ ^z ^z k ^{z zk} ^C ^{A z} ^{z zk} ^{z zk}

k m

k k k

k

b g

⁼

b

⁻

g b

⁺ ⁻

g b

⁻

g b

⁻ m ⁻

g

= =

∑

Α log

∑

log

∑

1 1

+ fonction uniforme dans D

Finalement ϕϕϕϕ ^z k^z γγγγk ^{z z}k ϕϕϕϕ ^z

k

b g

⁼ m

b

⁺

g b

⁻

g b g

⁺

∑

= ^Α ^log ^* 1

avec

+ f. u.

A R

C A z C

z z z

k

k k k k

k k

m

= − ∈ ∈

= − −

R S ||

T || ^∑

₌

γγγγ ϕϕϕϕ

b g

b g b g

*

1

σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ ^y σσσσ^x ψψψψ

y x xy

z

i z z z

+ =

− + = +

R S|

T|

4

2 2

Re ' Φ

Φ

b g

Ψ Ψ

c h b g b g

d i

avec (z) = ' (z)

- La condition d’uniformité de la solution impose Ψ(z) uniforme, c.a.d. ψ(z) de la forme :

ψψψ

ψ γγγγ ψψψψ γγγγ

ψ ψψ

z z zk z ψ C

k z

k m

b g

⁼

^∑

⁼ ^'

b

⁻

g

⁺ ^*

b g RS T b g

k^∈ '

log * 1

avec

uniforme dans D

* Conséquences sur le champ des déplacements ?

2 3

µµµµ κκκκ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ψψψψ κκκκ λλλλ µµµµ

λλλλ µµµµ

U_x +iU_y = z −z z − z = +

d i b g

^'

d i d i

^avec + ^{en DP}

ϕϕϕϕ ^z k^z γγγγk ^{z z}k ϕϕϕϕ ^z

k

b g

⁼ m

b

⁺

g b

⁻

g b g

⁺

=

∑

^Α ^log ^*

1

2µµµµ ^Ux+^iUy Lj =2ππππ κκκκⁱ

b

+1

g

^Αj^z+κγκγκγκγ j+γγγγ^'j ^⇒ ⁼

+ =

R S|

T|

^{∀ ∈}

Αj

j j

j m

0

0 1

κγκγκγ

κγ γγγγ ^' ^,

(11)

* Calcul de la résultante du torseur des efforts sur L_j

n orientée vers l' intérieur du contour ⇒ changement de signe

C1

C2

C_m C_m+1

Cj

L_j

Domaine multiplement connexe

Résultante des efforts sur L_j X_j iY_j i z z z z n

Lj

⇒ + = − ϕ

b g

+ ϕ^'

d i d i

+ψ

⇒ + = −

+ = − −

R S|

T|

X iY i i i

X iY

j j j j

2 2

2

ππππ γγγγ ππππ γγγγ ππππ γγγγ γγγγ

'

d

'

i

Α_j

j j

=

+ =

R S|

T|

0 κγ 0 κγ κγ

κγ γγγγ ^' ^⇒

= − +

+

= −

+

R S ||

T ||

γγγγ ππππ κκκκ

γγγγ κκκκ

ππππ κκκκ

j

j j

J

j j

X iY X iY 2 1

2 1

b g

'

* Finalement, les expressions de ϕ^{(z) et}ψ(z) seront :

ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ

ψ κκκκ

ππππ κκκκ ψψψψ

z X iY z z z

k k k

k m

k k k

k m

b g b g b g b g b g

= − + + − +

= + − − +

R S ||

T ||

=⁼

∑

1 2 1 2 1

1

log log

*

Expressions des fonctions et dans un domaine infini et multiplement connexe

ϕϕϕϕ ^{( )} ^z ψψ ψ ψ ^{( )} ^z

* On se place à l’extérieur d’un cercle C_Rde rayon R très grand tel que : ∀j z, _j < <R z

log log log log

)

z z z z

z z z

z z

k z

k k k

− = +

F

−

HG I

KJ

⁼ ⁻ ⁻

F

HG I KJ

⁺

b g

¹ ¹

2

…

uniforme dans ( -CD _R

ψ ψψ

ψ κκκκ

z X iY z z z

k k k

k m

k k k

k m

b g b g b g b g b g

= − + + − +

= + − − +

R S ||

T |

|

=

∑

1

2 1

1

log log

*

ψ ψψ

ψ κκκκ

ϕϕϕϕ ψψψψ

z X iY

z z

z X iY

z z

X X_k Y Y

m

k m

b g b g b g

b g b g

b g b g b g

= − +

+ +

= −

+ +

R S ||

T ||

⁼ ⁼

R S|

T| ^∑ ^∑

2 1

2 1 ¹ ¹

log log

**

** **

avec

et uniformes dans - C et

D R

Développement en série de Laurent ⇒

R

=

S ||

−∞

∑

∞

ϕϕϕϕ^** ^z ^{a z}n

b g

n

(12)

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ

σσσσ σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ψψψψ

y x

y x xy

z z

i z z z

+ = +

− + = +

R S|

T|

2

2 2

' '

' ' '

b g d i

e j

b g b g

d i

n a z a z

a a n

n n

n n n

n n

− −

=

∞ + =

⇒ = = ≥

∑

¹ ¹

2

0

0 2

e j

pour ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ ψ κκκκ

ϕϕϕϕ ψ ψψ ψ

z X iY

z z

z X iY

z z

z a z

n n

b g b g b g

b g b g

= − +

+ +

= −

+ +

R S ||

T ||

=

R S ||

T ||

^−∞

∞

−∞

∞

∑

2 1 2 1

log log

**

** '

avec

σσσσ^y σσσσ^x ππππ κκκκ ππππ κκκκ ⁿ ⁿ ⁿ X iY n

z

X iY

z n a z a z

+ = − +

+ − −

+ + +

L NM O

− −

QP

−∞

∑

∞

2 2 1

1

2 1

1 ₁ ¹

b g b g e j

* Les contraintes doivent rester finies à l’infini

bornée bornée pour

ϕϕϕϕ ψψψψ

y x xy

n

i z z z

z z z a n

− + = +

⇒ ⇒ = ≥

2 2

0 2

' ' '

' ' ' '

b g b g

d i

b g b g

ψ ψψ

ψ κκκκ

ϕϕϕϕ ψ ψψ ψ

z X iY

z z z

z X iY

z z z

B R B iC

z d z

d z z d

z d

z

b g b g b g

b g b g

= − +

+ + +

= −

+ + +

R S ||

T || RS T

^{= +}^∈

= + +

R S|

T|

2 1

0

1 2

2

0

1 2

2

log

log ' ' ' ' ' '

Γ Γ

Γ avec Γ=

et

⋯

* L’expression finale des fonctions ϕ^{(z) et}ψ(z) est donc :

* Calcul des réels B, B’ et C’ en fonction du chargement à l’infini

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

x y z

y x xy z

x y

y x

xy

Lim z B

i Lim z z z

B B

C

∞ ∞

→ ∞

∞ ∞ ∞

→ ∞

∞ ∞

∞

+ = = =

− + = + =

R S|

T|

^⇒

= +

= −

=

R S| T|

4 4 4

2 2 2

4 2 Re '

' ' ' ' '

'

b g

b g b g

d i

Γ

Γ σx

∞

σy

∞∞∞

∞

σxy

∞

∞ α

σI

∞∞

σII

∞∞

α

x y

I II

α

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ψψψψ

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

αααα αααα αααα

I II z

II I

i z

i

I II

II I

i

Lim z B

e Lim z z z e

B

e

∞ ∞

→ ∞

∞ ∞

→ ∞

∞ ∞

∞ ∞ −

+ = = =

− = + =

R S|

T|

^⇒

= +

= −

R S|

T|

4 4 4

2 2

4 1

2

2 2 2

Re '

' ' ' ' '

b g b g b g

d i c h

c h

Γ

Γ Γ

- En fonction des contraintes non principales

- En fonction des contraintes principales