Notes de Révision
Electricité
SMP/SMC, S2
Pr. M.B.S
UIT-FSK, Maroc
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Ce cours de révision suppose que les notions suivantes sont bien maitrisées:
• Les systèmes de coordonnées
• Propriétés des opérateurs différentielles
(Rotationnel, gradiant, divergence, Laplacien)
• Théorèmes fondamentaux
• notion de flux ,
• etc…
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1. Loi de Coulomb
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Prenons deux charges élelctriques Immobiles, placées en deux points A et
B distants de AB=r.
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Chacune des deux charges exercera une force de nature électrostatique sur l’autre. Cette force est donnée par:
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2. Champ créé par une charge
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Soit une charge q placée au point A.
On cherche à déterminer l’effet de cette charge sur un point M (chargé ou non) telque AM=r.
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La charge q (active) donnera lieu à un champ électrostatique au point M donné par
La direction : droite AM Le sens:
• de A vers M si q positive
• de M vers A si q négative www.al3abkari-pro.com
Si le point M porte une charge
7 Supposons que le point M porte lui aussi une charge q’ .
Dans ce cas, on peut parler d’une force entre A(q) et M(q’) Ainsi, par exemple
a) La force exercée par A sur M est donnée par
E q
r u q q
r u
F
A Mqq
4 ' 4 '
'
2 0 2
0
/
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3. Potentiel
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Soit une charge q placée au point A. Le potentiel créé au point M est donné par
La constante (cte) est déterminée par
les conditions initiales. Ici elle est nulle
pour la distance r très grande. www.al3abkari-pro.com
4. Théorème de Gauss
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Application
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Soit une sphère, de centre O et de rayon R portant une charge répartie en volume avec une densité de charge r non constante.
Calculer le champ électrostatique en un point M à la direction r de O dans les deux cas suivants:
a) r =ar où 0<r<R, b) r =b/r ---
Cas a: r =ar
La symétrie sphérique implique que le champ est radial.
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Soit la surface de Gauss. C’est une sphère de centre O et de rayon r. Le TG implique:
. sin
et
avec
4 ,
2
int 0
2 int
r
r
d drd r
dv ar
dv r q
E q
) , (O r
Si r>R.
A partir du point M à l’extérieur de la sphère (O,R) on observe une charge total intérieur égale à
Donc
4 4
int
3 int
2 . 4 2
sin '
' R R a
a q
d d
dr r
a dv
q
r
2 0
4
0 2
4
4 ) 4
( r
aR r
R R a
r
E
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Si r<R.
Donc
4
int
a r
q
0 2
) 4
(
R ar r
E
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Cas b:r = b/r
Si r>R.
Donc Si r<R.
2 2
int int
2 2
. 2 2
sin ' '
R R b
b q
d d dr
r b dv q
r
2 2
0 0
2 2
2 4
) 2
( r
R b r
R R b
r
E
0 0
2 2
2 4
) 2
(
b
r r R b
r
E
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5. Influence partielle
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Le fait d’approcher la charge négative q de la sphère chargée initialement par Q donnera un phénomène d’influence partielle. On aura alors ce qui suit:
En tout point M à l’intérieur de la sphère, le champ est NUL. Vu que la charge négative q crée en M un champ Eq, les charges de la sphère vont se répartir de manière à créer un champ E-q qui annule Eq. Ainsi
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-La partie de la sphère en face de la charge négative portera une charge positive égale à (-q) , l’autre face de la sphère portera la charge (Q+q)
- c’est le phénomène d’influence partielle.
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6. Influence totale
Extrait d’examen 1986/87
Une sphère chargée, de rayon R1 et de densité superficielle de charge s1 positive, est isolée dans l’espace. On entoure cette première sphère par une deuxième sphère de rayons R2 et R3 (R1<R2<R3) initialement neutre.
1) Montrer que les densités de charges s2 et s3 apparues par influence sur la sphère extérieure vérifient la relation
suivante 2
3 3
2 2 2
2 1
1
R s R s R
s
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1) Un phénomène d’influence totale s’établit entre le conducteur S1 et la surface intérieure du conducteur S2 (sphère extérieure). Etant donné que le conducteur S1 porte une charge le conducteur S2 constitué des deux hémisphères portera, à l’équilibre, une charge Q2 sur sa surface intérieure et une charge Q3 sur sa surface extérieure avec
0 0
3 2
2 1
Q Q
et
Q Q
2 1 1
1
4 R
Q s
nt) initialeme neutre
est S
sphère la
car
( 2
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Donc:
Ou bien Donc
Question Facultative:
champ électrique en un point M (OM=r)?
2 3 3 2
2 2 2
1
1
4 4
4 s R s R s R
3 2
1
Q Q
Q
2 3 3
2 2 2
2 1
1
R s R s R
s
0 )
(
) 4 (
4 0 )
(
) 4 (
1
2 0 1 2
1
2 0
2 1
3 2
2 0 1 3
R r
E
r R Q
r R
E
r Q R Q
r R
E
r R Q
r E
