UNIVERSITE D’ABOMEY CALAVI
ECOLE DOCTORALE
« SCIENCES POUR L’INGENIEUR »
DIPLOME D’ETUDES APPROFONDIES SCIENCES POUR L’INGENIEUR
Rapport de Stage
Spécialité :
ENERGETIQUE ET ENVIRONNEMENT
Présenté par :
DAOUDA Mohamed Moukorab Arêmou, Soutenu le Jeudi 24 Mars 2016
Année Académique : 2015 ~ 2016 THEME :
INFLUENCE DE L’ANISOTROPIE HYDRODYNAMIQUE SUR LA CONVECTION FORCEE DANS UN CANAL POREUX
ETROIT ET A SURFACE LIBRE
Sous la direction du :
Pr Gérard DEGAN, PhD. Ing.
Professeur Titulaire des Universités CAMES
i
Dédicace
A mes chers Parents
ii
Remerciements
J’exprime mes sincères remerciements à mon encadreur, le Professeur Gérard DEGAN, Professeur titulaire des Universités CAMES, Vice-Recteur de l’Université Polytechnique d’Abomey, Directeur du Laboratoire d’Energétique et de Mécanique Appliquées (LEMA), qui m’a proposé ce sujet et m’a accompagné tout au long de sa réalisation avec beaucoup d’intérêt et de disponibilité. Je vous reste redevable de m’avoir accepté au sein de votre laboratoire de recherche.
Je tiens à exprimer mes gratitudes sincères au Dr. Christian D.
AKOWANOU, Maître Assistant des Universités CAMES, pour avoir assuré la supervision de proximité de ce travail. Merci pour l’écoute, la disponibilité et, les astuces et connaissances scientifiques enseignées.
Mes remerciements vont également à l’endroit du Comité Doctoral pour leur sens de responsabilité et aux Enseignants de la formation du Diplôme d’Etudes Approfondies de l’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi.
Mes hommages aux illustres membres du Jury Pr. Malahimi ANJORIN, Dr. Latif FAGBEMI, Dr. Guy ANAGO et Dr. Christian AKOWANOU.
Mes amitiés à toute l’Equipe du Laboratoire d’Energétique et de Mécanique Appliquées sans oublier mes amis de promotion.
A toute ma Famille et mes Proches, merci pour vos soutiens. Dieu vous bénisse.
iii
Résumé
Dans ce mémoire, il a été présenté une solution analytique au problème de l’écoulement par convection forcée dans un milieu poreux anisotrope en perméabilité. Le milieu poreux est saturé par un fluide confiné dans un canal horizontal, étroit, ouvert et exposé au rayonnement solaire. Les directions principales du tenseur de perméabilité sont orientées arbitrairement par rapport au champ gravitationnel. Pour satisfaire la condition de non glissement à l’interface du milieu poreux et de la frontière solide, le modèle de Darcy-Brinkman a été adopté. Les effets des paramètres d’anisotropie en perméabilité et du nombre de Darcy sur le transfert de chaleur, la friction pariétale et le gradient de pression ont été étudiés. Il a été montré que le nombre d’Eckert détermine l’apparition du régime de convection thermique dans le canal horizontal. En outre, les paramètres de l’anisotropie hydrodynamique influencent fortement l’écoulement et le transfert thermique convectifs surtout en milieu poreux pur (Da0). Il ressort de l’analyse des résultats obtenus que le transfert convectif thermique maximal (minimal) est obtenu lorsque l’axe principal ayant la perméabilité la plus élevée est parallèle (perpendiculaire) à la direction verticale.
Mots Clés : Canal étroit, Convection, Anisotropie, Milieu poreux, Zone humide
iv
Abstract
In this work, it was presented an analytical solution for fully developing forced convection flow in porous media with an anisotropic permeability. The porous media is saturated by a fluid in a narrow horizontal open channel. The free surface of channel is heated isothermally by the solar radiation. The principal directions of permeability tensor are directed arbitrarily in reference to gravitational field. For the satisfaction of the no-slip boundary condition on solid wall, the generalized Brinkman extended Darcy model was adopted. The effects of anisotropic parameters and Darcy number, on the Nusselt number (heat transfer), the friction wall and the pressure gradient were studied. It was found that Eckert number determines the appearance of the mode of thermal convection in horizontal channel. Moreover, hydrodynamic anisotropic parameters have a strong influence on the flow fields and heat transfer, mostly for a pure porous media (Da0). From the analysis of results, it was showed that a maximum (minimum) heat transfer rate is reached when the orientation of the principal axis with higher permeability is parallel (perpendicular) to vertical direction.
Mots Clés : Narrow duct, Convection, Anisotropic, Porous media, wetland
v
Table des matières
Dédicace ... i
Remerciements ... ii
Résumé ... iii
Abstract ... iv
Table des matières ... v
Liste des figures ... vii
Nomenclature ... ix
Introduction générale ... 1
Chapitre 1 Revue bibliographique ... 4
1.1. Définitions utiles ... 4
1.2. Revue de bibliographie ... 6
Chapitre 2 Modèle Physique et Formulation Mathématique ... 12
2.1. Motivation physique ... 12
2.2. Description physique du modèle ... 14
2.3. Hypothèses Simplificatrices ... 15
2.4. Formulation mathématique ... 15
2.4.1. Equations gouvernantes ... 15
2.4.1.1. Equation de continuité ... 15
2.4.1.2. Equation de mouvement ... 16
2.4.1.3. Equation d’énergie ... 18
2.4.2. Formulation en variables primitives ... 19
2.4.3. Simplification des équations ... 20
2.4.4. Conditions aux limites ... 23
vi
2.4.4.1. Conditions aux frontières hydrodynamiques ... 23
2.4.4.2. Conditions aux frontières thermiques ... 24
2.4.5. Adimensionnalisation des équations ... 24
2.4.5.1. Adimensionnalisation des équations gouvernantes ... 24
2.4.5.2. Adimensionnalisation des conditions aux limites ... 26
Chapitre 3 Résolution du problème ... 27
3.1. Profils de vitesse et de température ... 27
3.1.1. Profil de vitesse ... 27
3.1.2. Profil de température ... 29
3.2. Gradient de pression ... 31
3.3. Friction pariétale ... 32
3.4. Taux de transfert de chaleur ... 33
3.5. Expressions du gradient de pression et du nombre de Nusselt moyen pour des valeurs extrêmes du nombre de Darcy ... 36
Chapitre 4 Résultats et discussion ... 42
4.1. Effet du rapport d’anisotropie sur les profils de vitesse et de température ... 42
4.2. Effet de l’angle d’orientation des axes principaux de perméabilité sur les profils de vitesse et de température ... 45
4.3. Effet des paramètres d’anisotropie sur le gradient de pression ... 49
4.4. Effet du nombre de Darcy et des paramètres d’anisotropie sur le nombre de Nusselt ... 54
Conclusion ... 61
Références Bibliographiques ... 63
vii
Liste des figures
Figure 2-1: Phénomène de convection thermique à travers un substrat saturé ... 13 Figure 2-2 : Modèle physique et système d’axes de coordonnées ... 14 Figure 2-3: Région centrale du canal ... 21
Figure 4-1 : Distribution de vitesse dans le canal pour différentes valeurs de K lorsque 001
. 0
Da et 0 ... 44 Figure 4-2 : Distribution de température dans le canal pour différentes valeurs de K lorsque
001 . 0
Da Pr7.0, Ec0.001 et 0 ... 45 Figure 4-3 : Distribution de vitesse dans le canal pour différentes valeurs de lorsque
001 . 0
Da et K 0.1 ... 46 Figure 4-4: Distribution de vitesse dans le canal pour différentes valeurs de lorsque
001 . 0
Da et K 10 ... 47 Figure 4-5 : Distribution de température dans le canal pour différentes valeurs de lorsque
001 . 0
Da , K 0.1, Pr7.0 et Ec0.001 ... 48 Figure 4-6 : Effet du nombre de Darcy sur la friction pariétale pour différentes valeurs deK avec 0 ... 50 Figure 4-7 : Effet du nombre de Darcy sur le gradient de pression pour différentes valeurs de
lorsque K 0.1 ... 52
Figure 4-8 : Effet du nombre de Darcy sur le gradient de pression pour différentes valeurs de lorsque K 2 ... 53 Figure 4-9 : Effet du nombre de Darcy sur le Nombre de Nusselt pour différentes valeurs de
K avec 0, Pr7.0, Ec0.001 et Re1.0 ... 56
viii
Figure 4-10 : Effet du nombre de Darcy sur le Nombre de Nusselt (en négligeant les effets de dissipation visqueuse) pour différentes valeurs de K lorsque 0 , Pr7.0 et
0 . 1
Re ... 57 Figure 4-11 : Variation du nombre de Nusselt en fonction de pour différentes valeurs de Da
lorsque Pr7.0, Ec0.001 et Re1.0 pour K 0.2 et K 5 ... 59
Figure 4-12 : Variation du nombre de Nusselt en fonction de pour des valeurs de K lorsque
0 . 7
Pr , Ec0.001, Re1.0 et Da5103 ... 60
ix
Nomenclature
Notations
A : rapport de forme du canal, h/L
3 2 1,A ,A
A : constantes, Equations (3.4) c
b
a, , : constantes, Equation (2.9)
2 1,B
B : constantes, Equations (3.12) C : constante, Equation (3.13)
3 2 1,D ,D
D : constantes, Equation (3.30) Da : nombre de Darcy, K1/h2
Ec : nombre d’Eckert, u2 /(cpT)
f : facteur de la contrainte pariétale inférieure
1/2 2
/ u
w
g : accélération de la pesanteur, m/s2 h: épaisseur du modèle physique, m
Hconv : coefficient local de convection, W /m2.K
H : coefficient moyen de transfert par convection, W /m2.K k : conductivité thermique, J/(s.m.K)
x K : tenseur (de second ordre) de la perméabilité, Equation (2.4)
1 2,K
K : perméabilités suivant les axes principaux, m2 K : rapport d’anisotropie en perméabilité, K1 /K2
l: longueur caractéristique du modèle physique, m
Nu : nombre de Nusselt moyen, Nu Hh/k
Nuloc : nombre de Nusselt local, Nuloc Hconv h/k
Nus : nombre de Nusselt moyen en absence des effets de dissipation visqueuse
' , ' Oy
Ox : coordonnées cartésiennes coïncidant avec les axes principaux, m '
p : pression, N /m2 (Pa) p : pression adimensionnelle
Pr : nombre de Prandtl, μcp /k
Q : quantité de chaleur totale adimensionnelle absorbée '
Q : quantité de chaleur totale absorbée par le fluide par unité de largeur, Q/m Re : nombre de Reynolds, hu/
'
t : temps, s
'
T : température du fluide, K
xi
1'
T (T2') : température à la paroi inférieure (à la surface libre) du canal, K
T : différence de température, T2'T1'
u : vitesse moyenne, m/s
v
u, : vitesses adimensionnelles dans les directions principales, (u',v')/(u,v) '
, ' v
u : composantes de la vitesse suivant les axes principaux, m/s
V' : vitesse de filtration, m/s y
x, : coordonnées cartésiennes adimensionnelles, (x, y)/(l,h)
Symboles grecques
: diffusivité thermique, m2 /s
: constante, Equation (2.29)
: porosité du milieu, %
: température adimensionnelle, (T'T1')/T
) (y
s : expression de la température en absence des effets de dissipation visqueuse
: viscosité relative, eff /
: viscosité dynamique du fluide, kg/(m.s)
xii
eff : viscosité dynamique apparente pour le modèle de Brinkman, kg/(m.s)
: viscosité cinématique du fluide, m2 /s
: densité du fluide, kg/m3
f
cp)
( : capacité thermique totale du fluide, J/(m3.K)
w le taux de cisaillement à cette paroi inférieure.
: angle d’orientation des directions principales du tenseur de perméabilité, o
: fonction de dissipation visqueuse en milieu poreux anisotrope
Exposants
' : quantités dimensionnelles
Indices
inf : valeur à la paroi inférieure du milieu poreux
sup : valeur à la paroi à la surface libre du modèle physique moy : valeur moyenne
1
Introduction générale
L’étude de la convection en milieu poreux est d’une grande importance dans les travaux de recherche en mécaniques des fluides. Les raisons sont entre autres, la nécessité d’optimiser les procédés industriels et de maîtriser les phénomènes de transport.
D’une façon générale, la convection est le mode de transfert qui apparaît lorsqu’un fluide est en mouvement et/ou présente des inhomogénéités spatiales de température. Selon la source du mouvement, la convection peut être naturelle et/ou forcée. Elle est naturelle (ou libre) lorsque le mouvement est uniquement dû à l’effet du champ de pesanteur et des gradients de densité. Dans le cas contraire où le mouvement est dû à un apport externe d’énergie, la convection est dite forcée. La superposition des effets du champ de pesanteur et d’une force extérieure engendre une convection mixte. Lorsque, le mouvement du fluide s’effectue avec un transport de chaleur et de matière au contact d’un corps ou d’un solide chauffé, on parle de convection thermique.
Les manifestations de la convection forcée sont les plus présentes dans les canaux horizontaux en absence du champ de la pesanteur. Elle fait l’objet de plusieurs travaux scientifiques depuis plusieurs décennies. Dans le domaine des sciences de l’ingénieur, elle apparaît dans les écoulements membranaires, la dispersion des effluents, l’isolation thermique, etc.
Dans les milieux poreux saturés, les mouvements convectifs entraînent principalement deux effets : l’homogénéisation du fluide et la distribution de la température. Le premier consiste à la diffusion d’une substance ‘‘effet homogénéisant’’ à partir d’une source ponctuelle de propagation dans le milieu aquifère tandis que le deuxième effet est une variation de température dans le
2 milieu poreux. Ces effets facilitent le transport de ces substances et l’échauffement des eaux qui présentent un impact sur la flore. La convection forcée reste l’une des causes importantes de cette manifestation. De tels mouvements existent également dans les eaux peu profondes (lacs, rivières, etc.) à cause de l’interaction entre l’eau superficielle et le sol sous-jacent qui est un milieu poreux.
La majorité des études relatives à ces situations physiques considèrent le milieu homogène et isotrope. Toutefois, en situation réelle d’une convection, l’infiltration du fluide en milieu poreux dépend de la transmissibilité de ce dernier.
La prise en compte de cet aspect physique, qui est la conséquence d’une orientation préférentielle des directions dominantes ou principales du milieu poreux ou de la géométrie asymétrique des grains et des fibres, est déterminante pour une modélisation précise du milieu poreux. En effet, lorsque le milieu est anisotrope, la perméabilité et la conductivité thermique varient selon les directions et cette variation est plus prononcée en perméabilité pour le cas d’une matrice solide thermiquement isolante.
Par ailleurs, dans les zones humides dont le niveau est en dessous de celui de la mer, l’affleurement de la nappe phréatique minimise l’épaisseur du substrat saturé supérieur sur tout le long de la zone. La considération d’étroitesse du canal désigné sous le nom de ‘‘narrow duct’’, y est donc indispensable. Cette étroitesse s’exprime par un rapport de forme (rapport entre l’épaisseur et la longueur du canal) très petit devant l’unité.
Dans la littérature, beaucoup d’auteurs considèrent un seul facteur d’échelle dans l’adimensionnalisation géométrique de leurs modèles physiques en tenant compte de la direction développée par l’écoulement. Mais très peu d’études se
3 sont intéressées à l’étroitesse des canaux (en considérant le rapport de forme) surtout dans le cas d’une convection forcée dans un canal horizontal.
C’est ce qui sous-tend le bien fondé du thème : « Influence de l’anisotropie hydrodynamique sur la convection forcée dans un canal poreux étroit et à surface libre»
L’objectif de ce travail est d’étudier les effets de l’anisotropie en perméabilité d’un milieu poreux saturé par un fluide et confiné dans un canal horizontal et étroit. Le milieu poreux est en convection forcée.
Le présent mémoire est reparti en quatre chapitres précédés d’une introduction générale.
Le premier chapitre est consacré à une revue bibliographique sur les phénomènes de transfert de chaleur par convection forcée dans un milieu poreux et confiné ou non dans un canal horizontal. Un intérêt particulier est porté sur la convection dans les canaux étroits.
Le deuxième chapitre présente la formulation mathématique du problème à résoudre. Il y est présenté le modèle physique du problème ainsi que les développements mathématiques qui l’expriment.
Le troisième chapitre expose la résolution analytique et complète des équations gouvernantes du phénomène.
Dans le quatrième chapitre, les résultats obtenus de la résolution du problème ont été discutés et les conclusions qui s’imposent ont été tirées.
4
Chapitre 1 Revue bibliographique
Plusieurs études ont été réalisées ces trois dernières décennies sur les transferts convectifs. La plupart d’entre elles sont consignées dans des livres de référence comme ceux de Nield et Bejan [1, 2].
Ce chapitre présente, à la suite d’une clarification ordonnée de quelques concepts utiles, une synthèse des travaux antérieurs par rapport à la présente étude.
1.1. Définitions utiles
La convection thermique est celle engendrée par le mouvement d’un fluide qui s’effectue avec un transport de chaleur et de matière en contact d’un corps ou d’un solide chauffé. Elle a généralement lieu lorsque la densité du fluide est fonction de la température.
Un milieu poreux est un milieu solide (pincée de sable, agrégats fibreux, papier filtre, etc.) parsemé de nombreux petits trous ou espaces vides plus ou moins fréquemment dans toute la masse du milieu et de façon désordonnée. Les espaces vides sont appelés les pores et la partie interconnectée du milieu où le fluide peut s’écouler est l’espace poreux effectif. Le volume moyen du milieu non occupé par les pores, représente la matrice solide. Ainsi, la porosité d’un milieu poreux représente la fraction du volume moyen de ce milieu occupé par les espaces vides ; celle occupée par l’espace poreux interconnecté est désignée par
5 la porosité effective qui est un indicateur de la perméabilité c’est-à-dire la facilité avec laquelle le fluide peut s’écouler sous l’effet d’un gradient de pression.
Par ailleurs, le milieu est dit homogène relativement à une certaine propriété, si cette dernière est indépendante de la position dans le milieu ; dans le cas contraire, le milieu est dit hétérogène. Aussi, le milieu est-il dit isotrope relativement à une certaine propriété si cette dernière est indépendante de la direction dans le milieu. Si en un point quelconque du milieu, une propriété varie avec la direction, le milieu est dit anisotrope ou aléotrope en ce point relativement à cette propriété. Généralement, la perméabilité et la conductivité thermique sont les deux propriétés d’anisotropie des milieux poreux. Dans les sols, les formations géologiques ou les nappes aquifères en absence d’intrusion magmatique, l’anisotropie en perméabilité est la seule à considérer dans la modélisation du milieu.
Un autre facteur physique qui influence l’écoulement est le rapport de forme A du canal confinant le milieu poreux. Ce rapport exprime le quotient entre l’épaisseur du milieu sur sa longueur. Pour un rapport de forme très petit devant l’unité, le canal est désigné par l’expression ‘‘narrow duct’’ qui signifie en français ‘‘canal étroit’’.
S’agissant des propriétés du fluide, lorsque le tenseur des contraintes visqueuses est une fonction linéaire du tenseur des taux de déformation, c’est-à- dire que la vitesse de déformation locale est proportionnelle à la contrainte de cisaillement locale, il est dit newtonien. Dans le cas contraire où la viscosité dépend de la contrainte appliquée, le fluide est non-newtonien.
Certains fluides possèdent une densité constante en s’écoulant : ils sont dits incompressibles. Dans notre environnement, la plupart des fluides usuels (comme
6 les eaux de pluies qui circulent à travers les pores d’une formation géologique) sont newtoniens et incompressibles.
1.2. Revue de bibliographie
La présente étude bibliographique est relative à l’investigation menée sur les écoulements thermoconvectifs relatifs à notre sujet de recherche.
Castinel et Combarnous [3] sont les premiers à mener une recherche théorique et expérimentale sur la convection naturelle dans une couche poreuse anisotrope dont les surfaces sont imperméables et isothermes [4]. Ils ont montré que le nombre de Rayleigh critique est un critère d’apparition de la convection.
Epherre [5] a poursuivi leurs travaux en tenant compte aussi de l’anisotropie en conductivité thermique. Ces analyses ont été étendues à la convection supercritique stationnaire par Kvernvold et Tyvand [6] pour montrer par la méthode de Galerkin, que pour un écoulement bidimensionnel dans une couche horizontale illimitée, le nombre de Nusselt dépend du quotient des rapports d’anisotropie en perméabilité et en conductivité thermique.
Dans un système géothermique avec des strates de différentes perméabilités dans un canal ouvert et à paroi inférieure imperméable, Wooding [7] a noté que la perméabilité horizontale peut être dix fois plus grande que celle verticale et que le nombre de Rayleigh critique au niveau de la paroi libre est plus faible qu’au niveau de la paroi imperméable.
Tyvand [8] a étudié analytiquement l’effet simultané de l’anisotropie en perméabilité, en diffusivité thermique et en diffusivité solutale dans une couche poreuse horizontale. Il a montré que lorsque la matrice solide est thermiquement isolée, la courbe de stabilité présente la même pente que celle observée pour le cas isotrope et que le nombre d’ondes critique est constant et égal à celui obtenu
7 dans le cas d’un seul composant chimique. Un modèle général de la détermination du critère d’apparition de la convection naturelle en milieu poreux constitué de plusieurs strates superposées et anisotrope (en perméabilité et en diffusivité thermique) a été proposé par Richard et Gounot [9]. La majorité de ces travaux ont considéré la loi de Darcy (qui ne tient pas compte des effets visqueux) pour exprimer le mouvement.
L’étude de la convection forcée par Nakayama et al., [10] en utilisant le modèle de Darcy-Brinkman (où le terme de diffusion est présent dans l’équation du mouvement), ont montré que les effets visqueux de la paroi agissent sur l’écoulement convectif. Ces auteurs ont étudié le cas d’un milieu poreux isotrope.
En milieu poreux anisotrope, Degan et Vasseur [11] ont montré que les paramètres d’anisotropie (le rapport d’anisotropie des axes principaux de perméabilité et l’angle d’orientation de ses axes) et le nombre de Darcy, influencent fortement la convection en milieu poreux.
Storesletten [12] a mené une étude spécifique aux effets de l’anisotropie sur la convection. Le bilan de cet effet sur l’écoulement convectif en milieu poreux a été fait pour mettre l’accent sur la variabilité de cet effet selon le modèle (géométrie du canal) considéré. Le même auteur [13] a poursuivi en variant la direction des axes de perméabilité. Il a ainsi analysé plusieurs modèles d’anisotropie et a montré que l’effet de l’anisotropie affecte le critère d’apparition par excellence (le nombre de Raleigh) lorsqu’il s’agit d’une couche horizontale.
Autrement dit, Contrairement à un canal vertical [14, 15], lorsque le terme de pesanteur est négligé dans un écoulement convectif en milieu poreux horizontal, le nombre de Rayleigh n’apparaît pas [16].
En général, la configuration physique du modèle est liée aux caractéristiques physiques et à l’environnement du problème à résoudre. Les
8 zones humides présentent généralement la configuration d’une couche poreuse au-dessus d’une couche fluide. Il s’agit donc de la convection en couches superposées qui sont moins abordées dans la littérature à cause des conditions limites à l’interface.
Channabasappa et al., [17] ont étudié le transfert de chaleur par convection dans les couches horizontales superposées où la couche poreuse est isotrope. Ils ont observé que le nombre de Nusselt décroît lorsque l’épaisseur de la couche poreuse croît. Contrairement à ces derniers qui ont maintenu constant la température aux parois, Nield [18] et Somerton et Canton [19] ont montré qu’il existe des phénomènes d’instabilité convective de la couche fluide lorsque la paroi inférieure est chauffée à un flux constant.
En générale, les études analytiques sur les couches superposées font intervenir le paramètre de glissement de Beavers et Joseph qui met en évidence les relations mathématiques à l’interface des deux couches [20, 21] .
En effet, da Costa Hirata [20] a mené une étude concernant la convection naturelle dans un système fluide – poreux horizontal en analysant la stabilité linéaire des modèles à deux domaines. Il a montré que le modèle à un domaine peut conduire à des résultats sensiblement différents lorsque la transition au niveau de l’interface est décrite par une discontinuité des propriétés. Alloui et Vasseur [21], en étudiant la même convection ont montré que les distributions de vitesse et de température, et le taux de transfert de chaleur sont fonction non seulement du nombre de Darcy, mais aussi du paramètre de glissement à l’interface.
Le cas où le milieu poreux est anisotrope a été abordé par Chen et Hsu [22]
et Yovogan et Degan [23]. Les premiers ont fait une étude théorique sur l’apparition de la convection dans un système fluide – poreux à extension infinie
9 dans la direction horizontale. Le milieu fluide est limité en surface par une paroi rigide et la couche poreuse est anisotrope en perméabilité et en diffusivité thermique. Ils ont observé qu’une dominance de la perméabilité verticale confère un état moins stable et une longueur critique des cellules convectives, très faible.
Yovogan et Degan [23] en étudiant la convection thermique dans les lits horizontaux, poreux fluidisés, ont montré que l’anisotropie influence de façon significative l’écoulement convectif et le transfert de chaleur (représenté par le nombre de Nusselt). Lorsque le rapport d’aspect (quotient de la largeur de la couche poreuse sur la largeur totale) est très petit devant l’unité, ces auteurs ont montré que le nombre de Nusselt varie très faiblement avec les paramètres d’anisotropie. Toutefois, si on considère une couche poreuse horizontale de faible épaisseur, sans un lit fluidisé supérieur, l’effet des paramètres de l’anisotropie hydrodynamique pourrait être mieux apprécié sur cette couche isolée. De plus, la configuration de zones humides est un système poreux – fluide, c’est-à-dire que la couche poreuse est au-dessus du lit fluide.
Un tel système très peu abordé, présente une couche poreuse à faible épaisseur (la ville de Cotonou est une zone humide qui illustre bien ce phénomène), confinée dans un canal étroit. Dans la littérature, il existe peu de travaux consacrés à l’étude analytique de la convection dans les canaux étroits.
Les œuvres disponibles portent sur la convection dans des canaux verticaux. En effet, la convection dans les canaux de réacteurs nucléaires, d’échangeurs de chaleur, des systèmes de refroidissement et des procédés membranaires est influencée par la configuration géométrique du canal et en général, l’écoulement est complètement développé selon un axe principal.
Par ailleurs, l’écoulement convectif dans les cavités et canaux poreux horizontaux en système bidimensionnel, se réduit aussi à un développement
10 unidimensionnel [24, 25]. Ces auteurs, en se basant sur la théorie des écoulements parallèles, ont fait une analyse d’échelle selon une extension infinie du canal pour montrer que l’écoulement est complètement développé selon un seul axe du canal.
Ainsi, l’étroitesse du canal serait une condition de simplification des équations primitives.
En effet, Mahmood et Merkin [26] sont les premiers à considérer l’influence de l’étroitesse d’un canal vertical soumis à la convection mixte. Ils ont supposé que l’écoulement de Poiseuille (écoulement parallèle) complètement développé pour obtenir le rapport du nombre de Grashof et du nombre de Reynolds comme critère d’apparition de la convection dans un canal ne renfermant pas une matrice solide.
Lorsque le canal vertical et étroit, confine un milieu poreux, Pop et al., [27]
définissent les nombres de Rayleigh et de Péclet comme critère d’apparition de la convection mixte. Cependant, pour un canal horizontal (absence du champ gravitationnel) soumis à une convection forcée (avec un écoulement laminaire), le critère d’apparition pourrait se limiter au nombre de Prandtl.
A l’instar de la force de pesanteur, la dissipation visqueuse influe les critères d’apparition de la convection. Barletta [28] a étudié la convection mixte avec la dissipation visqueuse dans un canal vertical. Il résulte de ces travaux que la dissipation visqueuse augmente les forces de frottement et par conséquent la vitesse du fluide dans la direction ascendante.
La prise en compte de ce paramètre dans l’étude de la convection en milieu poreux, remonte aux travaux de Ingham et al., [29] ayant déjà montré l’augmentation des forces de frottement. Ce qui a permis à d’autres auteurs, d’apprécier l’influence de la dissipation visqueuse sur la distribution de vitesse
11 [30, 31, 32]. Il ressort de ces études, que le profil de la température est mieux défini lorsque la fonction de la dissipation visqueuse est non négligeable.
Le présent travail se limitera à l’étude de la couche poreuse prise en un seul domaine, de la zone humide. Nous étudierons ainsi, la convection forcée dans un milieu poreux, saturé, anisotrope en perméabilité et confiné dans un canal horizontal étroit et à surface libre. Il est examiné l’influence des paramètres d’anisotropie sur l’écoulement et le transfert de chaleur dans le milieu.
Le modèle physique et la formulation mathématique du problème sont présentés dans le chapitre suivant.
12
Chapitre 2 Modèle Physique et
Formulation Mathématique
Dans ce chapitre, il est présenté une description du modèle physique à résoudre ainsi que les équations qui régissent le phénomène d’écoulement en convection thermique.
2.1. Motivation physique
La convection thermique est présente dans notre environnement quotidien.
Elle est engendrée par des gradients de température en milieu poreux saturé. Elle s’applique dans plusieurs domaines de géophysique. C’est l’exemple d’un écoulement géothermique qui résulte de l’écart de température entre la surface directement en contact avec l’atmosphère et l’ambiance du substrat saturé (figure 2.1).
Ce phénomène s’observe généralement dans les zones inondables et où la nappe phréatique tend à affleurer le sol comme le cas de la ville de Cotonou au Bénin. Dans cette ville où il existe des dépotoirs de déchets, potentiel source ponctuelle de pollution, la diffusion d’un contaminant par convection est possible.
En effet, la vitesse moyenne imposée à l’écoulement et la convection due au gradient géothermique favorisent la dispersion des polluants le long de la couche poreuse et par ricochet dans les nappes d’eaux souterraines.
13 Dans la présente étude, l’écoulement avec transfert de chaleur à travers un milieu poreux à surface libre sera modélisé à partir des lois de conservation classiques. Afin de tenir compte de la variabilité spatiale de la transmissibilité du fluide saturant le milieu, le milieu est considéré anisotrope en perméabilité. Le milieu poreux est confiné dans un canal étroit de grande longueur.
Figure 2-1: Phénomène de convection thermique à travers un substrat saturé
14 2.2. Description physique du modèle
Le modèle physique d’étude est celui d’une couche poreuse, horizontale, étroite, à surface libre, anisotrope en perméabilité et saturée par un fluide en écoulement.
La figure 2.2 présente une configuration bidimensionnelle (Ox',Oy') de l’écoulement. Cette configuration est une section de la matrice poreuse (c’est la partie hachurée en bleu sur la figure 2.1), section faite suivant le plan x'Oy'. Les axes principaux de la perméabilité K1 et K2 forment un angle par rapport aux axes de coordonnées (Oy',Ox') et tournent autour du point origine O.
L’étroitesse du canal est prise en compte dans l’étude par le rapport de forme Ah/L.
La surface libre est chauffée par les rayons solaires à une température constante T2' et la surface inférieure du substrat poreux est à une température
1'
T (T2'). L’écoulement est soumis à une vitesse initiale.
Figure 2-2 : Description physique du modèle et système d’axes de coordonnées
15 2.3. Hypothèses Simplificatrices
Pour la résolution du problème, nous formulons les hypothèses simplificatrices suivantes :
- L’écoulement est supposé bidimensionnel, laminaire et permanent ; - Le fluide est incompressible et newtonien ;
- Le milieu poreux est homogène ; anisotrope en perméabilité mais isotrope en conductivité thermique ;
- Les propriétés thermophysiques sont supposées constantes à l’exception de la variation linéaire de la densité dans le terme de la poussée d’Archimède (approximation de Boussinesq).
- Le transfert d’énergie par rayonnement est négligé contrairement aux effets de la dissipation visqueuse qui sont prises en compte.
2.4. Formulation mathématique 2.4.1. Equations gouvernantes
Les équations de base régissant l’écoulement, le transfert de chaleur et de masse sont énumérées dans cette partie. Le modèle utilisé dans la formulation mathématique du problème est celui de Darcy-Brinkman qui permet de satisfaire la condition de non-glissement à l’interface du milieu poreux et les frontières solides du canal.
2.4.1.1. Equation de continuité
Le principe de conservation de la masse permet d’établir l’équation de continuité. En considérant le milieu poreux comme un milieu continu basé sur le
16 concept du volume élémentaire représentatif pour un fluide s’écoulant à travers les interstices moléculaires, l’équation de continuité est la suivante :
0 ) ( ) .
(
ρV' t'
(2.1)
où la porosité est en général un nombre adimensionnel (donc indépendant du temps), V'est la vitesse de filtration du fluide en écoulement, ()/t' désigne le taux d’accroissement du fluide dans ce volume et .( )
ρV' représente le débit massique net du fluide à travers ce volume.
Le fluide étant supposé incompressible ( constante ), l’équation (2.1) devient :
0
.
V' (2.2)
2.4.1.2. Equation de mouvement
En milieu poreux, la théorie de l’écoulement des fluides homogènes est régie par la loi de Darcy généralisée. Toutefois, pour satisfaire la condition d’adhérence de l’écoulement aux parois, le modèle de Brinkman généralisé permet de mettre en évidence les effets visqueux du fluide. Par ailleurs, d’autres modèles comme ceux de Darcy-Forchheimer et Darcy-Brinkman-Forchheimer sont utilisés pour l’analyse du transfert de chaleur et de la structure de l’écoulement [2].
17 La théorie de l’écoulement régie par la loi de Darcy généralisée est élaborée par Bear [33] , qui en présence du champ gravitationnel terrestre s’écrit :
) ' (
' K p g
V
(2.3)
L’insuffisance de cette loi est qu’elle ne traduit pas l’influence de la nature du fluide sur l’écoulement au niveau des parois. Brinkman [34] a ajouté le terme de diffusion (
2V') pour tenir compte de cette viscosité. Ainsi, on obtient la loi de Darcy-Brinkman qui en négligeant l’effet du champ gravitationnel (écoulement horizontal et étroit) devient :
) ' '
(
' 2
K p V
V eff
(2.4)
où K est le tenseur de perméabilité, la viscosité dynamique du fluide saturant le milieu poreux, p' le gradient de pression dans la direction de l’écoulement et
eff la viscosité apparente du fluide.
Dans l’équation (2.4), K est le tenseur de perméabilité de second ordre et s’exprime dans le système d’axes rotatifs autour de l’origine O par la matrice suivante :
2 2 1 2
1 2 1
2
1 2 2 2
sin cos
sin cos ) (
sin cos ) (
sin cos
K K
K K K
K
K
K K (2.5)
18 Dans les milieux poreux saturés par un fluide dans un canal vertical en convection forcée, Degan et Vasseur [35], ont utilisé le modèle de Darcy-Brinkman généralisée. La présente étude est faite selon ce modèle.
2.4.1.3. Equation d’énergie
En considérant les effets de la dissipation visqueuse, l’équation d’énergie établie à partir du premier principe de la thermodynamique pour un milieu poreux anisotrope en perméabilité et isotrope en conductivité thermique s’écrit selon Bejan [3]:
) .('. ') '
( cp f V T k 2T (2.6)
où ( cp)f est la capacité thermique totale du fluide par unité de volume, T' la température du fluide, k la conductivité thermique du milieu poreux et est la fonction de dissipation visqueuse. Il faut noter que Pop et al., [27] et Barletta et al., [32] ont étudié la convection mixte respectivement avec et sans la dissipation visqueuse. Il apparaît que la prise en compte de la dissipation visqueuse permet de mieux exprimer le profil de la température. Par ailleurs, dans le cas d’une convection mixte dans un canal vertical dont les parois sont maintenues à une température constante telle que T2'T1'comme dans la présente étude, Degan [35] a montré que lorsque est négligée, le profil de température se réduit à une droite affine (d2T'/dy'20).
Les équations (2.2.), (2.4) et (2.6) représentent les équations gouvernantes du problème étudié.
19 2.4.2. Formulation en variables primitives
Les équations (2.2.), (2.4) et (2.6) écrites dans le système bidimensionnel d’axes (Ox',Oy'), permettent d’obtenir les expressions suivantes :
- Equation de continuité
' 0 ' '
'
y v x
u (2.7)
où u'et v' sont les composantes du champ de vitesse V' respectivement dans les directions de x' et y'.
- Equation de mouvement
L’équation (2.4) dans le même système d’axes s’écrit en variables primitives comme suit :
2 2 2 2 1 1
2 2 2 2 1 1
' ' '
' '
' ' '
' ' '
' '
' ' '
y v x
K v y p bv K
cu
y u x
K u x K p cv
au
(2.8)
où eff / est la viscosité relative et les constantes a, b et c correspondent à :
20
2 1
2 2
2 2
2 sin 2 1
1
cos sin
sin cos
K K K
K c
K b
K a
(2.9)
La viscosité relative eff est difficile à évaluer car elle dépend de la microstructure du milieu poreux. En pratique l’approximation eff est souvent utilisée [36]. Ainsi sera pris égale à l’unité.
- Equation d’énergie
L’équation d’énergie (2.6) en variables primitives est :
f
cp
y T x
T y
v T x u T
) ' (
' '
' '
' ' ' ' '
2 2 2
2
(2.10)
où est la fonction de dissipation visqueuse. Pour l’écoulement bidimensionnel d’un fluide incompressible saturant un milieu poreux, la fonction est donnée par [23] :
K V' y
v x u x
v y u y
v x
u
2 2 2
2 2
' ' ' ' 3 2 '
' ' ' '
' '
2 '
(2.11)
2.4.3. Simplification des équations
Intéressons-nous dans cette partie à la région centrale du canal (figure 2.3)
21 Figure 2-3: Région centrale du canal
L et h étant respectivement les échelles caractéristiques des variables x' et y'
dans la zone centrale du canal, on a :
h y
L x
~ '
~
' (2.12)
Sur la base de l’analyse d’échelle (2.12), selon l’équation (2.7), nous pouvons écrire :
h L v u h v L
u
~
' '
~ ' '
avec Ldésignant la longueur du canal pour une extension infinie.
Puisque A h/ L1(d’après l’étroitesse du canal),
L
L alors
h L h
L d’où 1
' '
v u
De ce qui précède, nous déduisons que l’écoulement dans le canal est complètement développé dans la direction horizontale (Ox').
22 Soit :
) ( '
' u y
u (2.13)
Suivant l’équation de continuité (2.7), on obtient :
'0
v (2.14)
Par conséquent, la température dans le canal ne dépend que de l’ordonnée
'
y , soit :
' 0 '
x
T (2.15)
En introduisant les conditions (2.13), (2.14) et (2.15) dans les équations gouvernantes (2.7), (2.8) et (2.10), on obtient les équations simplifiées suivantes :
' 0 d
'
d
x
u (2.16)
2 2 1 1
' d
' d '
' '
y K u x p
au K
(2.17)
' ' 1 '
y p cu K
(2.18)
