Motivation physique

La convection thermique est présente dans notre environnement quotidien.

Elle est engendrée par des gradients de température en milieu poreux saturé. Elle s’applique dans plusieurs domaines de géophysique. C’est l’exemple d’un écoulement géothermique qui résulte de l’écart de température entre la surface directement en contact avec l’atmosphère et l’ambiance du substrat saturé (figure 2.1).

Ce phénomène s’observe généralement dans les zones inondables et où la nappe phréatique tend à affleurer le sol comme le cas de la ville de Cotonou au Bénin. Dans cette ville où il existe des dépotoirs de déchets, potentiel source ponctuelle de pollution, la diffusion d’un contaminant par convection est possible.

En effet, la vitesse moyenne imposée à l’écoulement et la convection due au gradient géothermique favorisent la dispersion des polluants le long de la couche poreuse et par ricochet dans les nappes d’eaux souterraines.

13 Dans la présente étude, l’écoulement avec transfert de chaleur à travers un milieu poreux à surface libre sera modélisé à partir des lois de conservation classiques. Afin de tenir compte de la variabilité spatiale de la transmissibilité du fluide saturant le milieu, le milieu est considéré anisotrope en perméabilité. Le milieu poreux est confiné dans un canal étroit de grande longueur.

Figure 2-1: Phénomène de convection thermique à travers un substrat saturé

14 2.2. Description physique du modèle

Le modèle physique d’étude est celui d’une couche poreuse, horizontale, étroite, à surface libre, anisotrope en perméabilité et saturée par un fluide en écoulement.

La figure 2.2 présente une configuration bidimensionnelle (Ox',Oy') de l’écoulement. Cette configuration est une section de la matrice poreuse (c’est la partie hachurée en bleu sur la figure 2.1), section faite suivant le plan x'Oy'. Les axes principaux de la perméabilité K₁ et K₂ forment un angle  par rapport aux axes de coordonnées (Oy',Ox') et tournent autour du point origine O.

L’étroitesse du canal est prise en compte dans l’étude par le rapport de forme Ah/L.

La surface libre est chauffée par les rayons solaires à une température constante T₂' et la surface inférieure du substrat poreux est à une température

1'

T (T₂'). L’écoulement est soumis à une vitesse initiale.

Figure 2-2 : Description physique du modèle et système d’axes de coordonnées

15 2.3. Hypothèses Simplificatrices

Pour la résolution du problème, nous formulons les hypothèses simplificatrices suivantes :

- L’écoulement est supposé bidimensionnel, laminaire et permanent ; - Le fluide est incompressible et newtonien ;

- Le milieu poreux est homogène ; anisotrope en perméabilité mais isotrope en conductivité thermique ;

- Les propriétés thermophysiques sont supposées constantes à l’exception de la variation linéaire de la densité dans le terme de la poussée d’Archimède (approximation de Boussinesq).

- Le transfert d’énergie par rayonnement est négligé contrairement aux effets de la dissipation visqueuse qui sont prises en compte.

2.4. Formulation mathématique 2.4.1. Equations gouvernantes

Les équations de base régissant l’écoulement, le transfert de chaleur et de masse sont énumérées dans cette partie. Le modèle utilisé dans la formulation mathématique du problème est celui de Darcy-Brinkman qui permet de satisfaire la condition de non-glissement à l’interface du milieu poreux et les frontières solides du canal.

2.4.1.1. Equation de continuité

Le principe de conservation de la masse permet d’établir l’équation de continuité. En considérant le milieu poreux comme un milieu continu basé sur le

16 concept du volume élémentaire représentatif pour un fluide s’écoulant à travers les interstices moléculaires, l’équation de continuité est la suivante :

0 ) ( ) .

(  



 ^

ρV' t'

 _(2.1)

où la porosité  est en général un nombre adimensionnel (donc indépendant du temps), V'^est la vitesse de filtration du fluide en écoulement, ()/t' désigne le taux d’accroissement du fluide dans ce volume et .( )

 ρV' représente le débit massique net du fluide à travers ce volume.

Le fluide étant supposé incompressible ( constante ), l’équation (2.1) devient :

0

. 

 V'^ (2.2)

2.4.1.2. Equation de mouvement

En milieu poreux, la théorie de l’écoulement des fluides homogènes est régie par la loi de Darcy généralisée. Toutefois, pour satisfaire la condition d’adhérence de l’écoulement aux parois, le modèle de Brinkman généralisé permet de mettre en évidence les effets visqueux du fluide. Par ailleurs, d’autres modèles comme ceux de Darcy-Forchheimer et Darcy-Brinkman-Forchheimer sont utilisés pour l’analyse du transfert de chaleur et de la structure de l’écoulement [2].

17 La théorie de l’écoulement régie par la loi de Darcy généralisée est élaborée par Bear [33] , qui en présence du champ gravitationnel terrestre s’écrit :

)

L’insuffisance de cette loi est qu’elle ne traduit pas l’influence de la nature du fluide sur l’écoulement au niveau des parois. Brinkman [34] a ajouté le terme de diffusion (

²V') pour tenir compte de cette viscosité. Ainsi, on obtient la loi de Darcy-Brinkman qui en négligeant l’effet du champ gravitationnel (écoulement horizontal et étroit) devient :

)

où K est le tenseur de perméabilité,  la viscosité dynamique du fluide saturant le milieu poreux, p' le gradient de pression dans la direction de l’écoulement et

eff la viscosité apparente du fluide.

Dans l’équation (2.4), K est le tenseur de perméabilité de second ordre et s’exprime dans le système d’axes rotatifs autour de l’origine O par la matrice suivante :

18 Dans les milieux poreux saturés par un fluide dans un canal vertical en convection forcée, Degan et Vasseur [35], ont utilisé le modèle de Darcy-Brinkman généralisée. La présente étude est faite selon ce modèle.

2.4.1.3. Equation d’énergie

En considérant les effets de la dissipation visqueuse, l’équation d’énergie établie à partir du premier principe de la thermodynamique pour un milieu poreux anisotrope en perméabilité et isotrope en conductivité thermique s’écrit selon Bejan [3]:



 ) .(^'. ')  '

( c_{p f} V T k ²T (2.6)

où ( c_p)_f est la capacité thermique totale du fluide par unité de volume, T' la température du fluide, k la conductivité thermique du milieu poreux et  est la fonction de dissipation visqueuse. Il faut noter que Pop et al., [27] et Barletta et al., [32] ont étudié la convection mixte respectivement avec et sans la dissipation visqueuse. Il apparaît que la prise en compte de la dissipation visqueuse  permet de mieux exprimer le profil de la température. Par ailleurs, dans le cas d’une convection mixte dans un canal vertical dont les parois sont maintenues à une température constante telle que T₂'T₁'comme dans la présente étude, Degan [35] a montré que lorsque  est négligée, le profil de température se réduit à une droite affine (d²T'/dy'²0).

Les équations (2.2.), (2.4) et (2.6) représentent les équations gouvernantes du problème étudié.

19 2.4.2. Formulation en variables primitives

Les équations (2.2.), (2.4) et (2.6) écrites dans le système bidimensionnel d’axes (Ox',Oy'), permettent d’obtenir les expressions suivantes :

- Equation de continuité

' 0

- Equation de mouvement

L’équation (2.4) dans le même système d’axes s’écrit en variables primitives comme suit :

20

- Equation d’énergie

L’équation d’énergie (2.6) en variables primitives est :

 

où  est la fonction de dissipation visqueuse. Pour l’écoulement bidimensionnel d’un fluide incompressible saturant un milieu poreux, la fonction  est donnée par [23] :

2.4.3. Simplification des équations

Intéressons-nous dans cette partie à la région centrale du canal (figure 2.3)

21 Figure 2-3: Région centrale du canal

L et h étant respectivement les échelles caractéristiques des variables x' et y'

Sur la base de l’analyse d’échelle (2.12), selon l’équation (2.7), nous pouvons écrire :

avec L_désignant la longueur du canal pour une extension infinie.

Puisque A h/ L1(d’après l’étroitesse du canal), complètement développé dans la direction horizontale (Ox').

22

Suivant l’équation de continuité (2.7), on obtient :

'0

v (2.14)

Par conséquent, la température dans le canal ne dépend que de l’ordonnée

' gouvernantes (2.7), (2.8) et (2.10), on obtient les équations simplifiées suivantes :

' 0

23

Le problème à résoudre se résume aux équations (2.16), (2.17), (2.18) et (2.19) soumises aux conditions aux limites qui sont discutées dans les paragraphes suivants.

2.4.4. Conditions aux limites

Il s’agit des conditions hydrodynamiques et des conditions thermiques.

2.4.4.1. Conditions aux frontières hydrodynamiques

La surface libre de coordonnée y'h (figure 2.2) étant perméable, la contrainte de cisaillement est nulle à cette surface. Par contre, dans le modèle de Brinkman, les conditions hydrodynamiques se traduisent par la condition d’adhérence à la paroi ( y'0) :

24 2.4.4.2. Conditions aux frontières thermiques

La surface libre est exposée aux rayons solaires et supposée chauffée à la température constante (T₂') supérieure à celle (T₁') de la paroi inférieure du canal.

1' '

; 0

' T T

y   (2.22)

' '

;

' h T T₂

y   (2.23)

2.4.5. Adimensionnalisation des équations

L’adimensionnalisation consiste à transformer les variables dépendantes et indépendantes dimensionnelles en variables sans dimensions. Elle permet une meilleure interprétation du problème physique étudié.

2.4.5.1. Adimensionnalisation des équations gouvernantes

A l’image de ceux utilisés par Pop et al., [27] et Mahmood et al., [26] sur les canaux étroits (narrow ducts), les facteurs d’échelle pour les grandeurs d’intérêt de cette étude sont :

 L(et h) : longueur caractéristique des dimensions x'(et y') du modèle physique.

 u : facteur d’échelle pour la vitesse (représentant le rapport entre le débit spécifique d’écoulement et la distance h).

 T : facteur d’échelle pour la température (T T₂'T₁').

 μLu/h² : facteur d’échelle pour la pression.

25 Il en résulte les variables adimensionnelles suivantes :

 gouvernantes adimensionnelles suivantes :

d 0

26 Dans ces équations, A(h/L)est le rapport de forme du canal (paramètre adimensionnel caractérisant l’étroitesse du canal), Da( K₁/h²)est le nombre de Darcy, Ec(u²/(c_pT)) est le nombre d’Eckert et Pr ( μc_p/k)est le nombre de Prandtl.

2.4.5.2. Adimensionnalisation des conditions aux limites

Les conditions aux limites sous forme adimensionnelle s’écrivent comme suit :

- Conditions aux frontières hydrodynamiques.

0

;

0 

 u

y (2.30)

d 0 d

;

1 

 y

y u (2.31)

- Conditions aux frontières thermiques

0

;

0 

 

y (2.32)

1

;

1 

 

y (2.33)

Par conséquent, le problème à résoudre se résume aux équations (2.25), (2.26), (2.27) et (2.28) soumises aux conditions aux limites (2.30), (2.31), (2.32) et (2.33).

27

Chapitre 3

Résolution du problème

A travers ce chapitre, une procédure analytique est menée pour résoudre le problème posé.

De cette résolution, nous avons obtenu les profils de vitesse et de température, le gradient de pression, et une description quantitative du taux de cisaillement à la paroi inférieure et le taux de transfert de chaleur dans le canal.

3.1. Profils de vitesse et de température 3.1.1. Profil de vitesse

En éliminant les termes de pression, par la dérivée partielle de l’équation (2.26) par rapport à y puis la dérivée partielle de l’équation (2.27) par rapport à

x, nous obtenons :

En égalant les équations (3.1) et (3.2) et en tenant compte de l’équation (2.25), nous obtenons :

28 d 0

d d

d ₂

3

3  

y u y

u  ^(3.3)

Par ailleurs, l’équation (3.3) pourrait être obtenue directement de l’hypothèse d’étroitesse du canal (A1), on a p/y 0.

L’intégration de l’équation (3.3) donne l’expression de la distribution de vitesse :



A1 A2



A3

) 1

(y  e ^y  e^{ y} 

u ^{ }

 ^(3.4)

où A₁, A₂ et A₃ sont des constantes réelles à déterminer.

- En utilisant les conditions aux frontières hydrodynamiques (2.30), on obtient :

 ¹

3 2

A

A  A  (3.5)

- D’après la condition (2.31), du/dy_(y1) 0 et on a :

 1 2

2 A

A  e ^(3.6)

- La vitesse moyenne u_m' du fluide saturant la couche poreuse où l’écoulement est supposé complètement développé est exprimée par [23]:

29

En utilisant les variables adimensionnelles définies à l’équation (2.24), l’équation (3.7) devient :



₀^{1udy 1 (3.8)}

Il résulte de tout ce qui précède, que l’expression générale de la distribution de vitesse donnée à l’équation (3.4) s’écrit :

 

3.1.2. Profil de température

En remplaçant la vitesse u par son expression (3.4) dans l’équation d’énergie (2.28), nous obtenons :

30 distribution de température suivante :

 

où B₁ et B₂sont des constantes réelles à déterminer en utilisant les conditions aux limites (2.32) et (2.33).

- En utilisant la condition (2.32), nous obtenons :



^{3A 3A 8A A}



31 Ainsi, nous déduisons l’expression générale de la distribution de température :

 

3.2. Gradient de pression

En considérant l’étroitesse du canal (A1) de l’équation 2.27, nous avons

0 / 

p y .

Par ailleurs, il est montré que pour un canal horizontal, lorsque le milieu est isotrope en perméabilité (K^ 1c0), la pression dans la direction verticale du canal est nulle (p/y 0) [16].

Aussi d’après Yovogan [25], devrait-on négliger la dérivée partielle de la pression p par rapport à y devant celle par rapport à x et par conséquent, prédire l’écoulement dans le canal étroit, complètement dans la direction dominante (horizontale dans le cas de cette étude) :

x

32 La prise en compte de l’étroitesse du canal permet d’écrire p/xdp/dx

indépendamment de l’anisotropie en perméabilité du milieu.

L’équation de variation de la pression se réduit à :

u y

u x

p ₂

2 2

d d d

d   (3.18)

Ainsi, en remplaçant u par son expression réduite dans l’équation (3.18), nous obtenons pour la différence totale de pression de l’écoulement convectif dans le milieu poreux :

 x

x

p( ) A₁ A₂

  (3.19)

soit :

x x

p   





sinh cosh

) cosh (

3

 

 (3.20)

3.3. Friction pariétale

Le canal étant à surface libre (où le taux de cisaillement est nul), la friction pariétale inférieure est la seule à considérer.

La force de friction exercée à la paroi inférieure limitant la couche poreuse peut être considérée comme suit [35, 23] :

33 de cisaillement à cette paroi.

Pour y 0, la friction pariétale inférieure (3.21) se réduit à :



A₁ A₂



2

Re 

f

soit l’expression suivante :



Il résulte des équations (3.20 et 3.22) que le critère d’existence d’un courant complètement développé se traduit par la relation liant la pression totale et la friction pariétale qui s’écrit :

x

3.4. Taux de transfert de chaleur

Le flux énergétique transféré localement à travers une paroi chaude ou froide (la paroi est à température uniforme dans la présente étude) s’exprime généralement par le nombre de Nusselt local Nu_loc défini par :

34

où H_conv est le coefficient local de convection à une position donnée de la paroi.

En considérant toute la paroi, le taux de transfert thermique total, exprimé par le nombre de Nusselt moyen Nu est donné par :

k h

 H

Nu (3.25)

où H est le coefficient moyen de transfert par convection.

Avec H Q'/(hT), la quantité de chaleur totale Q' mise en jeu est donnée par l’expression [35] :



^

L’adimensionnalisation de l’équation (3.26) donne :



Le nombre de Nusselt moyen peut s’écrire :

hQ

35 Q

Re Pr

Nu ^(3.29)

Dans l’équation (3.29), Q est la quantité de chaleur totale adimensionnelle absorbée, Re(hu/) est le nombre de Reynolds et Pr(c_p /k) est le nombre de Prandtl.

Après intégration et simplification, l’expression de la quantité de chaleur totale Q (Equation 3.27) s’écrit :



_{2 3}



36 Si on s’intéresse au profil de température lorsque les effets de dissipation visqueuse sont négligés (Ec0), le taux de transfert thermique se réduit au premier terme de l’équation (3.30). La distribution de température obtenue à l’équation (3.16) donne :

y

s(y)

 (3.32)

Il s’en suit que le taux de transfert de chaleur devient :

D1

C Re1 Pr

Nu_s  ^(3.33)

En effet, les termes liés aux équations (3.30) et (3.33) permettront de mettre l’accent sur l’importance de la prise en compte de la dissipation visqueuse sur la convection thermique dans cette étude. De plus, l’équation (3.32) montre qu’en absence de la dissipation visqueuse, le profil de température ne dépend pas des paramètres d’anisotropie comme l’ont montré Degan et al., [35].

3.5. Expressions du gradient de pression et du nombre de Nusselt moyen pour des valeurs extrêmes du nombre de Darcy

En procédant de manière analogue à celle suivie par Nakayama et al., [10] et Degan et al., [16], relativement aux situations discutées en pratique, deux cas d’intérêt seront discutés dans ce paragraphe. Le premier cas  1 est relatif aux milieux poreux à porosités élevées et le second cas  1 correspond à ceux à porosités faibles.

37 - Cas 1 : Milieux à porosités élevées,  1

Ce cas correspondant à la situation physique pour laquelle aDa, est relatif à un milieu poreux faiblement anisotrope en perméabilité et pour lequel la résistance due aux effets pariétaux est prédominante par rapport à celle due à la matrice solide, étant donnée que la condition examinée dans ce cas implique que lorsque  0, Da. Cette situation physique approche celle d’un milieu fluide pur pour lequel les effets de l’anisotropie hydrodynamique du milieu poreux sont hors de propos. Grâce au développement limité de sinh et de cosh pour  0, nous obtenons :

 Pour l’expression de la vitesse (équation 3.10) :

 

_^

soit une limite qui s’écrit :



y



 Pour la friction pariétale à la paroi inférieure (équation 3.22) :



soit une limite qui s’écrit :

38

Il est à souligner que dans le cas des milieux à porosités élevées, Degan et al., [16] ont obtenu pour limite de la friction pariétale, la valeur 24soit une valeur

4 fois plus élevée que celle obtenue dans la présente étude. En effet, ces auteurs ont étudié la convection forcée dans un canal horizontal confinant un milieu poreux, où les parois sont imperméables et chauffé à un flux constant.

De façon générale, dans un canal infiniment long à paroi inférieure maintenue à une température constante, la friction pariétale limite est égale à 24 [2]. La valeur obtenue dans le cas de cette étude se justifie par la condition limite choisie à la paroi supérieure (surface libre) qui annule la friction pariétale à ce niveau. Ainsi la friction pariétale totale sur le canal est égale à la friction

Cette valeur limite du gradient de pression confirme celle trouvée par Degan et al., [16].

39 - Cas 2 : Milieux à porosités faibles  1

Ce cas correspondant à la situation physique pour laquelle aDa, est relatif à un milieu poreux fortement anisotrope en perméabilité et pour lequel les effets de l’anisotropie hydrodynamique sont prédominants, ce qui implique que lorsque



  , Da0 . Cette situation approche la situation d’un milieu Darcy pur.

Dans ces conditions, lorsque  , nous obtenons ce qui suit :

 L’expression de la vitesse (équation 3.10) se réduit à :

 

1

1 ¹



  ^

 ^{e y}

u (3.40)

avec une limite qui s’écrit :

 y

e

u ^



 1 ¹

lim (3.41)

 La friction pariétale inférieure (équation 3.22) se réduit à :

1 Re 2

2

 



f  (3.42)

avec une limite qui s’écrit :

lim Re 2



 f (3.43)

De façon analogue au cas 1, nous remarquons que dans cette étude, la valeur limite de la friction pariétale en milieu poreux pur, représente le quart de celle trouvée par Degan et al., [16].

40

 L’équation (3.20) du gradient de pression devient :

1

Cette valeur limite du gradient de pression confirme celle trouvée par Degan et al., [16]

 L’expression de la quantité totale de chaleur (3.30) dans ce cas est :

12

Nous pouvons déduire de l’équation (3.33), que : 5

41 Les équations (3.37), (3.39) d’une part et (3.43), (3.45), (3.47) d’autre part, correspondent à la friction pariétale, au gradient de pression et au taux de transfert de chaleur respectivement pour un milieu fluide et un milieu poreux pur.

42

Chapitre 4 Résultats et discussion

Dans cette partie, les effets des paramètres d’anisotropie hydrodynamique (K^ et  ) et l’influence du nombre de Darcy Da caractéristique du type de milieu ont été étudiés. En effet, nous avons tracé, grâce au logiciel Matlab (R2014a serial update 2), différentes courbes illustrant l’évolution de la vitesse de l’écoulement, la distribution de température, le gradient de pression, la friction pariétale et le taux de transfert de chaleur dans le milieu poreux saturé par l’eau.

4.1. Effet du rapport d’anisotropie sur les profils de vitesse et de température

Les figures 4-1 et 4-2 montrent respectivement l’évolution de la distribution de vitesse et de la température sur toute la largeur du canal pour différentes valeurs de K^ lorsque Da0.001,   0, Pr7.0 et Ec0.001. Les valeurs des nombres adimensionnelles Pret Ecsont fixés en accord avec les travaux de Sohel et al., [37], Bagchi [38] et Yovogan et al., [23].

La figure 4-1 indique que la vitesse à la paroi inférieure est égale à zéro pour les différentes valeurs du rapport d’anisotropie K^, ceci satisfait la condition d’adhérence (non glissement) requise lorsque l’on adopte le modèle de Brinkman.

La vitesse augmente et atteint sa valeur maximale à la surface libre où l’effet de cisaillement est nul. Cette valeur maximale dépend du rapport d’anisotropie K^. En effet, la figure 4-1 montre que pour K^ 1 (K^  0.2), l’intensité de

43 l’écoulement convectif est accentué par rapport à la situation où le milieu poreux est isotrope (K^ 1.0) qui est encore meilleure comparativement au cas où

1

K (K^  5.0). Ce résultat est prévisible car pour un nombre de darcy Da

donné (c’est-à-dire pour une valeur de K₁), une valeur de K^ telle que K^ 1 considérée pour un angle d’orientation   0 correspond à une augmentation de la perméabilité dans la direction horizontale, accentuant ainsi l’écoulement

convectif dans le canal. La tendance inverse est observée lorsque K^ 1 (K^  5.0). Comme conséquence de la réduction de la vitesse, on observe une

canalisation de l’écoulement le long de la paroi horizontale favorisant ainsi le développement d’une couche limite le long de cette paroi.

L’effet de la variation de K^ sur le profil de température est illustré sur la figure 4-2. Les courbes de cette figure indiquent que la température a un profil d’évolution semblable à celui du champ de vitesse décrit précédemment. Ceci démontre de la grande influence des paramètres d’anisotropie hydrodynamique sur le phénomène convectif en milieu poreux.

De la figure 4-2, nous observons également que pour des valeurs de plus grandes de K^, le champ thermique devient de plus en plus développé. Ce résultat est prévisible car lorsque   0 pour K^ 1, l’axe ayant la perméabilité la plus élevée (K₁) est orienté dans le sens des gradients de température les plus élevés.

La tendance inverse est observée lorsque K^ 1 (K^ 0.2). En l’absence de dissipation visqueuse (Ec0), la température évolue linéairement (Equation 3.32) du fond du canal à la surface libre. Ainsi, le nombre d’Eckert Ec détermine l’apparition du régime de convection thermique dans le canal horizontal.

44 Figure 4-1 : Distribution de vitesse dans le canal pour différentes valeurs de K^

lorsque Da0.001 et  0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y U

K*=0.2 K*=1.0 K*=5.0

45 Figure 4-2 : Distribution de température dans le canal pour différentes valeurs de

K lorsque Da0.001, Pr7.0, Ec0.001 et   0

4.2. Effet de l’angle d’orientation des axes principaux de perméabilité sur les profils de vitesse et de température

Les figures 4-3 à 4-5 présentent l’effet de l’angle d’orientation  sur les profils de vitesse et de température pour Da0.001 et K^ 0.1 (c’est-à-dire

Les figures 4-3 à 4-5 présentent l’effet de l’angle d’orientation  sur les profils de vitesse et de température pour Da0.001 et K^ 0.1 (c’est-à-dire

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