Chapitre 4 Résultats et discussion
4.3. Effet des paramètres d’anisotropie sur le gradient de pression
La figure 4-6 présente la friction pariétale inférieure en fonction du nombre de Darcy Da pour différentes valeurs de K lorsque 0. Elle montre que comparativement au cas d’un milieu poreux isotrope (K 1), la friction pariétale croît lorsque K 1(K 5) et décroît lorsque K 1 (K 0.2).
Cette observation peut s’expliquer par le fait que pour un nombre de Darcy Da
donné (c’est-à-dire K1 fixé), l’augmentation (diminution) du rapport d’anisotropie correspond à une diminution (augmentation) de la perméabilité K2
soit un affaiblissement (renforcement) de l’écoulement convectif.
La friction pariétale dans le modèle de Darcy (milieu poreux pur) exprimée par l’équation (3.43), est représentée en traits discontinus sur la figure 4-6. De l’observation des courbes obtenues pour les deux modèles, nous concluons que le modèle de Brinkman et celui de Darcy donnent les mêmes résultats pour la friction pariétale lorsque le nombre de Darcy est inférieur à 102 (Da102) pour des rapports d’anisotropie de plus en plus faibles.
Par contre, lorsque le milieu a une porosité élevée, caractérisée par un nombre de Darcy assez élevé (Da5), quelle que soit la valeur de K, la friction pariétale tend vers une valeur asymptotique caractérisant le cas d’un milieu fluide pur (Equation 3.37). Plus grand est le nombre de Darcy requis pour atteindre cette valeur asymptotique (lim Re 6
0
f
), plus grand est aussi le rapport d’anisotropie.
50 A titre d’exemple, pour K 0.2, cette valeur asymptotique s’observe à partir de
2 . 0
Da et Da4 lorsque K 5.
Figure 4-6 : Effet du nombre de Darcy sur la friction pariétale pour différentes valeurs deK avec 0
La figure 4-7 présente l’évolution du gradient de pression (p/x) en fonction du nombre de Darcy Da pour différentes valeurs de l’angle d’orientation des axes principaux ( ) lorsque K 0.1. Cette figure montre que lorsque le nombre de darcy Da est faible (Da101), p/x est fortement influencé par
10-3 10-2 10-1 100 101 102
0 50 100 150
Da
fRe
K*=5.0 K*=1.0 K*=0.2 Eq. (3.43)
Eq. (3.37)
51 les paramètres d’anisotropie (K et ). La limite Da0 correspond à un milieu poreux pur pour lequel le gradient de pression est une courbe asymptotique obtenue à partir de l’équation (3.45) et représentée en traits discontinus sur la figure 4-7. Dans ce cas limite, p/x diminue avec . Pour un nombre de Darcy
Dadonné, le gradient de pression p/x est plus important lorsque l’angle est maximal ( 90). Tel que l’on peut le prévoir à partir de l’équation (3.37), lorsque la porosité du milieu croît (Da ou K1 plus grand), la résistance à l’écoulement induit par la paroi vient renforcer celle induite par la matrice poreuse, ce qui freine davantage l’écoulement convectif. Comme conséquence, l’écoulement devient de moins en moins influencé par les paramètres d’anisotropie en perméabilité et le gradient de pression atteint sa limite correspondante obtenue dans le cas d’un écoulement fluide visqueux (Equation 3.39).
Par contre si K 1 (figure 4-8), la plus importante valeur du gradient de pression est obtenue lorsque l’angle d’orientation 0. Ce qui confirme, qu’en milieu poreux pur, le gradient de pression p/x est maximal lorsque l’axe principal à forte perméabilité du milieu est parallèle à la gravité.
52 Figure 4-7 : Effet du nombre de Darcy sur le gradient de pression pour
différentes valeurs de lorsque K 0.1
10-3 10-2 10-1 100 101 102
0 50 100 150
Da
φ=0°
φ=30°
φ=90°
∂P
∂x
Eq. (3.45)
Eq. (3.39)
53 Figure 4-8 : Effet du nombre de Darcy sur le gradient de pression pour
différentes valeurs de lorsque K 2
A titre d’exemple, pour 0, la valeur limite du gradient de pression s’observe à partir de Da0.3 tandis que Da3 pour 90.
10-3 10-2 10-1 100 101 102
0 50 100 150 200 250
Da
φ=0°
φ=30°
φ=90°
∂P
∂x
Eq. (3.39)
54 4.4. Effet du nombre de Darcy et des paramètres d’anisotropie sur le
nombre de Nusselt
Les figures 4-9 et 4-10 présentent l’évolution du taux de transfert de chaleur (nombre de Nusselt Nu) en fonction du nombre de Darcy Da pour différentes valeurs de K lorsque 0 respectivement avec et sans l’effet de la dissipation visqueuse. Toutes ces courbes sont tracées avec Pr7.0 (valeur du nombre de Prandtl caractéristique de l’eau à la température de 25°C), Re 1.0 (écoulement laminaire) et Ec0.001 (valeur du nombre d’Eckert caractéristique des fluides en écoulement laminaire).
La figure 4-9 montre, pour Da assez faible, un taux de transfert de chaleur croissant avec K. Ce qui est contraire à l’évolution de l’écoulement convectif (figures 4-1 et 4-2). En conséquence, l’écoulement convectif maximal est celui qui génère la convection thermique minimale.
On observe sur la figure 4-9 (où les effets de la dissipation visqueuse sont pris en compte), deux zones selon les valeurs du nombre de Darcy : Da et
0 Da .
Lorsque le milieu est à porosité élevée (Da), c’est-à-dire que les effets pariétaux prédominent sur ceux de la matrice solide, la solution asymptotique obtenue est une constante (Nu4.38) qui ne dépend pas des paramètres de l’anisotropie en perméabilité. Cette solution correspond à celle d’un milieu fluide pur dans lequel la matrice poreuse est absente. Elle est atteinte pour un nombre de Darcy Da croissant avec le rapport d’anisotropie K. Par exemple, le nombre de Nusselt limite Nu4.38est atteint pour un nombre de Darcy Da0.7 lorsque
2 .
0
K tandis que pourK 5, Da10. Par ailleurs, la valeur limite obtenue, se rapproche de celle obtenue dans un canal infiniment long (Nu4.86) où les
55 parois sont maintenues à une température constante et la paroi inférieure est calorifugée [2] .
Lorsque le milieu est à faible porosité (Da0), les courbes asymptotiques en traits discontinus sont celles de l’équation (3.47) et expriment le modèle de Darcy pur. Elles montrent que le nombre de Nusselt Nuest fortement influencé par le rapport d’anisotropie K. De l’observation des courbes obtenues pour les deux modèles, nous concluons que le modèle de Brinkman et celui de Darcy donnent les mêmes résultats avec une meilleure précision lorsque le rapport d’anisotropie K est le plus élevé.
La figure 4-10 quant à elle, montre l’évolution du taux de transfert de chaleur lorsque les effets de la dissipation visqueuse sont négligés (Ec0).
Comme dans le cas précédent, deux zones s’observent sur les courbes.
Dans la zone caractérisée par une porosité élevée (Da), la solution asymptotique obtenue est la même (Nu4.38) que celle obtenue lorsque les effets de la dissipation visqueuse sont pris en compte. Ainsi, en milieu fluide pur, le nombre de Nusselt limite ne dépend ni des paramètres de l’anisotropie en perméabilité, ni de l’effet de la dissipation visqueuse.
Toutefois, en milieu de Darcy pur (Da0), lorsque la dissipation visqueuse est négligée (Ec0), la tendance asymptotique tend vers une constante
5 . 3
Nu (Equation 3.48) indépendamment de l’influence des paramètres de l’anisotropie hydrodynamique. Ce qui confirme les travaux de Degan et al., [16]
qui ont étudié la convection dans un canal horizontal, anisotrope, chauffé uniformément aux parois et en négligeant les effets de la dissipation visqueuse.
Ces auteurs ont obtenu un nombre de Nusselt limite respectivement Nu8.25
et Nu12 lorsque Da et Da0.
56 Figure 4-9 : Effet du nombre de Darcy sur le Nombre de Nusselt pour différentes
valeurs de K avec 0, Pr7.0, Ec0.001 et Re1.0
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102
0 5 10 15 20 25
Da Nu
Eq. (3.29) Eq. (3.47)
K*=5.0 K*=1.0 K*=0.2
Nu = 4.38
57 Figure 4-10 : Effet du nombre de Darcy sur le Nombre de Nusselt (en négligeant
les effets de dissipation visqueuse) pour différentes valeurs de K lorsque 0 , Pr7.0 et Re1.0
Les figures 4-11 et 4-12 montrent l’effet de l’angle d’orientation sur le Nombre de Nusselt Nu pour différentes valeurs du rapport d’anisotropie K et du nombre de Darcy Da.
La figure 4.11 indique que le nombre de Nusselt Nudépend significativement de . On observe une symétrique par rapport au point 90 lorsque l’angle d’orientation varie entre 0et 180. Pour K 0.2, le taux de
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102
3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4
Da
Nu
K*=5.0K*=1.0 K*=0.2
4.38
Ɵ
58 transfert thermique est maximal à 90 (c’est-à-dire lorsque l’axe de perméabilité la plus élevée est parallèle à la gravité) et minimal à 0 et
180
(c’est-à-dire lorsque l’axe de perméabilité la plus élevée est perpendiculaire à la gravité). La situation inverse est observée pour un rapport d’anisotropie supérieur à l’unité (K 2) pour laquelle le transfert thermique est minimal à 90 et maximal à 0 et 180. Ainsi, le taux de transfert thermique maximal (minimal) est obtenu lorsque l’orientation de l’axe ayant la perméabilité la plus élevée du milieu poreux anisotrope est parallèle (perpendiculaire) à la gravité. Cette même conclusion a été faite par Zhang [39]
et Degan et al., [16] respectivement pour une convection dans une cavité poreuse verticale et horizontale anisotrope en perméabilité. Lorsque le nombre de Darcy augmente, il est montré clairement que l’effet de l’angle d’anisotropie diminue de moins en moins. Lorsque le nombre de Darcy est égale à l’unité (Da1),
38 . 4
Nu , valeur caractéristique d’un milieu fluide pur (figure 4-9).
La figure 4-12 montre l’influence de l’angle d’orientation pour différentes valeurs du rapport d’anisotropie K lorsque le nombre de Darcy
3
10
-5
Da . On observe que lorsque le milieu poreux est isotrope (K 1), le taux de transfert thermique est indépendant de l’angle d’orientation des axes principaux de perméabilité. Ce taux correspond au maximal (minimal) enregistré
lorsque le milieu poreux est anisotrope avec un rapport d’anisotropie K 1 (K 1).
59 Figure 4-11 : Variation du nombre de Nusselt en fonction de pour différentes
valeurs de Da lorsque Pr7.0, Ec0.001 et Re1.0 pour 2
.
0
K et K 5
Par ailleurs, il faut noter que dans le développement général de l’équation (3.29), pour des valeurs Pr, Ec et Re fixées, la variation du taux de transfert thermique dépend théoriquement de la constante (2 a/Da). Ainsi, dans un milieu poreux caractérisé par un Da fixé, la seule constante
2
2 sin
cos
K
a demeure la seule variable à travers K et . Lorsque
0
, a Kdonc, pour deux valeurs de K très rapprochées, les courbes
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Nu
𝝋 (°)
K* = 0.2 K* = 2.0
60 doivent tendre vers un même nombre de Nusselt approximativement. Par contre, lorsque 90, a1 et le nombre de Nusselt ne dépend que de la valeur de
Da. Ce qui justifie sur les figures 4-11 et 4-12, que pour un nombre de Darcy Da
donné, les différentes courbes en fonction du rapport d’anisotropie K coïncident à 90 où la convection thermique est maximale (minimale) lorsque K 1 (K 1).
Figure 4-12 : Variation du nombre de Nusselt en fonction de pour des valeurs de K lorsque Pr7.0 , Ec0.001, Re 1.0 et Da5103
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6
Nu
K*=0.2 K*=1.0 K*=2.0
𝝋 (°)
61
Conclusion
Dans ce mémoire, il a été étudié l’influence de l’anisotropie hydrodynamique sur un écoulement convectif dans un canal horizontal renfermant un milieu poreux et étroit. La surface libre du canal, chauffé uniformément par les rayons solaires, est prise à température constante T2' pendant que la paroi inférieure est maintenue à une température constante T1' (T2'). L’étude a été réalisée en tenant compte des effets de la dissipation visqueuse et la résolution analytique du problème a été faite selon le modèle de Darcy-Brinkman. Les différents résultats obtenus, permettent de conclure que :
- L’écoulement et le champ de température sont grandement influencés par les paramètres d’anisotropie en perméabilité (K et ). L’écoulement convectif est maximal lorsque le rapport d’anisotropie est minimal et les axes principaux de perméabilité coïncident avec les axes de coordonnées.
- Le nombre d’Eckert détermine l’apparition du régime de convection thermique dans le canal horizontal.
- La friction pariétale et le gradient de pression p/x ont une allure semblable lorsque le nombre de Darcy varie. Ils sont tous deux dépendants des paramètres d’anisotropie surtout lorsque Da0. Pour un nombre de Darcy donné, le frottement visqueux à la paroi diminue lorsque le rapport d’anisotropie diminue.
- Lorsque la porosité du milieu est très élevée (Da), ce qui correspond à un milieu fluide pur, les effets visqueux aux parois sont importants et les paramètres d’anisotropies influencent de moins en moins le gradient de pression et le nombre de Nusselt.
- Le taux de transfert thermique dans un milieu poreux augmente avec K
lorsque 0. En milieu poreux pur, le rapport d’anisotropie influence
62 fortement le nombre Nusselt lorsque les effets de dissipation visqueuse sont pris en compte.
- Un transfert convectif thermique maximal (minimal) est obtenu lorsque l’orientation de l’axe ayant la perméabilité la plus élevée du milieu poreux est parallèle (perpendiculaire) à la gravité.
Il faut souligner qu’un rapport d’anisotropie inférieure à l’unité (qui caractérise un écoulement très développé dans la direction horizontale) correspond au mieux à une simulation réelle. Dans ce cas, l’écoulement convectif maximal traduirait l’importante potentialité du milieu à faciliter le transport des substances (qui peuvent être des polluants) vers les cours d’eau environnants. Ce qui constitue un problème environnemental majeur.
Par ailleurs, cette étude théorique mérite d’être approfondie en tenant compte de la configuration de couches superposées en zones humides. Ainsi, les perspectives de ce travail sont :
- L’étude de la convection en milieux superposés (couche poreuse au-dessus d’une couche fluide) caractéristiques des zones humides avec affleurement de la nappe phréatique. Cette étude pourra analyser l’infiltration verticale (canal verticale) et l’infiltration horizontale (canal horizontal).
- L’étude du flux radiatif dû au réchauffement de la surface des zones humides par les rayons solaires.
- L’analyse de la tortuosité sur les sentiers étroits confinant un milieu poreux d’infiltration horizontale de l’eau.
- La configuration tridimensionnelle du problème étudié.
63
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