Revue de bibliographie

La présente étude bibliographique est relative à l’investigation menée sur les écoulements thermoconvectifs relatifs à notre sujet de recherche.

Castinel et Combarnous [3] sont les premiers à mener une recherche théorique et expérimentale sur la convection naturelle dans une couche poreuse anisotrope dont les surfaces sont imperméables et isothermes [4]. Ils ont montré que le nombre de Rayleigh critique est un critère d’apparition de la convection.

Epherre [5] a poursuivi leurs travaux en tenant compte aussi de l’anisotropie en conductivité thermique. Ces analyses ont été étendues à la convection supercritique stationnaire par Kvernvold et Tyvand [6] pour montrer par la méthode de Galerkin, que pour un écoulement bidimensionnel dans une couche horizontale illimitée, le nombre de Nusselt dépend du quotient des rapports d’anisotropie en perméabilité et en conductivité thermique.

Dans un système géothermique avec des strates de différentes perméabilités dans un canal ouvert et à paroi inférieure imperméable, Wooding [7] a noté que la perméabilité horizontale peut être dix fois plus grande que celle verticale et que le nombre de Rayleigh critique au niveau de la paroi libre est plus faible qu’au niveau de la paroi imperméable.

Tyvand [8] a étudié analytiquement l’effet simultané de l’anisotropie en perméabilité, en diffusivité thermique et en diffusivité solutale dans une couche poreuse horizontale. Il a montré que lorsque la matrice solide est thermiquement isolée, la courbe de stabilité présente la même pente que celle observée pour le cas isotrope et que le nombre d’ondes critique est constant et égal à celui obtenu

7 dans le cas d’un seul composant chimique. Un modèle général de la détermination du critère d’apparition de la convection naturelle en milieu poreux constitué de plusieurs strates superposées et anisotrope (en perméabilité et en diffusivité thermique) a été proposé par Richard et Gounot [9]. La majorité de ces travaux ont considéré la loi de Darcy (qui ne tient pas compte des effets visqueux) pour exprimer le mouvement.

L’étude de la convection forcée par Nakayama et al., [10] en utilisant le modèle de Darcy-Brinkman (où le terme de diffusion est présent dans l’équation du mouvement), ont montré que les effets visqueux de la paroi agissent sur l’écoulement convectif. Ces auteurs ont étudié le cas d’un milieu poreux isotrope.

En milieu poreux anisotrope, Degan et Vasseur [11] ont montré que les paramètres d’anisotropie (le rapport d’anisotropie des axes principaux de perméabilité et l’angle d’orientation de ses axes) et le nombre de Darcy, influencent fortement la convection en milieu poreux.

Storesletten [12] a mené une étude spécifique aux effets de l’anisotropie sur la convection. Le bilan de cet effet sur l’écoulement convectif en milieu poreux a été fait pour mettre l’accent sur la variabilité de cet effet selon le modèle (géométrie du canal) considéré. Le même auteur [13] a poursuivi en variant la direction des axes de perméabilité. Il a ainsi analysé plusieurs modèles d’anisotropie et a montré que l’effet de l’anisotropie affecte le critère d’apparition par excellence (le nombre de Raleigh) lorsqu’il s’agit d’une couche horizontale.

Autrement dit, Contrairement à un canal vertical [14, 15], lorsque le terme de pesanteur est négligé dans un écoulement convectif en milieu poreux horizontal, le nombre de Rayleigh n’apparaît pas [16].

En général, la configuration physique du modèle est liée aux caractéristiques physiques et à l’environnement du problème à résoudre. Les

8 zones humides présentent généralement la configuration d’une couche poreuse au-dessus d’une couche fluide. Il s’agit donc de la convection en couches superposées qui sont moins abordées dans la littérature à cause des conditions limites à l’interface.

Channabasappa et al., [17] ont étudié le transfert de chaleur par convection dans les couches horizontales superposées où la couche poreuse est isotrope. Ils ont observé que le nombre de Nusselt décroît lorsque l’épaisseur de la couche poreuse croît. Contrairement à ces derniers qui ont maintenu constant la température aux parois, Nield [18] et Somerton et Canton [19] ont montré qu’il existe des phénomènes d’instabilité convective de la couche fluide lorsque la paroi inférieure est chauffée à un flux constant.

En générale, les études analytiques sur les couches superposées font intervenir le paramètre de glissement de Beavers et Joseph qui met en évidence les relations mathématiques à l’interface des deux couches [20, 21] .

En effet, da Costa Hirata [20] a mené une étude concernant la convection naturelle dans un système fluide – poreux horizontal en analysant la stabilité linéaire des modèles à deux domaines. Il a montré que le modèle à un domaine peut conduire à des résultats sensiblement différents lorsque la transition au niveau de l’interface est décrite par une discontinuité des propriétés. Alloui et Vasseur [21], en étudiant la même convection ont montré que les distributions de vitesse et de température, et le taux de transfert de chaleur sont fonction non seulement du nombre de Darcy, mais aussi du paramètre de glissement à l’interface.

Le cas où le milieu poreux est anisotrope a été abordé par Chen et Hsu [22]

et Yovogan et Degan [23]. Les premiers ont fait une étude théorique sur l’apparition de la convection dans un système fluide – poreux à extension infinie

9 dans la direction horizontale. Le milieu fluide est limité en surface par une paroi rigide et la couche poreuse est anisotrope en perméabilité et en diffusivité thermique. Ils ont observé qu’une dominance de la perméabilité verticale confère un état moins stable et une longueur critique des cellules convectives, très faible.

Yovogan et Degan [23] en étudiant la convection thermique dans les lits horizontaux, poreux fluidisés, ont montré que l’anisotropie influence de façon significative l’écoulement convectif et le transfert de chaleur (représenté par le nombre de Nusselt). Lorsque le rapport d’aspect (quotient de la largeur de la couche poreuse sur la largeur totale) est très petit devant l’unité, ces auteurs ont montré que le nombre de Nusselt varie très faiblement avec les paramètres d’anisotropie. Toutefois, si on considère une couche poreuse horizontale de faible épaisseur, sans un lit fluidisé supérieur, l’effet des paramètres de l’anisotropie hydrodynamique pourrait être mieux apprécié sur cette couche isolée. De plus, la configuration de zones humides est un système poreux – fluide, c’est-à-dire que la couche poreuse est au-dessus du lit fluide.

Un tel système très peu abordé, présente une couche poreuse à faible épaisseur (la ville de Cotonou est une zone humide qui illustre bien ce phénomène), confinée dans un canal étroit. Dans la littérature, il existe peu de travaux consacrés à l’étude analytique de la convection dans les canaux étroits.

Les œuvres disponibles portent sur la convection dans des canaux verticaux. En effet, la convection dans les canaux de réacteurs nucléaires, d’échangeurs de chaleur, des systèmes de refroidissement et des procédés membranaires est influencée par la configuration géométrique du canal et en général, l’écoulement est complètement développé selon un axe principal.

Par ailleurs, l’écoulement convectif dans les cavités et canaux poreux horizontaux en système bidimensionnel, se réduit aussi à un développement

10 unidimensionnel [24, 25]. Ces auteurs, en se basant sur la théorie des écoulements parallèles, ont fait une analyse d’échelle selon une extension infinie du canal pour montrer que l’écoulement est complètement développé selon un seul axe du canal.

Ainsi, l’étroitesse du canal serait une condition de simplification des équations primitives.

En effet, Mahmood et Merkin [26] sont les premiers à considérer l’influence de l’étroitesse d’un canal vertical soumis à la convection mixte. Ils ont supposé que l’écoulement de Poiseuille (écoulement parallèle) complètement développé pour obtenir le rapport du nombre de Grashof et du nombre de Reynolds comme critère d’apparition de la convection dans un canal ne renfermant pas une matrice solide.

Lorsque le canal vertical et étroit, confine un milieu poreux, Pop et al., [27]

définissent les nombres de Rayleigh et de Péclet comme critère d’apparition de la convection mixte. Cependant, pour un canal horizontal (absence du champ gravitationnel) soumis à une convection forcée (avec un écoulement laminaire), le critère d’apparition pourrait se limiter au nombre de Prandtl.

A l’instar de la force de pesanteur, la dissipation visqueuse influe les critères d’apparition de la convection. Barletta [28] a étudié la convection mixte avec la dissipation visqueuse dans un canal vertical. Il résulte de ces travaux que la dissipation visqueuse augmente les forces de frottement et par conséquent la vitesse du fluide dans la direction ascendante.

La prise en compte de ce paramètre dans l’étude de la convection en milieu poreux, remonte aux travaux de Ingham et al., [29] ayant déjà montré l’augmentation des forces de frottement. Ce qui a permis à d’autres auteurs, d’apprécier l’influence de la dissipation visqueuse sur la distribution de vitesse

11 [30, 31, 32]. Il ressort de ces études, que le profil de la température est mieux défini lorsque la fonction de la dissipation visqueuse est non négligeable.

Le présent travail se limitera à l’étude de la couche poreuse prise en un seul domaine, de la zone humide. Nous étudierons ainsi, la convection forcée dans un milieu poreux, saturé, anisotrope en perméabilité et confiné dans un canal horizontal étroit et à surface libre. Il est examiné l’influence des paramètres d’anisotropie sur l’écoulement et le transfert de chaleur dans le milieu.

Le modèle physique et la formulation mathématique du problème sont présentés dans le chapitre suivant.

12

Chapitre 2 Modèle Physique et

Formulation Mathématique

Dans ce chapitre, il est présenté une description du modèle physique à résoudre ainsi que les équations qui régissent le phénomène d’écoulement en convection thermique.

2.1. Motivation physique

La convection thermique est présente dans notre environnement quotidien.

Elle est engendrée par des gradients de température en milieu poreux saturé. Elle s’applique dans plusieurs domaines de géophysique. C’est l’exemple d’un écoulement géothermique qui résulte de l’écart de température entre la surface directement en contact avec l’atmosphère et l’ambiance du substrat saturé (figure 2.1).

Ce phénomène s’observe généralement dans les zones inondables et où la nappe phréatique tend à affleurer le sol comme le cas de la ville de Cotonou au Bénin. Dans cette ville où il existe des dépotoirs de déchets, potentiel source ponctuelle de pollution, la diffusion d’un contaminant par convection est possible.

En effet, la vitesse moyenne imposée à l’écoulement et la convection due au gradient géothermique favorisent la dispersion des polluants le long de la couche poreuse et par ricochet dans les nappes d’eaux souterraines.

13 Dans la présente étude, l’écoulement avec transfert de chaleur à travers un milieu poreux à surface libre sera modélisé à partir des lois de conservation classiques. Afin de tenir compte de la variabilité spatiale de la transmissibilité du fluide saturant le milieu, le milieu est considéré anisotrope en perméabilité. Le milieu poreux est confiné dans un canal étroit de grande longueur.

Figure 2-1: Phénomène de convection thermique à travers un substrat saturé

14 2.2. Description physique du modèle

Le modèle physique d’étude est celui d’une couche poreuse, horizontale, étroite, à surface libre, anisotrope en perméabilité et saturée par un fluide en écoulement.

La figure 2.2 présente une configuration bidimensionnelle (Ox',Oy') de l’écoulement. Cette configuration est une section de la matrice poreuse (c’est la partie hachurée en bleu sur la figure 2.1), section faite suivant le plan x'Oy'. Les axes principaux de la perméabilité K₁ et K₂ forment un angle  par rapport aux axes de coordonnées (Oy',Ox') et tournent autour du point origine O.

L’étroitesse du canal est prise en compte dans l’étude par le rapport de forme Ah/L.

La surface libre est chauffée par les rayons solaires à une température constante T₂' et la surface inférieure du substrat poreux est à une température

1'

T (T₂'). L’écoulement est soumis à une vitesse initiale.

Figure 2-2 : Description physique du modèle et système d’axes de coordonnées

15 2.3. Hypothèses Simplificatrices

Pour la résolution du problème, nous formulons les hypothèses simplificatrices suivantes :

- L’écoulement est supposé bidimensionnel, laminaire et permanent ; - Le fluide est incompressible et newtonien ;

- Le milieu poreux est homogène ; anisotrope en perméabilité mais isotrope en conductivité thermique ;

- Les propriétés thermophysiques sont supposées constantes à l’exception de la variation linéaire de la densité dans le terme de la poussée d’Archimède (approximation de Boussinesq).

- Le transfert d’énergie par rayonnement est négligé contrairement aux effets de la dissipation visqueuse qui sont prises en compte.

2.4. Formulation mathématique 2.4.1. Equations gouvernantes

Les équations de base régissant l’écoulement, le transfert de chaleur et de masse sont énumérées dans cette partie. Le modèle utilisé dans la formulation mathématique du problème est celui de Darcy-Brinkman qui permet de satisfaire la condition de non-glissement à l’interface du milieu poreux et les frontières solides du canal.

2.4.1.1. Equation de continuité

Le principe de conservation de la masse permet d’établir l’équation de continuité. En considérant le milieu poreux comme un milieu continu basé sur le

16 concept du volume élémentaire représentatif pour un fluide s’écoulant à travers les interstices moléculaires, l’équation de continuité est la suivante :

0 ) ( ) .

(  



 ^

ρV' t'

 _(2.1)

où la porosité  est en général un nombre adimensionnel (donc indépendant du temps), V'^est la vitesse de filtration du fluide en écoulement, ()/t' désigne le taux d’accroissement du fluide dans ce volume et .( )

 ρV' représente le débit massique net du fluide à travers ce volume.

Le fluide étant supposé incompressible ( constante ), l’équation (2.1) devient :

0

. 

 V'^ (2.2)

2.4.1.2. Equation de mouvement

En milieu poreux, la théorie de l’écoulement des fluides homogènes est régie par la loi de Darcy généralisée. Toutefois, pour satisfaire la condition d’adhérence de l’écoulement aux parois, le modèle de Brinkman généralisé permet de mettre en évidence les effets visqueux du fluide. Par ailleurs, d’autres modèles comme ceux de Darcy-Forchheimer et Darcy-Brinkman-Forchheimer sont utilisés pour l’analyse du transfert de chaleur et de la structure de l’écoulement [2].

17 La théorie de l’écoulement régie par la loi de Darcy généralisée est élaborée par Bear [33] , qui en présence du champ gravitationnel terrestre s’écrit :

)

L’insuffisance de cette loi est qu’elle ne traduit pas l’influence de la nature du fluide sur l’écoulement au niveau des parois. Brinkman [34] a ajouté le terme de diffusion (

²V') pour tenir compte de cette viscosité. Ainsi, on obtient la loi de Darcy-Brinkman qui en négligeant l’effet du champ gravitationnel (écoulement horizontal et étroit) devient :

)

où K est le tenseur de perméabilité,  la viscosité dynamique du fluide saturant le milieu poreux, p' le gradient de pression dans la direction de l’écoulement et

eff la viscosité apparente du fluide.

Dans l’équation (2.4), K est le tenseur de perméabilité de second ordre et s’exprime dans le système d’axes rotatifs autour de l’origine O par la matrice suivante :

18 Dans les milieux poreux saturés par un fluide dans un canal vertical en convection forcée, Degan et Vasseur [35], ont utilisé le modèle de Darcy-Brinkman généralisée. La présente étude est faite selon ce modèle.

2.4.1.3. Equation d’énergie

En considérant les effets de la dissipation visqueuse, l’équation d’énergie établie à partir du premier principe de la thermodynamique pour un milieu poreux anisotrope en perméabilité et isotrope en conductivité thermique s’écrit selon Bejan [3]:



 ) .(^'. ')  '

( c_{p f} V T k ²T (2.6)

où ( c_p)_f est la capacité thermique totale du fluide par unité de volume, T' la température du fluide, k la conductivité thermique du milieu poreux et  est la fonction de dissipation visqueuse. Il faut noter que Pop et al., [27] et Barletta et al., [32] ont étudié la convection mixte respectivement avec et sans la dissipation visqueuse. Il apparaît que la prise en compte de la dissipation visqueuse  permet de mieux exprimer le profil de la température. Par ailleurs, dans le cas d’une convection mixte dans un canal vertical dont les parois sont maintenues à une température constante telle que T₂'T₁'comme dans la présente étude, Degan [35] a montré que lorsque  est négligée, le profil de température se réduit à une droite affine (d²T'/dy'²0).

Les équations (2.2.), (2.4) et (2.6) représentent les équations gouvernantes du problème étudié.

19 2.4.2. Formulation en variables primitives

Les équations (2.2.), (2.4) et (2.6) écrites dans le système bidimensionnel d’axes (Ox',Oy'), permettent d’obtenir les expressions suivantes :

- Equation de continuité

' 0

- Equation de mouvement

L’équation (2.4) dans le même système d’axes s’écrit en variables primitives comme suit :

20

- Equation d’énergie

L’équation d’énergie (2.6) en variables primitives est :

 

où  est la fonction de dissipation visqueuse. Pour l’écoulement bidimensionnel d’un fluide incompressible saturant un milieu poreux, la fonction  est donnée par [23] :

2.4.3. Simplification des équations

Intéressons-nous dans cette partie à la région centrale du canal (figure 2.3)

21 Figure 2-3: Région centrale du canal

L et h étant respectivement les échelles caractéristiques des variables x' et y'

Sur la base de l’analyse d’échelle (2.12), selon l’équation (2.7), nous pouvons écrire :

avec L_désignant la longueur du canal pour une extension infinie.

Puisque A h/ L1(d’après l’étroitesse du canal), complètement développé dans la direction horizontale (Ox').

22

Suivant l’équation de continuité (2.7), on obtient :

'0

v (2.14)

Par conséquent, la température dans le canal ne dépend que de l’ordonnée

' gouvernantes (2.7), (2.8) et (2.10), on obtient les équations simplifiées suivantes :

' 0

23

Le problème à résoudre se résume aux équations (2.16), (2.17), (2.18) et (2.19) soumises aux conditions aux limites qui sont discutées dans les paragraphes suivants.

2.4.4. Conditions aux limites

Il s’agit des conditions hydrodynamiques et des conditions thermiques.

2.4.4.1. Conditions aux frontières hydrodynamiques

La surface libre de coordonnée y'h (figure 2.2) étant perméable, la contrainte de cisaillement est nulle à cette surface. Par contre, dans le modèle de Brinkman, les conditions hydrodynamiques se traduisent par la condition d’adhérence à la paroi ( y'0) :

24 2.4.4.2. Conditions aux frontières thermiques

La surface libre est exposée aux rayons solaires et supposée chauffée à la température constante (T₂') supérieure à celle (T₁') de la paroi inférieure du canal.

1' '

; 0

' T T

y   (2.22)

' '

;

' h T T₂

y   (2.23)

2.4.5. Adimensionnalisation des équations

L’adimensionnalisation consiste à transformer les variables dépendantes et indépendantes dimensionnelles en variables sans dimensions. Elle permet une meilleure interprétation du problème physique étudié.

2.4.5.1. Adimensionnalisation des équations gouvernantes

A l’image de ceux utilisés par Pop et al., [27] et Mahmood et al., [26] sur les canaux étroits (narrow ducts), les facteurs d’échelle pour les grandeurs d’intérêt de cette étude sont :

 L(et h) : longueur caractéristique des dimensions x'(et y') du modèle physique.

 u : facteur d’échelle pour la vitesse (représentant le rapport entre le débit spécifique d’écoulement et la distance h).

 T : facteur d’échelle pour la température (T T₂'T₁').

 μLu/h² : facteur d’échelle pour la pression.

25 Il en résulte les variables adimensionnelles suivantes :

 gouvernantes adimensionnelles suivantes :

d 0

26 Dans ces équations, A(h/L)est le rapport de forme du canal (paramètre adimensionnel caractérisant l’étroitesse du canal), Da( K₁/h²)est le nombre de Darcy, Ec(u²/(c_pT)) est le nombre d’Eckert et Pr ( μc_p/k)est le nombre de Prandtl.

2.4.5.2. Adimensionnalisation des conditions aux limites

Les conditions aux limites sous forme adimensionnelle s’écrivent comme suit :

- Conditions aux frontières hydrodynamiques.

0

;

0 

 u

y (2.30)

d 0 d

;

1 

 y

y u (2.31)

- Conditions aux frontières thermiques

0

;

0 

 

y (2.32)

1

;

1 

 

y (2.33)

Par conséquent, le problème à résoudre se résume aux équations (2.25), (2.26), (2.27) et (2.28) soumises aux conditions aux limites (2.30), (2.31), (2.32) et (2.33).

27

Chapitre 3

Résolution du problème

A travers ce chapitre, une procédure analytique est menée pour résoudre le problème posé.

De cette résolution, nous avons obtenu les profils de vitesse et de température, le gradient de pression, et une description quantitative du taux de cisaillement à la paroi inférieure et le taux de transfert de chaleur dans le canal.

3.1. Profils de vitesse et de température 3.1.1. Profil de vitesse

En éliminant les termes de pression, par la dérivée partielle de l’équation (2.26) par rapport à y puis la dérivée partielle de l’équation (2.27) par rapport à

x, nous obtenons :

En égalant les équations (3.1) et (3.2) et en tenant compte de l’équation (2.25), nous obtenons :

28 d 0

d d

d ₂

3

3  

y u y

u  ^(3.3)

Par ailleurs, l’équation (3.3) pourrait être obtenue directement de l’hypothèse d’étroitesse du canal (A1), on a p/y 0.

L’intégration de l’équation (3.3) donne l’expression de la distribution de vitesse :



A1 A2



A3

) 1

(y  e ^y  e^{ y} 

u ^{ }

 ^(3.4)

où A₁, A₂ et A₃ sont des constantes réelles à déterminer.

- En utilisant les conditions aux frontières hydrodynamiques (2.30), on obtient :

 ¹

3 2

A

A  A  (3.5)

- D’après la condition (2.31), du/dy_(y1) 0 et on a :

 1 2

2 A

A  e ^(3.6)

- La vitesse moyenne u_m' du fluide saturant la couche poreuse où l’écoulement est supposé complètement développé est exprimée par [23]:

29

En utilisant les variables adimensionnelles définies à l’équation (2.24), l’équation (3.7) devient :



₀^{1udy 1 (3.8)}

Il résulte de tout ce qui précède, que l’expression générale de la distribution de vitesse donnée à l’équation (3.4) s’écrit :

 

3.1.2. Profil de température

En remplaçant la vitesse u par son expression (3.4) dans l’équation d’énergie (2.28), nous obtenons :

30 distribution de température suivante :

 

où B₁ et B₂sont des constantes réelles à déterminer en utilisant les conditions

où B₁ et B₂sont des constantes réelles à déterminer en utilisant les conditions

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