T6 : Thermodynamique industrielle

ATS ATS

Jules Ferry

Thermodynamique industrielle

Les principes de la thermodynamique en système fermé permettent de comprendre le fonctionnement des machines thermiques cycliques vues au chapitre T4 et de prédire leur rendement.

Nous présentons ici les principes de la thermodynamique en système ouvert qui permettent, par exemple :

• de dimensionner le compresseur à utiliser pour un récepteur ditherme (i.e. estimer sa puissance mécanique utile au bon fonctionnement du récepteur) ;

• comprendre le fonctionnement d'un détendeur (pièce nécessaire d'un récepteur) ;

• estimer la puissance mécanique fournie par une turbine d'une centrale nucléaire (cycle moteur ditherme) ;

• comprendre les machines thermiques dont le fonctionnement repose sur un système ouvert, comme le turboréacteur d'un avion par exemple.

La thermodynamique en système ouvert est souvent appelée « thermodynamique industrielle ».

I. Description de l'écoulement

1. Définitions

a) Volume de contrôle

On considère un fluide en écoulement qui traverse une machine (M) comportant une entrée (1) (ou admission) et une sortie (2) (ou échappement). Cette machine peut présenter des pièces mobiles (pales, piston, auget, tambour, …) qui permettent un échange de travail avec le milieu extérieur et un échangeur thermique qui permet un transfert thermique avec le milieu extérieur.

On définit un volume fixe dans le référentiel d'étude, appelé volume de contrôle V_c. Le fluide contenu dans le volume de contrôle constitue un système ouvert qui est le système thermodynamique Σ étudié par la suite.

On réalise l'étude dans le seul cas de l'écoulement permanent du fluide, i.e. que les grandeurs thermodynamiques du fluide en un point quelconque de l'écoulement n'évoluent plus au cours du temps.

b) Équilibre local

On considère le fluide localement en équilibre de sorte que les grandeurs thermodynamiques soient définies au niveau de l'entrée (1) et de la sortie (2) :

• P_ext1=P_adm=P₁ : la pression extérieure à Σ au niveau de l'entrée (1), aussi appelée pression d'admission, est égale à la pression du fluide immédiatement après l'entrée (1) ;

• P_ext2=P_éch=P₂ : la pression extérieure à Σ au niveau de la sortie (2), aussi appelée pression d'échappement, est égale à la pression du fluide immédiatement avant la sortie (2).

échangeur thermique volume de contrôle V_c

définissant le système ouvert Σ

fluide en écoulement

entrée (1) ou admission

pièce mobile

machine (M)

sortie (2) ou échappement

fluide en écoulement

c) Débit massique

On définit le débit massique D_m d'un fluide en écoulement à travers une surface (S) comme étant le rapport de la masse Δm qui traverse la surface (S) pendant la durée Δt divisée par Δt :

D_m=Δm

Δt (en kg.s⁻¹) ; c'est la masse qui traverse (S) par unité de temps.

Remarque : on définira de manière complète les débits dans le cours de mécanique des fluides.

Dans ce chapitre, on considère le débit massique d'entrée D_m1=Δm₁

Δt à travers la surface S₁ définissant l'entrée (1) de la machine et le débit massique de sortie D_m2=Δm₂

Δt à travers la surface S₂ définissant la sortie (2).

Si on note c₁ la vitesse de l'écoulement en entrée et ρ₁ la masse volumique du fluide en entrée, il vient D_m1=Δm₁

Δt =ρ₁S₁L₁

Δt =ρ₁S₁c₁.

En effet, la masse Δm₁ entrant dans le volume de contrôle à travers S₁ entre les instants t et t+ Δt, se trouve, à l'instant initial t dans un volume V₁ situé en amont de S₁ sur une distance L₁=c₁Δt .

De la même manière et avec les mêmes notations, D_m2=ρ₂S₂c₂.

2. Système fermé associé et conservation du débit massique

Pour pouvoir démontrer les principes de la thermodynamique en système ouvert, il faut se ramener à un système fermé associé, noté Σ_F. On définit Σ_F par le fluide en système fermé :

• contenu dans V_c et V₁ à l'instant t ;

• contenu dans V_c et V₂ à l'instant t+ Δt .

On note m(t) la masse du fluide contenue dans V_c à l'instant t (i.e. la masse du système ouvert Σ à l'instant t ). À t+ Δt, la masse du fluide contenue dans V_c est alors m(t+Δt).

Pour le système fermé Σ_F :

• m_ΣF(t)=m(t)+Δm₁ ;

V_c

L₁=c₁ Δt V₁=L₁S₁ S₁

V_c V₁

à l'instant t

V_c

à l'instant t +Δt

V₂ L₂=c₂ Δt

L₁=c₁ Δt

II. Les principes de la thermodynamique en système ouvert

1. Le premier principe

Le premier principe en système ouvert, en écoulement stationnaire, prend la forme : Δh+ Δe_c+Δe_p=w_i+q (homogène à J.kg⁻¹), aussi appelé premier principe industriel.

• Les lettres sont en minuscules car on utilise des grandeurs massiques pour la thermodynamique industrielle ;

• w_i est le travail massique indiqué, ou travail massique utile w_u, reçu par le système :

W_i=Δm.w_i représente le travail reçu par Σ de la part du milieu extérieur au travers des pièces mobiles entre les instants t et t+ Δt ;

• Q=Δm.q est le transfert thermique reçu le système Σ au travers de l'échangeur thermique et des parois entre les instants t et t+ Δt ;

• il faut maintenant comprendre Δh (ou Δe_c ou Δe_p) alors que l'écoulement est permanent ! En fait Δh représente h₂−h₁, i.e. la variation d'enthalpie massique entre l'entrée et la sortie.

On peut écrire de façon plus explicite :

(

)

(

)

Remarques :

• on aura souvent Δe_c et Δe_p qui seront négligeables d'où le premier principe industriel simplifié : Δh=w_i+q . Attention, pour l'étude des tuyères, on ne négligera pas Δe_c ;

• la relation de Bernoulli, loi fondamentale de la mécanique des fluides, provient d'une réécriture du premier principe industriel.

b) Lien entre puissance et débit massique Définitions :

• on appelle puissance indiquée P_i=W_i

Δt (ou puissance utile) ;

• on appelle puissance thermique de l'échangeur P_th= Q Δt .

Le lien entre les puissances et le débit massique est : P_i=W_i

Δt=Δm.w_i

Δt =D_mw_i ; de même P_th=D_mq .

On peut alors réécrire le premier principe industriel en faisant apparaître les puissances échangées : D_m(Δh+Δe_c+ Δe_p)=P_i+P_th .

Remarque : cette réécriture est intéressante si l'on souhaite dimensionner un compresseur (i.e. connaître la puissance utile du compresseur nécessaire au bon fonctionnement d'un réfrigérateur par exemple), une turbine ou un échangeur thermique.

c) Démonstration du premier principe industriel

La démonstration est basée sur le premier principe de la thermodynamique en système fermé appliqué à Σ_F entre les instants t et t+ Δt : ΔE_tot(Σ_F)=W+Q avec W=W_adm+W_éch+W_i ;

or

{

∫ ^∫

∫ ^∫

Le lien avec le système ouvert Σ se fait par extensivité de l'énergie :

{

{

L'écoulement étant permanent, E_tot(Σ,t+Δt)=E_tot(Σ, t), E_tot(V_1,t)=E_tot(V₁) et E_tot(V_2,t+Δt)=E_tot(V₂) donc le premier principe de la thermodynamique prend la forme :

(U₂+E_{c2 , macro}+E_{p2 , ext})−(U₁+E_{c1 , macro}+E_{p1 , ext})=P₁V₁−P₂V₂+W_i+Q soit (U₂+P₂V₂+E_{c2 , macro}+E_{p2 ,ext})−(U₁+P₁V₁+E_{c1 , macro}+E_{p1 , ext})=W_i+Q

d'où (H₂+E_{c2 ,macro}+E_{p2 , ext})−(H₁+E_{c1 , macro}+E_{p1 , ext})=W_i+Q donc ΔH+ ΔE_c+ ΔE_p=W_i+Q ; en divisant par Δm=Δm₁=Δm₂, il vient Δh+ Δe_c+ Δe_p=w_i+q.

2. Le second principe

Le second principe de la thermodynamique en système ouvert prend la forme :

Δs=s_éch+s_créée avec

{

^{

=0 si transformation réversible

; avec Δs=s₂−s₁ i.e. variation d'entropie massique entre l'entrée et la sortie ; alors que s_éch et s_créée représentent bien l'entropie massique échangée et créée au sein de la machine.

Remarques :

• l'expression étant inchangée, on ne parle pas de second principe industriel ;

• la démonstration se fait de la même manière que pour le premier principe.

V_c V₁

à l'instant t

V_c

à l'instant t +Δt

V₂ L₂=c₂ Δt

L₁=c₁ Δt

III. Exemples de quelques dispositifs industriels

1. Détendeur calorifugé

Il s'agit d'un des 4 constituants nécessaires au bon fonctionnement d'un récepteur ditherme.

La fabrication et donc la modélisation la plus simple d'un détendeur est :

Photo d'un détendeur de réfrigérateur :

1^er principe industriel appliqué au système défini par le volume de contrôle V_c en écoulement permanent : Δh=w_i+q=0 car il n'y a ni pièce mobile ni échangeur thermique (et parois calorifugées) !

L'évolution du fluide au sein du détendeur est donc isenthalpe au cours d'un écoulement permanent.

Remarque : pour des raisons historiques, on parle de détente de Joule-Thomson car c'est par cette expérience qu'est née la deuxième loi de Joule.

2. Compresseur et turbine calorifugés

Il s'agit en général d'un moteur électrique dont le but est de fournir du travail au fluide. Pour se faire, le rotor du moteur électrique est directement relié à des pales (ou autres pièces mobiles). C'est un des 4 constituants nécessaires au bon fonctionnement d'un récepteur ditherme.

Photo d'un compresseur de réfrigérateur : Vue en coupe d'un compresseur (il existe plusieurs technologies différentes …)

sens de l'écoulement

P₁ ; T₁ P₂ ; T₂

V_c

milieu poreux fixe (ou vanne réglable mais fixe lors de l'écoulement permanent étudié)

P₁ > P₂

Modélisation :

1^er principe industriel appliqué au système défini par le volume de contrôle V_c en écoulement permanent : Δh=w_i+q=w_i (q=0 car pas d'échangeur thermique et parois calorifugées) et w_i>0 : le but du compresseur est de fournir du travail au fluide.

Remarque : si le but est de dimensionner le compresseur à utiliser, i.e. estimer la puissance que doit fournir le compresseur, on utilisera plutôt le 1^er principe industriel sous la forme D_mΔh=P_i+P_th d'où

Pfournie par compresseur=P_i=D_mΔh car P_th=0. b) Turbine calorifugée

Il s'agit de pales dont le but est de recevoir du travail de la part du fluide, modélisation :

Photo d'une turbine de centrale nucléaire :

1^er principe industriel appliqué au système défini par le volume de contrôle V_c en écoulement permanent : Δh=w_i+q=w_i (q=0 car pas d'échangeur thermique et parois calorifugées) et w_i<0 : le but d'une turbine est de recevoir du travail de la part du fluide.

Remarques :

moteur électrique

rotor

entrée basse pression

sortie haute pression

V_c

turbine

sortie basse pression

entrée haute pression

V_c

3. Tuyère calorifugée

Il s'agit d'un conduit placé à l'arrière d'une chambre à combustion (dans un réacteur d'avion par exemple, cf TD) dont le but est de transformer l'énergie thermique en énergie cinétique.

Modélisation : Photo d'une tuyère de fusée :

1^er principe industriel appliqué au système défini par le volume de contrôle V_c en écoulement permanent : Δh+ Δe_c=w_i+q=0 car il n'y a ni pièce mobile ni échangeur thermique (et parois calorifugées) !

Donc Δh+1

2(c₂²−c₁²)=0 soit c₂²=c₁²−2Δh.

Si le fluide considéré est un gaz parfait (l'air de l'atmosphère pour un réacteur d'avion par exemple), Δh=c_pΔT= Rγ

M_gaz( γ−1)(T₂−T₁)<0 donc c₂>c₁, ce qui est le but de la tuyère.

4. Échangeur thermique, condenseur, évaporateur

Le fluide circule dans un serpentin en métal (cuivre par exemple) rigide permettant les échanges thermiques. Le volume de contrôle est alors défini par les parois internes du serpentin en métal.

Fabrication la plus simple d'un échangeur thermique :

Échangeur thermique d'un réfrigérateur (il s'agit du condenseur sur cette photo) :

V_c

T₁ ; c₁ T₂ ; c₂

T₁ > T₂ sens de

l'écoulement

1^er principe industriel appliqué au système défini par le volume de contrôle V_c en écoulement permanent : Δh=w_i+q=q car il n'y a pas de pièce mobile.

• Un condenseur est un cas particulier d'échangeur thermique où le fluide subit une liquéfaction, on a donc q<0 ;

• un évaporateur est un cas particulier d'échangeur thermique où le fluide subit une vaporisation, on a donc q>0 .

Remarque : ce sont les deux autres constituants nécessaires au bon fonctionnement des récepteurs dithermes.

5. Chambre à combustion

Elle est en général située en amont d'une tuyère (dans un réacteur d'avion par exemple, cf TD) afin de chauffer le fluide.

Il s'agit d'une enceinte rigide, cœur d'une réaction chimique (une combustion), dont les parois sont calorifugées, sans pièce mobile ni échangeur thermique.

Modélisation : Vue en coupe d'un réacteur d'avion :

3.entrée ; 8.sortie ; 6.chambre de combustion (12.compresseur ; 11.turbine ; 10.tuyère)

1^er principe industriel appliqué au système défini par le volume de contrôle V_c en écoulement permanent : Δh=w_i+q=q avec q=qtransferts thermiques+q_combustion=q_combustion donc Δh=q_combustion.

Remarque : attention, lors de l'explosion dans un moteur thermique de voiture, les soupapes sont fermées et le fluide n'est pas un écoulement : il faut appliquer le premier principe de la thermodynamique en système fermé (cf TD du chapitre T4).

V_c

sens de l'écoulement

injecteur