Corrigé de Janvier 2007

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM360 B

Lundi 8 janvier 2007

Topologie et Calcul Diff´ erentiel Corrig´ e de l’examen

Dur´ee 3 heures – sans document I

La fonction f est le produit des deux fonctions lin´eaires M 7→ trM et M 7→ M, qui sont continues puisqueM(n) est de dimension finie n², donc de classeC². Il en r´esulte que f est de classe C². On a ainsi, si H ∈M(n) et K ∈M(n) :

f⁰(A).H = (trH)·A+ (trA)·H f⁰⁰(A).(H, K) = (trH)·K + (trK)·H

II

1) La fonction bilin´eaire continue (x, y) 7→ hx, yi est de classe C¹ sur Rⁿ × Rⁿ. Donc x7→∫(x) =hx, xi est de classe C¹, et pour h∈Rⁿ, on a∫⁰(x).h=hx, hi+hh, xi= 2hx, hi. 2) Chacune des fonctions X = (x₁, x₂, . . . , x_n) 7→ u(x_j) est lin´eaire (et continue) de E = (Rⁿ)ⁿ sur Rⁿ, donc de classe C¹. D’apr`es la question pr´ec´edente, il s’en suit que les applications X 7→ ∫(u(x_j)) sont elles-mˆemes de classe C¹ de E dans R, ainsi que leur produit f. Et on a, pour H = (h₁, h₂, . . . , h_n)∈E :

f⁰(X).H = Xn

j=1

≥Y

k6=j

∫(u(x_k))¥

∫⁰(u(x_j)).u(h_j) = 2 Xn

j=1

≥Y

k6=j

ku(x_k)k²¥

hu(x_j), u(h_j)i

donc

1

f(X)f⁰(X).H = Xn

j=1

2

ku(x_j)k²hu(x_j), u(h_j)i

3) Pour 16i6j 6n, la fonction d´efinie surE×E par (X, Y)7→ hxi, yjiest bilin´eaire (et continue), donc de classe C¹. Il en r´esulte que ϕ_i,j est de classe C¹. Et on a, pour H ∈E :

ϕ⁰_i,j(X).H =hxi, hji+hhi, xji .

4) L’ensembleO_n est par d´efinition l’ensemble des X ∈E tel que les ϕ_i,j(X) soient tous nuls. Puisque les fonctionsϕi,j sont continues, l’ensemble On est ferm´e dansE. De plusOn

est born´e dansE puisque tous lesx_j sont de norme 1 lorsqueX = (x₁, x₂, . . . , x_n) appartient

`

a On. Et puisque E est un espace vectoriel de dimension finie n², ceci montre que On est compact.

5) Puisqueu n’est pas l’application lin´eaire nulle, son noyau est un sous-espace vectoriel de Rⁿ de dimension au plus n−1. Soient a un vecteur de norme 1 orthogonal `a ker(u)

et b = (β₁, β₂, . . . , β_n) un vecteur de norme 1 dont aucune coordonn´ee n’est nulle (par exemple le vecteur dont toutes les coordonn´ees valent 1

√n). Il existe alors une application lin´eaire isom´etrique T de l’espace euclidien Rⁿ sur lui mˆeme qui transforme le vecteur a en b. On a pour tout j : ha, T⁻¹e_ji = hT a, T(T⁻¹e_j)i = hb, e_ji = β_j 6= 0, ce qui entraˆıne que T⁻¹ej ∈/ ker(u) et que ∞∞u(T⁻¹ej)∞∞² 6= 0. Et si on pose xj = T⁻¹ej, on a X = (x₁, x₂, . . . , x_n)∈O_n et f(X)6= 0.

6) La fonction continue positive f atteint en un point A de On son maximum, qui est strictement positif puisquef n’est pas identiquement nulle.

Si X ∈ O_n et si (m_i,j)_16i6j6n est une famille de nombres r´eels, il existe H ∈ E telle queϕ⁰_i,j(X).H =mi,j pour touti et toutj : en effet, si on pose hj =P

i<jmi,jxi+1

2mi,ixi, on a, compte tenu du fait que les x_j forment une base orthonorm´ee : hx_i, h_ji = m_i,j si i < j, hxi, hji = 1

2mi,i si i = j et hxi, hji = 0 si i > j. Donc hxi, hji +hxj, hii = mi,j

pour 1 6 i 6 j 6 n. Ceci montre que l’application ϕ : E → R^n(n+1)/2 qui a les ϕi,j pour coordonn´ees poss`ede enX une diff´erentielle surjective.

Il r´esulte alors du th´eor`eme sur les extrema li´es qu’existent des multiplicateurs de Lagrange (∏_i,j)_16i6j6n tels que f⁰(A) =P

i,j∏_i,jϕ⁰_i,j(A), c’est-`a-dire : Xn

j=1

2

ku(a_j)k²hu(a_j), u(h_j)i= X

16i6j6n

∏_i,j°

ha_i, h_ji+hh_i, a_ji¢

pour tout H = (h₁, h₂, . . . , h_n) de E.

7) En prenant hk = 0 pour tout k distinct de i et de j, hj = ai et hi = −aj, l’´egalit´e pr´ec´edente donne

2

ku(aik)²hu(a_i), u(−a_j)) + 2

ku(ajk)²hu(a_j), u(a_i)) =∏_i,j≥

ha_i,−a_ji+ha_j, a_ii¥

= 0 c’est-`a-dire

2

µ 1

ku(aj)k² − 1 ku(ai)k²

∂

hu(ai), u(aj)i= 0

En pariculier, si ku(a_i)k 6= ku(a_j)k, on doit avoir hu(a_i), u(a_j)i = 0, c’est-`a-dire que u(a<sub>i</sub>) est orthogonal `au(aj).

8) Pourk distinct de iet dej, on a hx⁰_k, x_ii=hx_k, x_ii= 0 =hx_k, x_ji=hx⁰k, x_ji, et x⁰_k est orthogonal `a xi+xj

√2 ainsi qu’`a xi−xj

√2 . De plus hx⁰_i, x⁰_ji = hxi, xii − hxj, xji

2 = 0, ce qui

montre que les (x⁰<sub>`</sub>)16`6n sont deux `a deux orthogonaux. On akx⁰_kk=kxkk= 1 si k /∈ {i, j} et on v´erifie imm´ediatement quekx⁰_ik² =∞∞x⁰_j∞∞² = 1

2 + 1

2 = 1. Donc (x⁰₁, x⁰₂, . . . , x⁰_n)∈O_n. Enfin, pour ε=±1, on a, puisque u(x_i) et u(x_j) sont orthogonaux :

ku(x_i+εx_j)k² =ku(x_i) +εu(x_j)k² =ku(x_i)k²+ku(x_j)k²+ 2εhu(x_i), u(x_j)i

=ku(x_i)k²+ku(x_j)k² 2

ce qui montre queku(x⁰_i)k² =∞∞u(x⁰_j)∞∞² = 1 2

≥ku(x_i)k²+ku(x_j)k²¥

. Poursettr´eels distincts, on a s² +t² −2st = (s−t)² > 0, d’o`u st < 1

2(s² +t²), donc 1 2

≥ku(x_i)k² +ku(x_j)k²¥

>

ku(x_i)k · ku(x_j)k. Alors f(X⁰) = Y

k6=i,j

ku(xk)k²· ku(x⁰_i)k²·∞∞u(x⁰_j)∞∞² = Y

k6=i,j

ku(xk)k²· 1 4

≥ku(xi)k²+ku(xj)k²¥2

> Y

k6=i,j

ku(x_k)k²≥

ku(x_i)k · ku(x_j)k¥2

=f(X)

9) S’il existait i et j tels que ku(a_i)k 6= ku(a_j)k, on aurait hu(a_i), u(a_j)i = 0 d’apr`es 7), et on pourrait trouver A<sup>0</sup> ∈ O<sub>n</sub> tel que f(A<sup>0</sup>) > f(A) d’apr`es 8), en contradiction avec le fait quef atteint en A son maximum surO_n.

III

1) L’application Φ est clairement lin´eaire par rapport `a y, ainsi que par rapport `a z. De plus on a

kΦ(y, z)k₀ 6khk₀· ky⁰k₀· kz⁰k₀+kkk₀· kyk₀· kzk₀ 6(khk₀+kkk₀)· kyk · kzk ce qui montre la continuit´e de Φ.

2) Puisque Φ est bilin´eaire continue, elle est de classe C¹, ainsi que l’application y 7→

Φ(y, y). De plus l’application L : y 7→ y⁰⁰ est clairement lin´eaire de E dans F, et continue puisque ky⁰⁰k₀ 6kyk. Il en r´esulte que l’application ϕ: y 7→L.y+ Φ(y, y) est de classe C¹ de E dans F. On a alors, pour y et z dans E :

ϕ⁰(y).z =L.z+ Φ(y, z) + Φ(z, y) En particulier, pour y= 0, on obtient ϕ⁰(0).z =L.z=z⁰⁰.

3) L’application ϕ⁰(0) = L est lin´eaire continue de E dans F. Elle est injective : en effet, si z ∈ ker(L), on a z⁰⁰ = 0, ce qui montre que z est affine sur [0,1], et entraˆıne que z = 0 puisque z(0) =z(1) = 0.

De plus L est surjective : si g est une fonction continue sur [0,1], la fonction g admet une primitive g₁ nulle en 0, qui admet elle-mˆeme une primitive g₂ nulle en 0. Alors si` est la fonction affine qui co¨ıncide avecg2 en 0 et en 1, la fonction y=g2−` appartient `a E et v´erifie L.y =y⁰⁰ =g. On a alors ky⁰⁰k₀ =kgk₀.

On a aussi |g₁(t)| = ØØØRt

0g(s)dsØØØ 6 tkgk0 6 kgk0, d’o`u kg<sub>1</sub>k0 6 kgk0. Et de mˆeme kg<sub>2</sub>k0 6 kg<sub>1</sub>k0. Enfin |`⁰(t)| = |`(1)| = |g<sub>2</sub>(1)| 6 kg<sub>2</sub>k0, d’o`u ky⁰k0 6 2kg₂k0 6 2kgk0, et

|`(t)|=|t`(1)|=t|g2(1)|6kg2k0, d’o`u k`k0 6kg2k0, et kyk0 62kg2k0 62kgk0.

On en conclut que kyk=ky⁰⁰k0+ky⁰k0+kyk0 65kgk0, c’est-`a-dire que ∞∞L⁻¹∞∞65 ce qui prouve la continuit´e deL⁻¹.

4) On d´eduit alors du th´eor`eme d’inversion locale, appliqu´e `a ϕ en 0, qu’il existe un voisinage V de 0 dans E et un voisinage W de ϕ(0) = 0 dans F tels que ϕ soit un C¹- diff´eomorphisme deV surW. En particulier, il existe unε >0 tel queW contienne la boule ouverte de centre 0 et de rayon ε dans F. Alors, pour toute f ∈ F telle que kfk₀ < ε, il existe un (unique) ´el´ement y de V ⊂E tel que ϕ(y) = f, c’est-`a-dire que la fonction y est solution de l’´equation diff´erentielley⁰⁰+h(x)y⁰²+k(x)y² =f(x) et s’annule en 0 et en 1.

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