Janvier 2007

PanaMaths

[1 - 3]

Janvier 2007

Calculer, pour tout couple de réels ( ) ^{a b , :}

(

^{2 2}

)

1 i j n

ai bj

≤ < ≤

∑ +

Analyse

La présence des réels a et b n’induit pas de difficulté particulière. Le calcul fait appel à des sommes classiques …

Résolution

Puisque i< j, la plus petite valeur possible de j est 2 et la plus grande valeur possible de i, pour j fixé, est j−1. On a donc, pour amorcer le calcul :

(

^{2 2}

)

¹

(

^{2 2}

)

1 2 1

1 1

2 2

2 1 1

1

j n

i j n j i

j j

n

j i i

ai bj ai bj

a i bj

−

≤ < ≤ = =

− −

= = =

⎛ ⎞

+ = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

On utilise alors la somme classique : ₂

( )( )

1

1 2 1

6

n

k

n n n

k

=

+ +

∑

= ^.

On en tire : ¹ 2

( )( ) ( ( ) ) ^{( )( )}

1

1 1 1 2 1 1 1 2 1

6 6

j

i

j j j j j j

i

−

=

− − + − + − −

= =

∑

^.

Il vient alors :

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1

2 2 2 2

1 2 1 1

2 2

2 2

3 2

2

3 2

2 2 2

1

1 2 1

6 1

1 1 2 1 6 1

6

1 2 6 3 6

6

1 2 6 3 6

6

j j

n

i j n j i i

n

j n

j n

j

n n n

j j j

ai bj a i bj

j j j

a bj j

aj j j bj j

a b j a b j aj

a b j a b j a j

− −

≤ < ≤ = = =

=

=

=

= = =

⎛ ⎞

+ = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

⎛ − − ⎞

= ⎜ + − ⎟

⎝ ⎠

= − − + −

= + − + +

⎡ ⎤

= ⎢ + − + + ⎥

⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑

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[2 - 3]

Janvier 2007

La somme des coefficients des trois sommes apparaissant dans le crochet étant nulle, on peut remplacer le contenu du crochet par :

( )

³

( )

²

1 1 1

2 6 3 6

n n n

j j j

a b j a b j a j

= = =

+

∑

− +

∑

+

∑

Ici, on doit alors utiliser : ₃

( )

^{2 2}

( )

²

1

1 1

2 4

n

k

n n n n

k

=

⎛ + ⎞ +

=⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

∑

et la somme mentionnée plus haut.

Il vient :

( ) ^{( ) ( )}

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 3 2

1 1 1 1

2 2

2 2

2 2

1 2 6 3 6

6

1 1 2 1 1

1 2 6 3 6

6 4 6 2

1 1 2 1 1

1 3 2

6 2 2 2

1 3 1 2 1 2 1 1

12

1 1 3 1

12

n n n

i j n j j j

ai bj a b j a b j a j

n n n n n n n

a b a b a

n n n n n n n

a b a b a

a b n n a b n n n an n

n n a b n n a

≤ < ≤ = = =

⎡ ⎤

+ = ⎢ + − + + ⎥

⎣ ⎦

⎡ + + + + ⎤

= ⎢ + − + + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ + + + + ⎤

= ⎢ + − + + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ + + − + + + + + ⎦

= + + + −

∑ ∑ ∑ ∑

( )( )

( ) ( )

²

( )

2 2 1

1 1 3 2

12

b n a

n n a b n a b n b

⎡ + + + ⎤

⎣ ⎦

⎡ ⎤

= + ⎣ + − + − ⎦

Le contenu du crochet est de la forme ^{f n}

( )

où f est une fonction polynôme de degré 2.

On constate que la somme des coefficients est nulle ; on peut donc factoriser par n−1. On obtient facilement :

(

^a+^{3b n}

)

²−

(

^{a b n}+

)

−^2b=

(

ⁿ−¹

) (

^⎡⎣ ^a+^{3b n}

)

+^2b⎤⎦ Finalement :

( ) ^{( ) ( ) ( )}

( )( ) ( )

( ) ^{( )}

2 2 2

1

2

1 1 3 2

12

1 1 1 3 2

12

1 1 3 2

12

i j n

ai bj n n a b n a b n b

n n n a b n b

n n a b n b

≤ < ≤

⎡ ⎤

+ = + ⎣ + − + − ⎦

⎡ ⎤

= + − ⎣ + + ⎦

⎡ ⎤

= − ⎣ + + ⎦

∑

Le calcul est ainsi achevé.

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[3 - 3]

Janvier 2007

Résultat final

(

^{2 2}

) (

²

) ^{( )}

1

1 1 3 2

i j n 12

ai bj n n a b n b

≤ < ≤

⎡ ⎤

+ = − ⎣ + + ⎦

∑