Approches énergétiques

Texte intégral

(1)11 Approches énergétiques. 11.1. Avant-propos. Si le principe fondamental de la dynamique permet d’obtenir les équations horaires du mouvement, c’est au prix de projections vectorielles et de résolution d’équations différentielles qui peuvent s’avérer... complexes... L’approche de la mécanique par les méthodes énergétiques peut parfois largement simplifier ces problèmes et ouvre des perspectives intéressantes pour les (futures) conversions énergétique de la thermodynamique.. 11.2. Les grandeurs énergétiques. L’énergie peut se présenter sous diverses formes, être positive ou négative, voire définie à une constante additive près. Elle apparaît dans chacun des chapitres que nous traiterons, qu’il s’agisse de physique ou de chimie. Nous allons commencer à l’étudier à travers la mécanique du point, mais les définitions que nous allons poser ici resteront valables pour tous les chapitres à venir.. 11.2.1. L’énergie cinétique. Un point matériel de vitesse v, tout comme un solide en translation, possède une énergie associée à son mouvement : l’énergie cinétique. Énergie cinétique On appelle énergie cinétique du point matériel M , de masse m et de vitesse #” v , la grandeur scalaire Ec , exprimée en joule (J) selon la relation : 1 1 Ec = mv 2 = m #” v · #” v 2 2. 11.2.2. Travail & énergie potentielle. L’énergie acquise sous forme cinétique ne peut l’être que si un ensemble de force a permis de mettre en mouvement le système. L’énergie qu’une force peut communiquer à un système dépend du déplacement imposé à ce système. Cette énergie s’appelle le travail..

(2) 11. Approches énergétiques. 11.2. Les grandeurs énergétiques. Travail d’une force #” On appelle travail d’une force F la grandeur scalaire W , exprimée en joule (J) qui vérifie : ˆ W =. F. δW. où. − #” → δW = F · d`. I. → − où d` est le déplacement élémentaire permettant au système de passer du point initial I au point final F . → − La grandeur δW est appelée travail élémentaire, et le déplacement élémentaire se déduit de d` = #” v dt. Exemple Considérons un point matériel que l’on déplace du point origine O = (0, 0, 0) à un point final #” F = (xF , yF , zF ) alors qu’il est soumis à son poids.On modélise cette force par la relation P = m #” g = −mg #” e z. → − À défaut de mouvement particulier, nous utiliserons la base cartésienne pour le décrire avec d` = dx #” e x + dy #” e y + dz #” e z . Le travail élémentaire est donc δW = −mg #” e z · (dx #” e x + dy #” e y + dz #” e z ) = −mgdz ´F Le travail se déduit de W = O −mgdz = [−mgz]FO = −mgzF . On remarquera que le travail de cette force ne dépend pas de la façon d’aller de O à F . On pourrait rajouter un point sur le « chemin » de O à F , par exemple I de coordonnées quelconque, mais le travail serait toujours ˆ. ˆ. I. W = O. F. δW = −mg(zI − zO + (zF − zI )) = −mgzF. δW + I. Une telle force sera dite conservative. Force conservative On appelle force conservative toute force dont le travail ne dépend que des points initiaux et finaux, indépendamment du chemin suivi pour le calculer. Une telle force dérive d’une énergie potentielle, et on verra en deuxième année qu’elle s’écrit : −−→ #” F = −gradEp −−→ où grad est l’opérateur vectoriel gradient, et Ep est l’énergie potentielle. Énergie potentielle On appelle énergie potentielle la grandeur scalaire Ep , exprimée en joule (J), définie, pour toute force conservative, par la relation : dEp = −δW La fonction Ep est définie à une constante additive près. Les exemples de calcul d’énergie potentielle ci-dessous doivent être connus. Exemple #” On s’intéresse à la force poids modélisée par F = m #” g = −mg #” e z . Cette force est conservative et on a montré dans ce chapitre que, avec ce choix d’orientation du vecteur #” g , on a δW = −mgdz.. 2/7.

(3) 11. Approches énergétiques. 11.3. Les théorèmes énergétiques. On en déduit dEp = mgdz, dont on déduit la fonction énergie potentielle : Ep, poids = mgz + cste Un choix différent de l’orientation de #” g , par exemple #” g = +g #” e z aurait conduit à un autre résultat. Exemple #” On s’intéresse à la force tension d’un ressort modélisée par F = −k (` − `0 ) #” u ` . Cette force est conservative et avec les notations du schéma ci-dessous, il vient : dEp = k(x − `0 )dx. #” g. z. x. O `0. Fig. 11.1 – Ressort et énergie potentielle On en déduit Ep = 21 kx2 − k`0 x + cste. Si on fait le choix de considérer que Ep (x = `0 ) = 0, alors la constante d’intégration permet d’écrire Ep sous la forme facile à retenir : 1 Ep = k(` − `0 )2 2. 11.2.3. Énergie mécanique. Les énergies cinétique et potentielle se regroupent sous le nom d’énergie mécanique. Énergie mécanique On appelle énergie mécanique la grandeur scalaire Em , exprimée en joule (J) qui vérifie : Em = Ec + Ep. 11.3. Les théorèmes énergétiques. 11.3.1. Théorème de l’énergie cinétique. Les approches énergétiques du mouvement permettent parfois d’agréables simplifications du travail. Les relations sont scalaires (pas de vecteur à projeter), et « pré-intégrées » (on travaille avec la vitesse et non l’accélération). Pour autant, les théorèmes qui suivent sont tous issus du principe fondamental de la dynamique et n’apportent pas de nouvelles informations sur le système étudié.. 3/7.

(4) 11. Approches énergétiques. 11.4. Mouvement à une dimension d’un point matériel. Théorème de l’énergie cinétique La variation d’énergie cinétique d’un point matériel entre les points I et F de sa trajectoire est égale à la somme des travaux des forces appliquées à ce système. ∆Ec = Ec (F ) − Ec (I) =. X. #” WI→F (F i ). i. Ce théorème intégral (c’est-à-dire le long d’un chemin) peut s’écrire de façon locale (c’est-à-dire au point M ) en utilisant la notion de puissance d’une force. Puissance d’une force #” On appelle puissance d’une force F la grandeur scalaire P, exprimée en watt (W) qui vérifie : #” P = F · #” v où #” v est la vitesse du point matériel. Ainsi la version locale du théorème de l’énergie cinétique devient : Théorème de la puissance cinétique La dérivée temporelle de l’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances des forces appliquées à ce système. dEc X #” = P(F i ) dt i. 11.3.2. Théorème de l’énergie mécanique. Le théorème de l’énergie cinétique peut se ré-écrire différemment sous une forme pratique pour étudier les mouvements de corps soumis à des forces conservatives. Théorème de l’énergie mécanique La variation d’énergie mécanique d’un point matériel entre les points I et F de sa trajectoire est égale à la somme des travaux des forces non conservatives appliquées à ce système. ∆Em = Em (F ) − Em (I) =. X. n.c. #” WI→F (F i ). i. En particulier, si toutes les forces appliquées au système M sont conservatives, alors la relation précédent devient ∆Em = 0 et l’énergie mécanique se conserve sur toute trajectoire suivie par ce corps. C’est à ce point vrai que certains n’hésitent pas à mettre leur santé en jeu pour vérifier ce théorème : https://www.youtube.com/embed/xXXF2C-vrQE. 11.4. Mouvement à une dimension d’un point matériel. L’intérêt de la notion d’énergie potentielle paraît limité, si on résume son rôle à celui d’être l’opposé du travail élémentaire. Nous allons voir dans la suite que la connaissance de la fonction énergie potentielle permet d’étudier très facilement les positions d’équilibre et leur stabilité.. 11.4.1. Position d’équilibre. Si une position d’équilibre se traduit naturellement par un lieu où la somme vectorielle des forces appliquées au système est nulle, on peut également les définir à partir de l’énergie potentielle pour peu 4/7.

(5) 11. Approches énergétiques. 11.4. Mouvement à une dimension d’un point matériel. que le système soit conservatif. Position d’équilibre d’un système conservatif Les positions d’équilibre d’un point matériel soumis à des forces conservatives dépendant de la coordonnée spatiale x sont celles où la fonction énergie potentielle y est extrémale. dEp (x = xéq ) = 0 dx Exemple On considère un système conservatif dont on donne le tracé de la fonction énergie potentielle Ep = f (x). ·10−2 0. Ep en J. −2. x2 •. −4. −6. x1 • −1. x3 •. −0.5. 0 x en m. 0.5. 1. Fig. 11.2 – Énergie potentielle et position d’équilibre Les points x1 , x2 et x3 sont des extrémums d’énergie potentielle et correspondent à des points d’équilibre du système. Le système étudié étant soumis à des forces conservatives, son énergie mécanique se conserve et comme l’énergie cinétique est toujours positive, on a nécessairement : Ep = Em − Ec ≤ Em Cela permet de déterminer graphiquement les zones de l’espace accessibles au système. Exemple Si on ajoute la valeur de l’énergie mécanique sur le graphe précédent, on peut trouver graphiquement les zones accessibles au système. Les valeurs de x compatibles avec la condition Ep ≤ Em sont représentées en vert.. 5/7.

(6) 11. Approches énergétiques. 11.4. Mouvement à une dimension d’un point matériel. ·10−2 0. Ep Em. Ep en J. −2. −4. −6 −1. −0.5. 0 x en m. 0.5. 1. Fig. 11.3 – Énergie potentielle, mécanique et zones accessibles. 11.4.2. Condition de stabilité. La fonction énergie potentielle permet également de déterminer la stabilité d’une position d’équilibre donnée. Condtion de stabilité d’une position d’équilibre Une position d’équilibre est dite stable si l’énergie potentielle y est minimale : dEp (x = xéq ) = 0 dx. d 2 Ep (x = xéq ) ≥ 0 dx2. et. Une position d’équilibre est dite instable si l’énergie potentielle y est maximale : dEp (x = xéq ) = 0 dx. d 2 Ep (x = xéq ) ≤ 0 dx2. et. Exemple L’exemple précédent permet également de conclure graphiquement sur la stabilité des trois positions d’équilibre. ·10−2 0. Ep en J. −2. x2 •. −4. −6. x1 • −1. x3 •. −0.5. 0 x en m. 6/7. 0.5. 1.

(7) 11. Approches énergétiques. 11.4. Mouvement à une dimension d’un point matériel. Fig. 11.4 – Énergie potentielle et position d’équilibre Les points x1 , x2 et x3 sont des extrémums d’énergie potentielle et correspondent à des points d’équilibre du système : – x1 et x3 sont des minimums d’énergie potentielle et correspondent donc à des positions d’équilibre stable ; – x2 est un maximum d’énergie potentielle et correspond donc à une position d’équilibre instable.. 7/7.

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