Force de Laplace
Julien Cubizolles
Lycée Louis le Grand
Lundi 15 juin 2020
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 1/1
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Force de Laplace
Julien Cubizolles
Lycée Louis le Grand
Lundi 15 juin 2020
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
I les moteurs électriques utilisent un champ magnétique pour mettre un objet en rotation, en utilisant laforce de Laplace(en première approximation)
I on l’étudie pour un système en translation, puis en rotation I on étend cette étude macroscopique à tout dipôle magnétique, un
aimant ou d’un atome
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 8/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
I les moteurs électriques utilisent un champ magnétique pour mettre un objet en rotation, en utilisant laforce de Laplace(en première approximation)
I on l’étudie pour un système en translation, puis en rotation
I on étend cette étude macroscopique à tout dipôle magnétique, un aimant ou d’un atome
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
I les moteurs électriques utilisent un champ magnétique pour mettre un objet en rotation, en utilisant laforce de Laplace(en première approximation)
I on l’étudie pour un système en translation, puis en rotation I on étend cette étude macroscopique à tout dipôle magnétique, un
aimant ou d’un atome
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 8/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Observation
Puissance de la force de Laplace
1. Force et puissance sur un rail
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 3. Cas d’un moment magnétique
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Observation
Puissance de la force de Laplace
1. Force et puissance sur un rail 1.1 Observation
1.2 Puissance de la force de Laplace
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 3. Cas d’un moment magnétique
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 10/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Observation
Puissance de la force de Laplace
Mise en mouvement d’une barre
I barre conductrice sur des rails conducteurs
I circuit fermé, alimenté par un générateur de courant continu I placé dans l’entrefer d’un aimant en U
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Observation
Puissance de la force de Laplace
Mise en mouvement d’une barre
I barre conductrice sur des rails conducteurs
I circuit fermé, alimenté par un générateur de courant continu I placé dans l’entrefer d’un aimant en U
I la barre est accélérée par une force # »
FLa, orthogonale à #» Bet à la direction du courantI
I la direction de la force change avec celle du courant
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 11/37
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Mise en mouvement d’une barre
I la barre est accélérée par une force # »
FLa, orthogonale à #»
Bet à la direction du courantI
I la direction de la force change avec celle du courant
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Mise en mouvement d’une barre
I la barre est accélérée par une force # »
FLa, orthogonale à #»
Bet à la direction du courantI
I la direction de la force change avec celle du courant
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 11/37
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Définition
Force de Laplace
Un conducteurrectilignede longueur`, dirigé pare#»`, parcouru par un courant d’intensitéiselone#»`et placé dans un champ magnétique uniforme# »
B0subit une force ditede Laplace, notée# »
FLa,orthogonaleà la direction du courant et à celle de# »
B0donnée par :
# »
FLa=i`e#»`∧# » B0.
I intensité maximale quand # » B0⊥e#»`
I iestalgébrique, positif si le courant circule effectivement dans le sens dee#»`
I pouri=10 A,`=10 cm,B0=1·10−2T et une barre de masse 10 g, accélération de 1 m·s−2
I Adans la manip,#»
B n’est pas rigoureusement uniforme sur toute la barre
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Définition
Force de Laplace
Un conducteurrectilignede longueur`, dirigé pare#»`, parcouru par un courant d’intensitéiselone#»`et placé dans un champ magnétique uniforme# »
B0subit une force ditede Laplace, notée# »
FLa,orthogonaleà la direction du courant et à celle de# »
B0donnée par :
# »
FLa=i`e#»`∧# » B0. I intensité maximale quand# »
B0⊥e#»`
I iestalgébrique, positif si le courant circule effectivement dans le sens dee#»`
I pouri=10 A,`=10 cm,B0=1·10−2T et une barre de masse 10 g, accélération de 1 m·s−2
I Adans la manip,#»
B n’est pas rigoureusement uniforme sur toute la barre
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Puissance de la force de Laplace
Définition
Force de Laplace
Un conducteurrectilignede longueur`, dirigé pare#»`, parcouru par un courant d’intensitéiselone#»`et placé dans un champ magnétique uniforme# »
B0subit une force ditede Laplace, notée# »
FLa,orthogonaleà la direction du courant et à celle de# »
B0donnée par :
# »
FLa=i`e#»`∧# » B0. I intensité maximale quand# »
B0⊥e#»`
I iestalgébrique, positif si le courant circule effectivement dans le sens dee#»`
I pouri=10 A,`=10 cm,B0=1·10−2T et une barre de masse 10 g, accélération de 1 m·s−2
I Adans la manip,#»
B n’est pas rigoureusement uniforme sur toute la barre
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Puissance de la force de Laplace
Définition
Force de Laplace
Un conducteurrectilignede longueur`, dirigé pare#»`, parcouru par un courant d’intensitéiselone#»`et placé dans un champ magnétique uniforme# »
B0subit une force ditede Laplace, notée# »
FLa,orthogonaleà la direction du courant et à celle de# »
B0donnée par :
# »
FLa=i`e#»`∧# » B0. I intensité maximale quand# »
B0⊥e#»`
I iestalgébrique, positif si le courant circule effectivement dans le sens dee#»`
I pouri=10 A,`=10 cm,B0=1·10−2T et une barre de masse 10 g, accélération de 1 m·s−2
I Adans la manip,#»
B n’est pas rigoureusement uniforme sur toute la barre
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Définition
Force de Laplace
Un conducteurrectilignede longueur`, dirigé pare#»`, parcouru par un courant d’intensitéiselone#»`et placé dans un champ magnétique uniforme# »
B0subit une force ditede Laplace, notée# »
FLa,orthogonaleà la direction du courant et à celle de# »
B0donnée par :
# »
FLa=i`e#»`∧# » B0. I intensité maximale quand# »
B0⊥e#»`
I iestalgébrique, positif si le courant circule effectivement dans le sens dee#»`
I pouri=10 A,`=10 cm,B0=1·10−2T et une barre de masse 10 g, accélération de 1 m·s−2
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Cas général
si#»
Bn’est pas uniforme, si le conducteur n’est pas rectiligne ? Force de Laplace élémentaire
La force de Laplace subie par un conducteur élémentaireδ`parcouru par un courant d’intensitéiselonδ`s’écrit :
δ# » FLa=i#»
δ`∧#»
B,
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Une nouvelle force ?
I la force de Laplace est la manifestation macroscopique de la force de Lorentz magnétique due à# »
B0
I dans un conducteurneutre qui contraint la trajectoire des porteurs de charge
I elle tient compte de toutes les interactions électromagnétiques des charges (mobiles et immobiles) entre elles et avec le champ extérieur I dans l’expérience du rail, l’énergiecinétiquefournie à la barre est
fournie sous formeélectriquepar le générateur
I à la base de l’ancienne définition de l’Ampère (2·10−7N·m−1entre 2 fils distants d’1 m)
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Une nouvelle force ?
I la force de Laplace est la manifestation macroscopique de la force de Lorentz magnétique due à# »
B0
I dans un conducteurneutre qui contraint la trajectoire des porteurs de charge
I elle tient compte de toutes les interactions électromagnétiques des charges (mobiles et immobiles) entre elles et avec le champ extérieur I dans l’expérience du rail, l’énergiecinétiquefournie à la barre est
fournie sous formeélectriquepar le générateur
I à la base de l’ancienne définition de l’Ampère (2·10−7N·m−1entre 2 fils distants d’1 m)
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 14/37
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Une nouvelle force ?
I la force de Laplace est la manifestation macroscopique de la force de Lorentz magnétique due à# »
B0
I dans un conducteurneutre qui contraint la trajectoire des porteurs de charge
I elle tient compte de toutes les interactions électromagnétiques des charges (mobiles et immobiles) entre elles et avec le champ extérieur
I dans l’expérience du rail, l’énergiecinétiquefournie à la barre est fournie sous formeélectriquepar le générateur
I à la base de l’ancienne définition de l’Ampère (2·10−7N·m−1entre 2 fils distants d’1 m)
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Une nouvelle force ?
I la force de Laplace est la manifestation macroscopique de la force de Lorentz magnétique due à# »
B0
I dans un conducteurneutre qui contraint la trajectoire des porteurs de charge
I elle tient compte de toutes les interactions électromagnétiques des charges (mobiles et immobiles) entre elles et avec le champ extérieur I dans l’expérience du rail, l’énergiecinétiquefournie à la barre est
fournie sous formeélectriquepar le générateur
I à la base de l’ancienne définition de l’Ampère (2·10−7N·m−1entre 2 fils distants d’1 m)
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Une nouvelle force ?
I la force de Laplace est la manifestation macroscopique de la force de Lorentz magnétique due à# »
B0
I dans un conducteurneutre qui contraint la trajectoire des porteurs de charge
I elle tient compte de toutes les interactions électromagnétiques des charges (mobiles et immobiles) entre elles et avec le champ extérieur I dans l’expérience du rail, l’énergiecinétiquefournie à la barre est
fournie sous formeélectriquepar le générateur
I à la base de l’ancienne définition de l’Ampère (2·10−7N·m−1entre 2 fils distants d’1 m)
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Observation
Puissance de la force de Laplace
1. Force et puissance sur un rail 1.1 Observation
1.2 Puissance de la force de Laplace
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 3. Cas d’un moment magnétique
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Expression
Puissance de la force de Laplace
dans l’expérience du rail de Laplace, avecv`la composante de la vitesse selone#»`∧# »
B0et avec# » B0⊥e#»`:
P(# »
FLa) =iB0`v`
I P(# »
FLa)positive ou négative, selon le signe de\(v`\)_ I pourv=0,1 m·s−1et les mêmes paramètres :P(# »
FLa)'1·10−3W : on atteint le kW dans une perceuse, le MW dans une motrice de TGV I Ala force magnétique de Lorentzne travaille pasmais la force de
Laplacepeut travaillercar la vitesse des porteurs de charge et celle du conducteur n’ont pas la mêmedirection
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Expression
Puissance de la force de Laplace
dans l’expérience du rail de Laplace, avecv`la composante de la vitesse selone#»`∧# »
B0et avec# » B0⊥e#»`:
P(# »
FLa) =iB0`v`
I P(# »
FLa)positive ou négative, selon le signe de\(v`\)_
I pourv=0,1 m·s−1et les mêmes paramètres :P(# »
FLa)'1·10−3W : on atteint le kW dans une perceuse, le MW dans une motrice de TGV I Ala force magnétique de Lorentzne travaille pasmais la force de
Laplacepeut travaillercar la vitesse des porteurs de charge et celle du conducteur n’ont pas la mêmedirection
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 16/37
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Expression
Puissance de la force de Laplace
dans l’expérience du rail de Laplace, avecv`la composante de la vitesse selone#»`∧# »
B0et avec# » B0⊥e#»`:
P(# »
FLa) =iB0`v`
I P(# »
FLa)positive ou négative, selon le signe de\(v`\)_
I pourv=0,1 m·s−1et les mêmes paramètres :P(# »
FLa)'1·10−3W : on atteint le kW dans une perceuse, le MW dans une motrice de TGV
I Ala force magnétique de Lorentzne travaille pasmais la force de Laplacepeut travaillercar la vitesse des porteurs de charge et celle du conducteur n’ont pas la mêmedirection
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Observation
Puissance de la force de Laplace
Expression
Puissance de la force de Laplace
dans l’expérience du rail de Laplace, avecv`la composante de la vitesse selone#»`∧# »
B0et avec# » B0⊥e#»`:
P(# »
FLa) =iB0`v`
I P(# »
FLa)positive ou négative, selon le signe de\(v`\)_
I pourv=0,1 m·s−1et les mêmes paramètres :P(# »
FLa)'1·10−3W : on atteint le kW dans une perceuse, le MW dans une motrice de TGV I Ala force magnétique de Lorentzne travaille pasmais la force de
Laplacepeut travaillercar la vitesse des porteurs de charge et celle du conducteur n’ont pas la mêmedirection
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
1. Force et puissance sur un rail
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 3. Cas d’un moment magnétique
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
1. Force et puissance sur un rail
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 2.1 Couple de la force de Laplace
2.2 Puissance des forces de Laplace 3. Cas d’un moment magnétique
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
I les moteurs utilisent des systèmes en rotation I avec #»
B uniforme, un circuit fermé peut subir uncouplenon nul
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
M4 M3
M2
M1 a O
b e#»z
I I
M3
M2
I B# »0
θ e#»x e#»y #»n e#»z
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 19/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
M4 M3
M2
M1 a O
b e#»z
I I
M3
M2
I B# »0
θ e#»x
e#»y #»n e#»z
I la spire est mobileen rotationautour de∆zpar une liaison pivot I on choisit uneorientationdu circuitM1→M2→M3→M4
I cette orientation définit :
I le sens positif pour l’intensitéI
I un vecteur unitaire#»n normalà la surface de la spire avec la règle de la main droite
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
M4 M3
M2
M1 a O
b e#»z
I I
M3
M2
I B# »0
θ e#»x
e#»y #»n e#»z
I la spire est mobileen rotationautour de∆zpar une liaison pivot
I on choisit uneorientationdu circuitM1→M2→M3→M4
I cette orientation définit :
I le sens positif pour l’intensitéI
I un vecteur unitaire#»n normalà la surface de la spire avec la règle de la main droite
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 19/37
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
M4 M3
M2
M1 a O
b e#»z
I I
M3
M2
I B# »0
θ e#»x
e#»y #»n e#»z
I la spire est mobileen rotationautour de∆zpar une liaison pivot I on choisit uneorientationdu circuitM1→M2→M3→M4
I cette orientation définit :
I le sens positif pour l’intensitéI
I un vecteur unitaire#»n normalà la surface de la spire avec la règle de la main droite
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
M4 M3
M2
M1 a O
b e#»z
I I
M3
M2
I B# »0
θ e#»x
e#»y #»n e#»z
I la spire est mobileen rotationautour de∆zpar une liaison pivot I on choisit uneorientationdu circuitM1→M2→M3→M4
I cette orientation définit :
I le sens positif pour l’intensitéI
I un vecteur unitaire#»n normalà la surface de la spire avec la règle de la main droite
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 19/37
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
M4 M3
M2
M1 a O
b e#»z
I I
M3
M2
I B# »0
θ e#»x
e#»y #»n e#»z
I la spire est mobileen rotationautour de∆zpar une liaison pivot I on choisit uneorientationdu circuitM1→M2→M3→M4
I cette orientation définit : I le sens positif pour l’intensité
I un vecteur unitaire#»n normalà la surface de la spire avec la règle de la main droite
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Dispositif
M4 M3
M2
M1 a O
b e#»z
I I
M3
M2
I B# »0
θ e#»x
e#»y #»n e#»z
I la spire est mobileen rotationautour de∆zpar une liaison pivot I on choisit uneorientationdu circuitM1→M2→M3→M4
I cette orientation définit : I le sens positif pour l’intensitéI
I un vecteur unitaire#»n normalà la surface de la spire avec la règle de la main droite
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 19/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
Moment résultant d’une force linéique uniforme Soit une force linéique#»
f s’exerçant sur un contourC; la force élémentaire δ#»
F sur un segment élémentaireδ#»
` au voisinage d’un pointMest : δ#»
F = #»
f (M)δ`.
Si la force estuniforme,ie #»
f(M) = #»
f0 =cste# »pour tout pointM, le moment des forces élémentaires s’exerçant sur le contour est le même que celui de larésultantede ces forces élémentaires appliquée aubarycentre deC.
En particulier pour un segment[M1M2]de milieuC, on a, pour tout point
O # »
M/O(#»
F) =M1M2
# » OC∧#»
f0
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I Ail s’agit ici du barycentregéométrique, rien à voir a priori avec la masse
I cas de # »
FLapour un champ magnétique uniforme sur un segment [M1M2]:
f#»0 =IM1→M2e# »M1→M2∧# »
B0→# » M/O(#»
F) =IM1→M2
# »
OC∧# » M1M2∧# »
B0
# »
FLas’applique au milieu du segment
I valable aussi pour des distributions surfaciques ou volumiques : dans
#»g uniforme, le poids s’applique au centre de masse d’un objet I dans le cas de #»g, le résultat est valable même si l’objet n’est pas
uniforme, car le centre de masse est défini même pour un objet de masse volumique non uniforme
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 20/37
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa)
I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# »
FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa)
I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 20/37
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Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 20/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Actions exercées sur le cadre
I larésultantedes forces de Laplace estnullecar les forces sur deux éléments diamétralement opposés se compensent
I lemoment résultantn’est cependant pas nul : on a unM/Oz(# » FLa) I la liaison pivot bloque les rotations autour dee#»xete#»y
I les segments horizontaux ne contribuent pas àM/Oz(# » FLa) I pour les segments verticaux :
I les résultantes sur chaque segment sont±IaB0e#»y
I les bras de levier sontb/2sin(θ)et chaque segment contribue dans le même sens :
M/Oz(# »
FLa) =−iabB0sin(θ).
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
1. Force et puissance sur un rail
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 2.1 Couple de la force de Laplace
2.2 Puissance des forces de Laplace 3. Cas d’un moment magnétique
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 21/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Cas de la spire carrée
I en mécanique du solide P(# »
FLa) =M/Oz(# »
FLa)ωz=−iabB0sin(θ) ˙θ.
I on peut aussi calculer la puissance sur chaque segment mais c’est plus lourd…
I elle varie selon l’orientation relative de la spire et #» B :
I nulle quand#»
Best orthogonal au plan de la spire I max en norme quand#»
Blui est tangent
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Cas de la spire carrée
I en mécanique du solide P(# »
FLa) =M/Oz(# »
FLa)ωz=−iabB0sin(θ) ˙θ.
I on peut aussi calculer la puissance sur chaque segment mais c’est plus lourd…
I elle varie selon l’orientation relative de la spire et #» B :
I nulle quand#»
Best orthogonal au plan de la spire I max en norme quand#»
Blui est tangent
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 22/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Cas de la spire carrée
I en mécanique du solide P(# »
FLa) =M/Oz(# »
FLa)ωz=−iabB0sin(θ) ˙θ.
I on peut aussi calculer la puissance sur chaque segment mais c’est plus lourd…
I elle varie selon l’orientation relative de la spire et #»
B:
I nulle quand#»
Best orthogonal au plan de la spire I max en norme quand#»
Blui est tangent
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Cas de la spire carrée
I en mécanique du solide P(# »
FLa) =M/Oz(# »
FLa)ωz=−iabB0sin(θ) ˙θ.
I on peut aussi calculer la puissance sur chaque segment mais c’est plus lourd…
I elle varie selon l’orientation relative de la spire et #»
B: I nulle quand#»
Best orthogonal au plan de la spire
I max en norme quand#»
Blui est tangent
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Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Couple de la force de Laplace Puissance des forces de Laplace
Cas de la spire carrée
I en mécanique du solide P(# »
FLa) =M/Oz(# »
FLa)ωz=−iabB0sin(θ) ˙θ.
I on peut aussi calculer la puissance sur chaque segment mais c’est plus lourd…
I elle varie selon l’orientation relative de la spire et #»
B: I nulle quand#»
Best orthogonal au plan de la spire I max en norme quand#»
Blui est tangent
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
1. Force et puissance sur un rail
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 3. Cas d’un moment magnétique
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 24/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
on am#»=iab#»n
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
1. Force et puissance sur un rail
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 3. Cas d’un moment magnétique
3.1 Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique 3.2 Puissance et énergie potentielle
3.3 Effet moteur d’un champ tournant
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 26/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Expression en fonction du moment magnétique
On admet l’extension à tout moment magnétique :
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Expression en fonction du moment magnétique
On admet l’extension à tout moment magnétique : Moment par rapport à l’axe des forces de Laplace
Le couple des forces de Laplace exercé sur un dipôle magnétiquem#»par un champ#»
Best : #»
C(# »
FLa) =m#»∧#»
B0.
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Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Expression en fonction du moment magnétique
Moment par rapport à l’axe des forces de Laplace
Le couple des forces de Laplace exercé sur un dipôle magnétiquem#»par un champ#»
Best : #»
C(# »
FLa) =m#»∧#»
B0. I on n’a regardé queM/Oz(# »
FLa), les autres composantes sont ici nulles car on maintient la spire verticale
I comme la résultante est nulle, on a bien uncouple, indépendant du point de calcul
I onconstateque c’est le cas pour la spire rectangulaire, onadmetque c’est valable dans tous les cas
I cette formule permet de retrouver rapidement le cas de toute spire non rectangulaire
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
1. Force et puissance sur un rail
2. Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme 3. Cas d’un moment magnétique
3.1 Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique 3.2 Puissance et énergie potentielle
3.3 Effet moteur d’un champ tournant
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Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Puissance des force de Laplace sur un moment magnétique
La puissance des forces de Laplace subies par un moment magnétiquem#»
plongé dans un champ magnétique#»
B et en rotation autour d’un axe∆ est :
P(# »
FLa) =−m⊥B⊥sin(θ) ˙θ, avecB⊥etm⊥les normes des composantes de#»
Betm#»orthogonales à∆et θl’angle entre les projections de#»
B et dem#»orthogonalement à∆.
I Al’axe de rotation n’est ici pas forcément fixe mais le théorème reste vrai car on étudie la rotation autour de son centre d’inertie
I la plupart du tempsm#»et#»
Bseront orthogonaux à l’axe∆considéré et P(# »
FLa) =−mBsin(θ) ˙θ,à apprendre avec le schéma I elle varie selon l’orientation relative dem#»et#»
B : I nulle quand#»est parallèle à #»
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I la puissance s’écrit comme la dérivée d’une fonction de laposition I la force de Laplace est donc, dans ce cas,conservative
I on a
dEpot=−P(# »
FLa)dt→ Epot=−m⊥B⊥cos(θ) +cste
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Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I la puissance s’écrit comme la dérivée d’une fonction de laposition
I la force de Laplace est donc, dans ce cas,conservative I on a
dEpot=−P(# »
FLa)dt→ Epot=−m⊥B⊥cos(θ) +cste
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I la puissance s’écrit comme la dérivée d’une fonction de laposition I la force de Laplace est donc, dans ce cas,conservative
I on a
dEpot=−P(# »
FLa)dt→ Epot=−m⊥B⊥cos(θ) +cste
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 30/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I la puissance s’écrit comme la dérivée d’une fonction de laposition I la force de Laplace est donc, dans ce cas,conservative
I on a
dEpot=−P(# »
FLa)dt→ Epot=−m⊥B⊥cos(θ) +cste
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
Les actions de Laplace exercées sur un dipôle magnétiquerigidesont conservatives. On peut leur associer l’énergie potentielle :
EpotL =−m#»·#»
B.
−1
−0,5 0,5 1
−2π −π 0 π 2π
m#» #»B m#» #»B
#»m #»B
θ Epot/(mB)
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Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
Les actions de Laplace exercées sur un dipôle magnétiquerigidesont conservatives. On peut leur associer l’énergie potentielle :
EpotL =−m#»·#»
B.
−1
−0,5 0,5 1
−2π −π 0 π 2π
m#» #»
B m#» #»
#» B m #»
B
θ Epot/(mB)
Positions d’équilibre
Il existe donc deux positions d’équilibre :
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I un dipôle rigide est tel que :m#»de norme constante en fonction du temps, par exemple une spireindéformableparcourue par un courant stationnaireou un aimant permanent d’aimantation constante
I le dipôle est ici toujours à lamême position: donck#»
Bk=cste, ce sera différent si le dipôle peut se déplacer dans #»
B
I Adans une spire, les phénomènes d’inductionpourront faire varier l’intensité : le dipôle ne sera plus rigide
I Ade même la force de Laplace peut déformer une spire souple I #»
B est toujours uniforme sur l’extension du dipôle à l’approximation dipolaire
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Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I un dipôle rigide est tel que :m#»de norme constante en fonction du temps, par exemple une spireindéformableparcourue par un courant stationnaireou un aimant permanent d’aimantation constante
I le dipôle est ici toujours à lamême position: donck#»
Bk=cste, ce sera différent si le dipôle peut se déplacer dans #»
B
I Adans une spire, les phénomènes d’inductionpourront faire varier l’intensité : le dipôle ne sera plus rigide
I Ade même la force de Laplace peut déformer une spire souple I #»
B est toujours uniforme sur l’extension du dipôle à l’approximation dipolaire
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I un dipôle rigide est tel que :m#»de norme constante en fonction du temps, par exemple une spireindéformableparcourue par un courant stationnaireou un aimant permanent d’aimantation constante
I le dipôle est ici toujours à lamême position: donck#»
Bk=cste, ce sera différent si le dipôle peut se déplacer dans #»
B
I Adans une spire, les phénomènes d’inductionpourront faire varier l’intensité : le dipôle ne sera plus rigide
I Ade même la force de Laplace peut déformer une spire souple I #»
B est toujours uniforme sur l’extension du dipôle à l’approximation dipolaire
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 30/37
Force et puissance sur un rail Rotation d’une spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme Cas d’un moment magnétique
Moment par rapport à l’axe en fonction du moment magnétique Puissance et énergie potentielle
Effet moteur d’un champ tournant
Énergie potentielle d’un moment magnétique rigide dans un champ magnétique
I un dipôle rigide est tel que :m#»de norme constante en fonction du temps, par exemple une spireindéformableparcourue par un courant stationnaireou un aimant permanent d’aimantation constante
I le dipôle est ici toujours à lamême position: donck#»
Bk=cste, ce sera différent si le dipôle peut se déplacer dans #»
B
I Adans une spire, les phénomènes d’inductionpourront faire varier l’intensité : le dipôle ne sera plus rigide
I Ade même la force de Laplace peut déformer une spire souple I #»
B est toujours uniforme sur l’extension du dipôle à l’approximation dipolaire
