PCSI 2 Force de Lorentz et force de Laplace
FORCE DE LORENTZ ET FORCE DE LAPLACE
Il s’agit de montrer ici que, dans un champ magnétique, la force de Laplace s’exerçant sur un conducteur parcouru par un courant n’est rien d’autre que la version macroscopique de la force de Lorentz qui s’exerce au niveau microscopique sur les particules chargées.
Introduction (rappels) :
* Une particule de charge q, se déplaçant dans un champ magnétique
€ B !
, à la vitesse€
v dans le référentiel d’étude, subit alors une ! force magnétique :
€
F =! q! v ∧!
B (« partie magnétique » de la force de Lorentz).
* Un conducteur filiforme, parcouru par un courant I, et placé dans un champ magnétique
€
B !
, subit la force de Laplace€
d! F =Id!
l ∧!
B , avec
€ d!
l un déplacement élémentaire pris dans le sens du courant I réel et donc en sens inverse du sens de déplacement des électrons.
Démonstration :
Préliminaire : autre écriture de l’intensité d’un courant électrique
Considérons la définition « classique » de l’intensité I d’un courant électrique (débit de charges) :
€
I= dq
dt , où dq est la charge électrique élémentaire traversant une section S du conducteur pendant l’intervalle de temps élémentaire dt.
En appelant n la densité particulaire d’électrons, v leurs vitesses, et e la charge élémentaire, on a alors dq = - n S v dt e.
En effet, suivant le même principe de comptage qu’en théorie cinétique en thermodynamique, tous les électrons traversant une section S de conducteur pendant l’intervalle de temps dt se trouvent dans un cylindre de section S et de longueur v dt.
On a alors I = n S v e.
Expression de la force :
On considère un tronçon de conducteur de section S et de longueur élémentaire dl.
On fait la somme des actions mécaniques sur chaque électron contenu dans ce tronçon en notant N le nombre d’électrons qu’il contient :
€
d!
F = −e! v ∧!
B
N
∑
=−Nev ∧! B ! , en considérant€
B ! uniforme sur dl suffisamment petit.
Etant donné que N = nSdl, on obtient
€
d!
F =−nSdle! v ∧ !
B .
Sachant que le courant est orienté mais qu’il n’est pas représenté par un vecteur, on contourne la difficulté en introduisant un vecteur unitaire
€
u ! dans le sens du courant I, et donc en sens inverse de la vitesse
€
v =! −v! u . On a donc :
€
d!
F =nSdlev! u ∧!
B
En introduisant l’expression de l’intensité I = n S v e obtenue précédemment, on obtient
€ d!
F =Idl! u ∧!
B . On définit enfin un déplacement élémentaire
€
d! l =dl!
u pris dans le sens du courant I, ce qui permet finalement d’aboutir à
€
d! F =Id!
l ∧! B .
Cette force appliquée aux électrons est transmise au réseau cristallin du métal, donc au tronçon de fil conducteur qui se déplace alors.
-e S v n
dl - e v S
n
v dt
I u
