DM n°9 Exercice n°1

(1)

1/2 -

DM n°9 Exercice n°1 – 5 points

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=/f{¤;1+e^{-¤x}}

1. Démontrer que f est strictement croissante sur R .

2. Justifier que la droite Δ d'équation y=#1 est asymptote à la courbe représentative de f .

3. Démontrer que l'équation f(x)=0,¤ admet une unique solution α sur R.

4. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10

^-2

.

Partie B

Soit h la fonction définie sur R par h(x)=#1 – f (x) . 1. Justifier que la fonction h est positive sur R.

2. On désigne H la fonction définie sur R par H(x)= – /fs{#1;#2}ln(1+e^{-#2x}) . Démontrer que H est une primitive de h sur R.

3. Soit a un réel positif.

a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale /int{0;a;h(x)dx}

avec la fonction f .

b. Démontrer que /int{0;a;h(x)dx} = /fs{#1;#2} ln (/f{2;1+e^{-#2a}})

c. On note d l'ensemble des points M(x;y) du plan défini par :

x ≥ 0 et f (x) ≤ y ≤ #1

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine d .

Exercice n°2 – 5 points Partie A

Soit (u

n

) la suite définie par son premier terme u

0

et, pour tout entier naturel n , par la relation u

_n₊₁

= au

n

+ b ( a et b étant des nombres réels non nuls, et a ≠1 ).

On pose, pour tout entier naturel n , v

n

=u

n

– ^b 1 – a ^.

1. Démontrer que la suite (v

n

) est géométrique de raison a .

2. En déduire à quelle condition la suite (u

n

) est convergente, et, quand elle l'est, sa limite en fonction de a et b .

Partie B

En mars 2015, /t{Émilie;Isabelle;Sonia;Chloé} achète un arbuste mesurant /t{40;50;60;70;80;90} cm. On lui conseille de le tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant /t{10;20;30;40} % de sa hauteur. L'arbuste poussera alors de /t{10;20;30;40;50} cm au cours des douze mois suivants.

Dés qu'elle rentre chez elle, #5 taille son arbuste.

1. Quelle sera la hauteur de son arbuste en mars 2016, avant qu'elle ne la taille ?

2. Pour tout entier naturel n , on note h

n

la hauteur de l'arbuste, avant sa taille, en mars de l'année (2015+ n ).

a. Exprimer h

n+1

en fonction de h

n

.

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DM n°9 Exercice n°1

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DM n°9 Exercice n°1 – 5 points

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=/f{¤;1+e^{-¤x}}

1. Démontrer que f est strictement croissante sur R .

2. Justifier que la droite Δ d'équation y=#1 est asymptote à la courbe représentative de f .

3. Démontrer que l'équation f(x)=0,¤ admet une unique solution α sur R.

4. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10

.

Partie B

Soit h la fonction définie sur R par h(x)=#1 – f (x) . 1. Justifier que la fonction h est positive sur R.

2. On désigne H la fonction définie sur R par H(x)= – /fs{#1;#2}ln(1+e^{-#2x}) . Démontrer que H est une primitive de h sur R.

3. Soit a un réel positif.

a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale /int{0;a;h(x)dx}

avec la fonction f .

b. Démontrer que /int{0;a;h(x)dx} = /fs{#1;#2} ln (/f{2;1+e^{-#2a}})

c. On note d l'ensemble des points M(x;y) du plan défini par :

x ≥ 0 et f (x) ≤ y ≤ #1

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine d .

Exercice n°2 – 5 points Partie A

Soit (u

) la suite définie par son premier terme u

et, pour tout entier naturel n , par la relation u

= au

+ b ( a et b étant des nombres réels non nuls, et a ≠1 ).

On pose, pour tout entier naturel n , v

=u

– b 1 – a .

1. Démontrer que la suite (v

) est géométrique de raison a .

2. En déduire à quelle condition la suite (u

) est convergente, et, quand elle l'est, sa limite en fonction de a et b .

Partie B

En mars 2015, /t{Émilie;Isabelle;Sonia;Chloé} achète un arbuste mesurant /t{40;50;60;70;80;90} cm. On lui conseille de le tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant /t{10;20;30;40} % de sa hauteur. L'arbuste poussera alors de /t{10;20;30;40;50} cm au cours des douze mois suivants.

Dés qu'elle rentre chez elle, #5 taille son arbuste.

1. Quelle sera la hauteur de son arbuste en mars 2016, avant qu'elle ne la taille ?

2. Pour tout entier naturel n , on note h

la hauteur de l'arbuste, avant sa taille, en mars de l'année (2015+ n ).

a. Exprimer h

en fonction de h

.

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b. En justifiant à l'aide des résultats de la partie A, indiquer si la suite est convergente ou non.

2/2

– ^b 1 – a ^.