Page 1 : correction de quelques systèmes de l’activité 3 Page 2 : cours du vendredi
Page 3 : correction des exercices 7,8 et 25 p 17 du livre Pour le contrôle de lundi :
- savoir tracer une droite d’équation donnée
- savoir déterminer l’équation d’une droite définie par 2 points - savoir montrer si 3 points sont alignés
- savoir déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes - savoir résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues
- graphiquement
- par le calcul (méthode non imposée)
Correction activité 3 du jeudi 16/09
méthode : on calcule le déterminant du système. S’il est non nul, le système admet une solution unique. On résout alors par combinaison linéaire.
Voici les 3 systèmes admettant solution unique de l’activité 3 , avec pour 2 d’entre eux une résolution par la méthode de combinaison linéaire
1) 3x−2y=1 :L1 4x+y=3 :L2
⎧⎨
⎩ le déterminant est 3 × 1 – (– 2) × 4 = 11 donc non nul L1 → L1 3x – 2y = 1
L1 + 2L1 → L1 (3x + 8x) + (- 2y + 2y) = 1 + 2×3
On obtient le système : 3x−2y=1 11x=7
⎧⎨
⎩ donc
x= 7 11 3× 7
11−2y=1
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪
donc
x= 7 11 y= 5
11
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪
2) ⎩⎪⎨⎪⎧2x + y = 1
3y − 6 = 0 le déterminant est 2 × 3 – 1 × 0 = 6 , non nul
la deuxième ligne donne y = 2 et en remplaçant dans la première ligne , x = - ½
3) ⎩⎪⎨⎪⎧4x − 3y = 1
2x + 5y = −2 le déterminant est 4 × 5 – (– 3) × 2 = 26 non nul L1 → L1 4x – 3y = 1
L1 – 2L2 → L2 (4x – 4x) + (– 3y – 10y) = 1 – 2(–2)
On obtient le système : 4x−3y=1
−13y=5
⎧⎨
⎩ donc
4x+15 13 =1 y=− 5
13
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪
donc
x=− 1 26 y=− 5
13
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪
Cours du vendredi 17/09
II Système linéaires d'équations
1) systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues définition
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système qui peut se mettre sous la forme ⎩⎨⎧ax + by = e
cx + dy = f
Résoudre un tel système , c'est trouver l'ensemble des couples de réels (x;y) qui vérifient simultanément les deux équations.
propriété
Dans un repère, l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient ax + by = e est une droite (D) .
L'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient cx + dy = f est une droite (Δ)
L'ensemble des points M dont les coordonnées vérifient ⎩⎨⎧ax + by = e
cx + dy = f est donc l'ensemble des points communs à (D) et (Δ).
(1) Le système admet une solution unique ⇔ (D) et (Δ) sont sécantes ⇔ ad − bc ≠ 0
(2) Le système admet une infinité de solutions ⇔ (D) et (Δ) sont confondues (3) Le système n'admet aucune solution ⇔ (D) et (Δ) sont strictement parallèles Pour les cas (2) et (3), on a ad − bc = 0.
7 page 17
L’axe des abscisses (Ox) a pour équation y = 0
Les coordonnées du point d’intersection de (Ox) avec la droite d’équation 5x + 8y = 40 vérifient le système
y=0
5x+8y=20
⎧⎨
⎩ soit y=0
5x=20
⎧⎨
⎩ donc x=4 y=0
⎧⎨
⎩ donc A(8 ;0) est le point d’intersection avec (Ox) L’axe des ordonnées (Oy) a pour équation x = 0
Les coordonnées du point d’intersection de (Oy) avec la droite d’équation 5x + 8y = 40 vérifient le système
x=0
5x+8y=20
⎧⎨
⎩ soit x=0
8y=20
⎧⎨
⎩ donc
x=0 y= 5 2
⎧
⎨⎪
⎩⎪
donc B(0 ; 2,5) est le point d’intersection avec (Oy)
8 page 17
Quand les équations sont données sous la forme y = ax + b, le système est plus simple à résoudre.
y=7x−3 y=−3x+7
⎧⎨
⎩ ⇔ y=7x−3 7x−3=−3x+7
⎧⎨
⎩ ⇔ y=7x−3
10x=10
⎧⎨
⎩ ⇔ x=1
y=4
⎧⎨
⎩ 25 page 19
a) Le système se ramène à 3x+2y=−3 :L1
x−y=−5 :L2
⎧⎨
⎩ et son déterminant est non nul L1 → L1 3x + 2y = - 3
L1 + 2L2 → L2 5x = - 13 donc x=−13
5;y=12 5
b) 250 x – 100 y = 75 se simplifie en divisant par 25 d’où 10x – 4y = 3 -100x + 40y – 30 = 0 se simplifie par 10 : - 10x + 4y = 3
Le système 10x−4y=3
−10x+4y=3
⎧⎨
⎩ a pour déterminant 0
10x – 4y = 3 peut s’écrire 4y = 10x – 3 , donc y = 2,5 x – 0,75 -10x + 4y = 3 peut s’écrire 4y = 10 x + 3 , donc y = 2,5 x + 0,75
On obtient deux droites strictement parallèles, donc le système n’a pas de solution
