LM323 Examen du 14 décembre 2007 11h - 13h Exercice n

(1)

LM323 Examen du 14 décembre 2007 11h - 13h Exercice n^o1

On se place dans un espace euclidien E de dimension 3. On xe un plan P de E. On note la projection orthogonale sur P. Enn pour deux points M et N distincts, _MN désigne le plan médiateur de MN.

1) Soit u un vecteur non nul et E; E⁰; F; F⁰4 points tels que EF = E⁰F⁰ etEF 6=! !

E⁰F⁰. Montrer que les deux énoncés suivants sont équivalents :

Il existe une unique rotation d'axe parallèle à u telle que (E) = E⁰ et (F ) = F⁰. Le vecteur u est orthogonal à !

EE⁰ et ! F F⁰

2) Montrer que si EE⁰ et F F⁰ ne sont pas parallèles, l'axe de la rotation du 1 est l'intersection des plans EE⁰ et F F⁰.

3) Soit M et N deux points tels que (M) 6= (N). Montrer que MN \ P est une droite orthogonale à (M)(N).

4) On suppose que v est le vecteur d'un vissage tel que (M) = N. Montrer que le point M + v est sur une sphère à préciser.

Soit ABO un triangle non plat dans P et une rotation (sur P) de centre O. Soit A⁰ = (A), B⁰ = (B), C le point tel que AC =! !

BB⁰ et H le pied de la hauteur, issue de A, du triangle AA⁰C. On note I le milieu de AA⁰, J le mileu de BB⁰, et la similitude directe telle que (A⁰) = I et (A) = O.

5) Montrer que (C) = J.

Pour tout vecteur v 6= 0 on note v un vissage de vecteur v tel que v(A) = A⁰ et v(B) = B⁰. 6) Montrer que, v étant donné, si un tel vissage existe, il est unique.

7) Montrer que _v existe si et seulement si A + v appartient à un cercle C que l'on précisera, privé du point A.

Soit M 2 C avec M 6= A; M 6= H et v = !

AM. Soit v l'axe de v et Ov l'intersection de l'axe _v de _v avec le plan P.

8) Montrer que Ov = (N). (Utiliser les résultats des questions 2 et 3)

(2)

Exercice n^o2

Soit AA⁰B un triangle non plat. On note D = AB et D⁰ = A⁰B.

1) Montrer qu'il existe une parabole P passant par A et A⁰ et admettant D et D⁰ comme tangentes en ces points.

Soit F le foyer de P, son axe, H et H⁰ les projections de F sur D et D⁰. 2) Montrer les égalités suivantes :

(AB; ) = (HF; HH⁰) (AF; AB) = (BF; BA⁰).

3) En déduire une construction de F , connaissant A; A⁰ et B.

(3)

r

r r r

r

A

C I

H A⁰

O

B J

B⁰

@@

@@ HHHH

HHHH

r

r r

r

(H)

A

C

I

H

A⁰

O

B J

B⁰

@@

P

(4)

r

r r

r

A⁰

A

H⁰ H

F

B

D

D⁰ P

XXXXXXXXX

@@

@@@