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Distributions MATH0074-1 (2016–2017) Liste 5
1. Si cela a un sens, d´eterminer la transform´ee de Fourier de la distribution associ´ee `a la fonctionx2R7!|x|
2. On consid`ere les fonctionsf etg d´efinies sur Rparf(x) =x2et g(x) =x. Montrer que la distributiongD 0et la fonctionf sont composables et calculer leur produit de composition.
3. Soit une fonction 2D(R), positive et d’int´egrale ´egale `a 1. On pose m(x) =m (mx) pour tousx2Ret m2N0.
(a) Montrer que m etusont composables quelle que soit la distributionu2D0(R).
(b) Sium est la distribution associ´ee `a u⇤ m, montrer que limm!+1um=udansD0(R).
4. Soientuune distribution temp´er´ee dansRet aun r´eel. On consid`ere l’application '2D(R)7!(u⇤')(a).
(a) Montrer que cette application est une distribution.
(b) Cette distribution est-elle temp´er´ee ? Pourquoi ? 5. A PROPOSER AUX ETUDIANTS
On donne
f(x) =
⇢ 2xex six0 xex six >0.
On noteula distribution associ´ee `af et P l’op´erateur de d´erivationP(D) =D2 2D+ 1.
(a) D´eterminer le plus grand naturelktel quef 2Ck(R).
(b) Montrer directement que la loi'7!u(x)'(x+ 1) est une distribution3 dansR (c) Montrer queP vest un multiple de 1.
3. Il s’agit en fait deu⇤ 1.
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)