Liste2 Distributions MATH0074-1(2016–2017)

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Distributions MATH0074-1 (2016–2017) Liste 2

1. D´eterminer le support des distributions de l’exercice 2 de la liste 1.

2. D´eterminer la structure g´en´erale des distributions dansRdont le support est form´e de deux points distincts deR.

3. D´eterminer les distributionsudeD⁰(R) qui v´erifient les ´egalit´es suivantes (a)xu= 2u (b)x²u=u

(c)x²u= 0 (d)x²Du= 0.

4. Soientp2N0 etc2C. D´eterminer les distributionsudeD⁰(R) qui v´erifient (a)D^pu= 0 (b) (D c)^pu= 0.²

5. D´eterminer les distributionsudeD⁰(R) qui v´erifient les ´egalit´es suivantes : (a)D²u 2Du+u= 0 (b)Du+u= 0

(c)D²u= 0 (d)D²u+ 4u= 0.

6. Soientaet bdeux complexes fix´es. On consid`ere alors l’op´erateur di↵´erentiel P =D²+aD+b.

Soient f et g deux fonctions deC²(R) telles que (P f)(x) = (P g)(x) = 0 pour toutx2R, f(0) =g(0) etDf(0) Dg(0) = 1. On pose

h(x) =

⇢ f(x) si x0, g(x) si x >0.

Montrer quehd´efinit une distributionuet calculerP u. En d´eduire les solutions de l’´equation D²u+ 2Du 3u= 0.

2. Suggestion : Montrer queD^p(e ^cxu) =e ^cx(D c)^pupour toutu2D⁰(R).