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Distributions MATH0074-1 (2016–2017) Liste pour TD avril 2017
1. Soit'2D(R). Pour toutm2N0, on pose
'm(x) = ' x+m1 '(x)
1 m
, x2R.
— Montrer que 'm2D(R) pour tout m2N0.
— La suite ('m)m2N0 converge-t-elle dansD(R) ? Si oui, en d´eterminer la limite.
2. Les applications suivantes sont-elles des distributions dans R? Justifier. En cas de r´eponse affirmative, en d´eterminer le support.
u1:'2D(R)7!
Z +1 0
'(x)(D')(x)dx u2:'2D(R)7!
Z
R'(ex)dx u3:'2D(R)7!
Z 1 0
(D')(x)dx u4:'2D(R)7!
+1
X
n=1
1 n
✓ '
✓1 n
◆ '(0)
◆
u5:'2D(R)7!
+1X
n=1
'(xn) u6:'2D(R0)7!
X+1 n=1
n2'(xn)
o`u (xn)n2Nd´esigne une suite de r´eels qui converge vers 0.
3. On pose
u(') = lim
"!0+
Z
|x| "
'(x)
x2 dx 2'(0)
"
!
pour tout'2D(R). Montrer queud´efinit une distribution dansRet que sif(x) = ln(|x|), x2R0, alorsu=D2uf. Soit la fonction
f(x) =
⇢ 1 cos(x) si x >0,
0 si x0.
— D´eterminer le plus grand naturel ppour lequel cette fonction est de classeCp dansR.
— Montrer qu’au sens distribution (dansR), cette fonction v´erifie l’´equation
D2u+u= ]0,+1[. (1)
— En d´eduire la solution g´en´erale dansD0(R) de l’´equation 1.
D´eterminer les distributionsudeD0(R) qui v´erifient les ´equations suivantes (a)xu=u (b)x2u+u= 0 (c)Du=uY
(d)xDu=uY (e)xDu= 0 (f)xDu+u= 0. 4. Soientuune distribution dansRn et '2D(Rn). Montrer que
'u= 0)u(') = 0 mais que la r´eciproque est fausse.
5. Montrer que si '2D(R) est non nul, alors sa transform´ee de Fourier n’est pas `a support compact.
