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Distributions MATH0074-1 (2016–2017) Liste 4
1. On consid`ere les fonctions d´efinies dansRpar
f1(x) =c(c2C), f2(x) =xn (n2N0), f3(x) =ex et f4(x) =eiax (a2R).
(a) Les distributions associ´ees sont-elles temp´er´ees dansR? Si oui, en calculer la transform´ee de Fourier.
(b) En d´eduire que tout polynˆome d´efinit une distribution temp´er´ee et en calculer la trans- form´ee de Fourier.
2. Rappelons que la transform´ee de Fourier de la distribution associ´ee `a la fonctionY = ]0,+1[
est donn´ee par
F±uY(') =⇡'(0)±i Z +1
0
'(x) '( x)
x dx 8'2D(R).
En d´eduire l’expression de la transform´ee de Fourier de la valeur principale de 1/x.
3. On consid`ere les lois
u:'2D(R)7! X
m2Z
m'(m), v:'2D(R)7! X
m2Z
'(2⇡m).
(a) Montrer queuetv sont des distributions temp´er´ees.
(b) Calculer la transform´ee de FourierF udeuet montrer que l’on aF u= 2i⇡Dv.
4. Soient les fonctionnelles d´efinies surD(R) par
'7!
X+1 m= 1
Z
Re2i⇡mx'(x)dx et '7!
+1X
m= 1
'(m) not´ees respectivement
+1
X
m= 1
e2i⇡mx et
+1
X
m= 1 m.
(a) Comparer
+1
X
m= 1
e2i⇡mx et
+1
X
m= 1 m. (b) En d´eduire que l’on a
2⇡
+1
X
m= 1
⌥2⇡m=
+1
X
m= 1
F± m dansD0(R).
