Liste3 Distributions MATH0074-1(2016–2017)

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Distributions MATH0074-1 (2016–2017) Liste 3

1. Soient les suitesfm, gm(m2N⁰) d´efinies par

fm(x) =

( 0 si|x| m¹

m si|x|<_m¹ et

gm(x) =

( 0 si|x| m¹

m² si|x|<_m¹

Montrer que ces suites convergent presque partout vers 0 dansR, que la suiteufm converge dansD⁰(R) vers 2 0et que la suiteugm ne converge pas dansD⁰(R).

2. Si elles existent, d´eterminer les limites pourn!+1dansD⁰(R) des distributions suivantes : (a)n²( 1/n 2 0+ 1/n) (b)n³( 1/n 1/n 2D 0)

3. Pour tout ">0, on pose f"(x) = ^"₂|x|^{" 1} (x2R) et on note u" la distribution associ´ee.

DansD⁰(R), calculer lim

"!0u" .

4. Soitk2N⁰. On consid`ere les suites (fm)m2N0 et (gm)m2N0 de fonctions d´efinies surRpar fm(x) =m^ke^imx et gm(x) =me ^m|x|

pour toutm2N0. Montrer que les suites de distributions (ufm)_m2N0et (ugm)_m2N0convergent dansD⁰(R). D´eterminer leurs limites.

5. Soit (fm)_m2N0 la suite d´efinie par

fm(x) = sin(mx)

x , x2R⁰

et soitum la distribution associ´ee `afm. Etudier la convergence de cette suite dansD⁰(R).

6. Soit (fm)m2Nune suite deL¹(Rⁿ) (resp.L²(Rⁿ),L¹(Rⁿ)) qui converge versf dansL¹Rⁿ) (resp.L²(Rⁿ),L¹(Rⁿ)). Est-ce que (ufm)m2Nconverge versuf dansD⁰(R) ? Justifier.