MPSI B Corrigé du DM 6 15 décembre 2019
Problème 1.
1. a. Pousser les boutons les uns après les autres revient à se donner une application injective de {1, . . . , n} dans A n . Le nombre de ces applications est n!
b. Formons d'abord la liste de toutes les partitions :
{{1}, {2}, {3}}, {{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}}, {{3}, {1, 2}}, {{1, 2, 3}}, Comme l'ordre dans lequel on pousse les boutons est important,chaque partition fournit plusieurs combinaisons. Respectivement :
6, 2, 2, 2, 1
Le nombre de 3-combinaisons est donc nalement a 3 = 6 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13 2. a. Il y a n k
manières de choisir une première partie P 1 à k éléments.
b. Le nombre de n -combinaisons commençant par P 1 de cardinal k est a n−k . Il y en a autant que de n − k -combinaisons formées dans A n − P 1 .
c. D'après les deux questions précédentes, le nombre de n -combinaisons dont la première partie contient k éléments est
n k
a n−k .
Cette formule est valable pour k = n avec a 0 = 1 car {A n } est la seule n - combinaison dont la première partie contient n éléments.
En triant toutes les combinaisons suivant le nombre d'éléments de la première partie, on obtient :
a n =
n
X
k=1
n k
a n−k .
3. a. En exprimant a n à l'aide de b n dans la formule précédente et en simpliant par n! , on obtient
b n =
n
X
k=1
b n−k k! .
b. Raisonnons par récurrence et supposons b k ≤ ln 1
k2 pour k ∈ {1, . . . , n − 1} , alors
b n ≤
n
X
k=1
1
k! ln n−k 2 = 1 ln n 2
n
X
k=1
ln k 2 k! = 1
ln n 2
n
X
k=0
ln k 2 k! − 1
!
≤ 1
ln n 2 e ln 2 − 1
= 1 ln n 2 .
Problème 2.
1. L'addition parallèle est clairement commutative. L'associativité se déduit de ce que (a//b)//c =
ab a+b c
ab
a+b + c = abc ab + ac + bc s'exprime de manière symétrique en fonction de a , b , c .
Il n'existe pas de neutre car a//b = b entrainerait 0 = b 2 . La question des éléments inversibles ne se pose pas car il n'y a pas d'élément neutre.
2. L'ensemble des (y, z) ∈ R 2 tels que y + z = x est aussi l'ensemble des (y, x − y) où y est un réel quelconque.
Considérons la fonction du second degré en y
ay 2 + b(x − y) 2 = (a + b)y 2 − 2bxy + bx 2
Comme a + b > 0 , la plus petite valeur que prend cette expression est atteinte pour y 0 = bx
a + b et vaut
b 2 x 2
a + b − 2b 2 x 2
a + b + bx 2 = ab a + b x 2 .
Ainsi, (a//b)x 2 est non seulement la borne inférieure mais aussi le plus petit élément de l'ensemble proposé. La relation est vériée pour
(y 0 , z 0 ) = ( bx
a + b , x − bx a + b ).
3. Avec les conventions de l'énoncé, ay 2 et bz 2 représentent les énergies dissipées dans chaque résistance. Le courant se répartit entre les deux branches de façon à minimiser l'énergie dissipée. La résistance équivalente a//b permet d'exprimer cette énergie en respectant la loi d'Ohm.
4. Considérons des réels y et z quelconques tels que y + z = x . D'après la question précédente :
(a//c)x 2 + (b//d)x 2 ≤ ay 2 + cz 2 + by 2 + dz 2 = (a + b)y 2 + (c + d)z 2 Donc (a//c)x 2 + (b//d)x 2 est un minorant de
{(a + b)y 2 + (c + d)z 2 , (y, z) ∈ R 2 tq y + z = x}.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai M0606CMPSI B Corrigé du DM 6 15 décembre 2019
Comme la borne inférieure ((a + b)//(c + d)) est le plus grand des minorants, on a bien l'inégalité proposée.
5. Cette formule s'obtient de manière évidente par récurrence à partir de la précédente.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
