Pour tout n ∈Z, exp(n

Prouver par récurrence les propriétés du cours suivantes : 1. Soitz ∈C. Alors pour tout n∈N, zⁿ=zⁿ.

2. Déduire du point précédent (sans récurrence) que pour tout n∈Z, zⁿ=zⁿ. 3. Soitz ∈_C. Alors pour tout n∈_N, |zⁿ|=|z|ⁿ etarg(zⁿ) = narg(z).

4. Pour tout n ∈_Z, exp(n) = eⁿ, et plus généralement exp(nx) = (e^x)ⁿ. 5. Pour tout n ∈_N^∗, la dérivée de x7→xⁿ estx7→nxⁿ⁻¹.

Prouver par récurrence les propriétés du cours suivantes : 1. Soitz ∈C. Alors pour tout n∈N, zⁿ=zⁿ.

2. Déduire du point précédent (sans récurrence) que pour tout n∈Z, zⁿ=zⁿ. 3. Soitz ∈_C. Alors pour tout n∈_N, |zⁿ|=|z|ⁿ etarg(zⁿ) = narg(z).

4. Pour tout n ∈_Z, exp(n) = eⁿ, et plus généralement exp(nx) = (e^x)ⁿ. 5. Pour tout n ∈_N^∗, la dérivée de x7→xⁿ estx7→nxⁿ⁻¹.

Prouver par récurrence les propriétés du cours suivantes : 1. Soitz ∈C. Alors pour tout n∈N, zⁿ=zⁿ.

2. Déduire du point précédent (sans récurrence) que pour tout n∈_Z, zⁿ=zⁿ. 3. Soitz ∈_C. Alors pour tout n∈_N, |zⁿ|=|z|ⁿ etarg(zⁿ) = narg(z).

4. Pour tout n ∈_Z, exp(n) = eⁿ, et plus généralement exp(nx) = (e^x)ⁿ. 5. Pour tout n ∈N^∗, la dérivée de x7→xⁿ estx7→nxⁿ⁻¹.

Prouver par récurrence les propriétés du cours suivantes : 1. Soitz ∈C. Alors pour tout n∈N, zⁿ=zⁿ.

2. Déduire du point précédent (sans récurrence) que pour tout n∈_Z, zⁿ=zⁿ. 3. Soitz ∈_C. Alors pour tout n∈_N, |zⁿ|=|z|ⁿ etarg(zⁿ) = narg(z).

4. Pour tout n ∈_Z, exp(n) = eⁿ, et plus généralement exp(nx) = (e^x)ⁿ. 5. Pour tout n ∈N^∗, la dérivée de x7→xⁿ estx7→nxⁿ⁻¹.