Professor J. Duparc Logique mathématique 17 septembre, 2014
Solutions de la série n ◦ 1
Solution de l’exercice 1 :
Voici des bijections parmi d’autres qui établissent l’équipotence des ensembles proposés.1. N×N∼=N: On peut considérer la fonction f0:N×N−→N
(m,n)7−→n+
m+n
X
i=0
i=n+(m+n)(m+n+ 1) 2
dont l’inverse est donné par g0:N−→N×N
n7−→
µ(n)− n−µ(n)(µ(n) + 1) 2
, n−µ(n)(µ(n) + 1) 2
oùµ(n) = max{i≤n| i(i+1)2 ≤n}.
2. N∼=Z: La fonction
f1:Z−→N z7−→
(2z siz≥0
−2z+ 1 siz <0 a pour inverse la fonction
g1:N−→Z n7−→
(t sin= 2t
−t sin= 2t+ 1.
3. N ∼= Q : Observons tout d’abord que N ∼= N+ = N\ {0}, car on peut prendre la fonctionn7→n+ 1. Ensuite, on a queZ×N+∼=Nen prenant la fonctionf3(z,n) =f0(f1(z),n−1)pour tout(z,n)∈Z×N+, notons son inverseh(n) = (h1(n),h2(n)). Observons aussi que la fonction deZ×N+ vers Q qui envoie (z,n) sur nz est une surjection, mais qu’elle n’est pas injective. On définit donc par induction la fonction deψ:N→Qpar
ψ(0) = 0
ψ(n+ 1) = h1(µ(n)) h2(µ(n))
oùµ(n) = min{k | hh12(k)(k) 6=ψ(i)pour touti ≤n}. Il reste à montrer que ψ est bien définie et surjective, ceci découle du fait que Qest infini. La fonctionψest injective par définition.
Solution de l’exercice 2 :
On montre à l’aide du théorème de Cantor- Schröder-Bernstein que les ensembles suivants sont équipotents àN:1
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1. {0,1}∗: On a d’une part une injection i:N−→ {0,1}∗
n7−→(0, . . . ,0)
| {z }
nfois
,
et d’autre part une injection
j:{0,1}∗−→N (s0,s1, . . . ,sn)7−→10n+1+
n
X
i=0
si·10n−i,
il s’ensuit du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein queNet{0,1}∗sont équipotents.
2. N∗ : Nous montrons queN∗ et {0,1}∗ sont équipotents, il s’ensuivra que N∗est équipotent àN. D’une part,{0,1}∗est inclus dansN∗. D’autre part, nous pouvons par exemple considérer l’injection
j:N∗−→ {0,1}∗ (n0,n1, . . . ,nk)7−→(0, . . . ,0
| {z }
n0fois
,1,0, . . . ,0
| {z }
n1fois
1, . . . ,1,0, . . . ,0
| {z }
nkfois
,1).
3. A∗, avecAun ensemble dénombrable non vide : Poura∈Anous pouvons d’une part considérer l’injectionn7→a, . . . ,a
| {z }
nfois
. D’autre part, commeAest dénombrable, il existe une injectioni:A→Net nous pouvons définir
j:A∗−→N∗
(a0, . . . ,ak)7−→(i(a0), . . . ,i(ak)).
Solution de l’exercice 3 :
1. Soit {Ai |i ∈ I} une famille dénombrable d’ensembles dénombrables. Il existe donc une injection j : I → N. De plus, pour tout i ∈ I notons Ji ={f : Ai →N| f est une fonction injective}. Par hypothèse, chaque Jiest non vide. Par l’axiome du choix dénombrable, il existe une fonction γ:I→S
i∈IJi telle que pour touti∈I,γi=γ(i)∈ Ji, i.e. γi :Ai →N est une fonction injective. Nous définissons alors la fonction suivante
ψ:[
i∈I
Ai−→N
a7−→f(j(ia),γia(a))
oùia=j−1(min{j(i)|a∈Ai})et oùf est une injection deN×NdansN (par exemplef(m,n) = 2m·3n). Il reste à argumenter (facile) que ψest injective.
2. PuisqueAest dénombrable et queN×N∼=N, on montre par récurrence que pour toutn∈N,Anest dénombrable. Il découle alors du point précédent queA∗=S
n∈NAn est dénombrable.
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Solution de l’exercice 4 :
PuisqueA est infini, il existe une injection j : N → A. Notons C = j(N) le sous-ensemble de A équipotent à N par le truchement de j. Puisque B est dénombrable par hypothèse et C est infini dénombrable, leur union est infinie dénombrable, i.e. équipotente àN. Il existe donc une bijection ϕ : C∪B → C. On définit alors simplement la bijection suivante :ψ:A∪B−→A x7−→
(ϕ(x) six∈C∪B x sinon.
Solution de l’exercice 5 :
1. Posons S = {X ⊆ E | X ⊆ G(X)} et montrons que M = S
X∈SX satisfait G(M) = M. Premièrement, pour toutX ∈ S, commeX ⊆M, nous avonsG(X)⊆G(M)carGest monotone. Par conséquent,
M = [
X∈S
X⊆ [
X∈S
G(X)⊆G(M).
Ainsi,M ⊆G(M). Deuxièmement,M ⊆G(M)impliqueG(M)⊆G(G(M)) et doncG(M)∈S. Il s’ensuit queG(M)⊆M. Nous avons donc obtenu queG(M) =M.
2. Considérons la fonction G:P(A)−→ P(A)définie par G(X) =A\g B\f(X)
pour toutX⊆A. Cette fonction est monotone pour l’inclusion. En effet, si pourX, Y ⊆Anous avonsX ⊆Y, alorsf(X)⊆f(Y)et doncB\f(Y)⊆ B\f(X). Il s’ensuit queg(B\f(Y))⊆g(B\f(X))et donc finalement
A\g(B\f(X))⊆A\g(B\f(Y)).
Le point précédent s’applique donc et nous assure l’existence d’unM ⊆A tel queA\g(B\f(M)) =M. En particulier, nous avons pour touta∈A que a /∈ M ssi a ∈ g(B \ f(M)). Il reste alors à vérifier (facile) que l’applicationψ:A−→B définie par
ψ(a) =
(f(a) sia∈M
g−1(a) sia∈g(B\f(M)) est bien définie et bijective.
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