Identification et inversion

Identification et inversion

Marc Bonnet

Propagation des Ondes: Etudes Math´ematiques et Simulation (POEMS) UMR 7231 CNRS-INRIA-ENSTA

Unit´e de Math´ematiques Appliqu´ees ENSTA Paris

mbonnet@ensta.fr

www.ensta.fr/∼mbonnet/index/enseignement.html

Master (MS)2SC, 2019–2020

Plan g´ en´ eral

Partie 1: G´en´eralit´es

S´eance 1: Probl`emes inverses, identification: notions, motivations, exemples Partie 2: Identification en m´ecanique des solides

S´eance 2: Identification: champs virtuels, erreur en relation de comportement S´eance 5: Mesures de champs, exemple de l’essai essai br´esilien(GP) S´eance 9: Identification sur mesures de champs, TP CORRELI(GP) Partie 3: Outils: alg`ebre lin´eaire, moindres carr´es, optimisation

S´eance 3: Moindres carr´es lin´eaires, notion de conditionnement S´eance 4: Principales m´ethodes d’optimisation: principes S´eance 10: Outils matlab (ODE, toolbox optimisation...) (GP) Partie 4: Probl`emes mal pos´es et leur r´egularisation

S´eances 6, 7: R´egularisation des probl`emes mal pos´es, exemples.

Partie 5: Approches bay´esiennes

S´eances 7, 8: m´ethodes bay´esiennes, assimilation, filtrage de Kalman.

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Plan g´ en´ eral

Partie 1: G´en´eralit´es

Partie 2: Identification en m´ecanique des solides

Partie 3: Outils: alg`ebre lin´eaire, moindres carr´es, optimisation Partie 4: Probl`emes mal pos´es et leur r´egularisation

Partie 5: Approches bay´esiennes

Partie I — G´ en´ eralit´ es

1. G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

2. Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Identification de sources ou de sollicitations

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles Probl`emes inverses en vibrations de structures Autres exemples

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 4 / 338

Notion d’inversion

• Am´eliorer la connaissance et la compr´ehension d’un syst`eme physique donn´e n´ecessite la collecte puis l’exploitation de donn´ees exp´erimentales.

• Souvent: information recherch´ee “cach´ee” dans le syst`eme physique Mesure: cons´equence d’une cause qui est la vraie grandeur d’int´erˆet.

Exemple

div (k∇u) =f dans Ω (´equation locale d’´equilibre)

k∇u·n=q^D sur∂Ω (flux impos´e)

Identifierf(x)ouk(x)`a partir de la mesure du champu|∂ΩouuΩ.

Notion d’inversion

• Am´eliorer la connaissance et la compr´ehension d’un syst`eme physique donn´e n´ecessite la collecte puis l’exploitation de donn´ees exp´erimentales.

• Souvent: information recherch´ee “cach´ee” dans le syst`eme physique Mesure: cons´equence d’une cause qui est la vraie grandeur d’int´erˆet.

Exemple

k(x) =?

uobs

uobs

Ω

div (k∇u) =f dans Ω (´equation locale d’´equilibre)

k∇u·n=q^D sur∂Ω (flux impos´e)

Identifierf(x)ouk(x)`a partir de la mesure du champu|∂ΩouuΩ.

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Exemple: tomographie ´ electrostatique

datau

Reconstruire l’activit´e ´electrique c´er´ebrale (sources). Mesures = potentiels (´electrodes)

Notion d’inversion

• Analyse des donn´ees exp´erimentales: repose sur formulation math´ematique de la physique sous-jacente:

G(p,d) =0

(p: grandeurs cach´ees (`a identifier) d: grandeurs mesurables

Exemple

div (k∇u) = 0 dans Ω (´equation locale d’´equilibre) k∇u·n=q^Dsur∂Ω (flux impos´e)

p←k(·) d ←u(·)

• Complexit´e des mod`eles permettant une description physique raisonnable

→ R´esolution analytique le plus souvent non envisageable;

→ Recours aux m´ethodes num´eriques;

→ Calcul scientifique: progr`es fulgurants conceptuels et mat´eriels

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Notion d’inversion

• Analyse des donn´ees exp´erimentales: repose sur formulation math´ematique de la physique sous-jacente:

G(p,d) =0

(p: grandeurs cach´ees (`a identifier) d: grandeurs mesurables

Exemple

div (k∇u) = 0 dans Ω (´equation locale d’´equilibre) k∇u·n=q^Dsur∂Ω (flux impos´e)

p←k(·) d ←u(·)

• Complexit´e des mod`eles permettant une description physique raisonnable

→ R´esolution analytique le plus souvent non envisageable;

→ Recours aux m´ethodes num´eriques;

→ Calcul scientifique: progr`es fulgurants conceptuels et mat´eriels

Notion d’inversion

• Analyse des donn´ees exp´erimentales: repose sur formulation math´ematique de la physique sous-jacente:

G(p,d) =0

(p: grandeurs cach´ees (`a identifier) d: grandeurs mesurables

Exemple

div (k∇u) = 0 dans Ω (´equation locale d’´equilibre) k∇u·n=q^Dsur∂Ω (flux impos´e)

p←k(·) d ←u(·)

• Complexit´e des mod`eles permettant une description physique raisonnable

→ R´esolution analytique le plus souvent non envisageable;

→ Recours aux m´ethodes num´eriques;

→ Calcul scientifique: progr`es fulgurants conceptuels et mat´eriels

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 7 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

1. G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

2. Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Identification de sources ou de sollicitations

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles Probl`emes inverses en vibrations de structures Autres exemples

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Qu’et-ce qu’un probl` eme inverse?

Mesure indirecte: quantifier une grandeurp exp´erimentalement inaccessible`a l’aide de mesures d’une grandeurd accessible.

(i) Le mod`ele physique adopt´e donned connaissantp:

(´equations diff´erentielles, aux d´eriv´ees partielles, variationnelles, int´egrales...) G(p,d) = 0 implicite

d=G(p) explicite exemple:

Z

Ω

k∇u·∇wdV− Z

∂Ω

q^DwdS= 0 ∀w

⇒n´ecessit´e d’inverserle mod`ele physique.

(ii) L’inversion estun probl`eme math´ematique mal pos´e.

• Probl`eme math´ematique bien pos´e (d´efinition, Hadamard): probl`eme dont la solution (a) existe, (b) est unique, (c) d´epend continˆument de la donn´ee.

• Probl`eme math´ematique mal pos´e: une au moins des conditions (a), (b) (c) est viol´ee.

Probl`eme inverse:Exploitationquantitativeet interpr´etation de donn´ees exp´erimentales pour des situations demod´elisation complexe. Demande la r´esolution d’unprobl`eme mal pos´e.

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G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Qu’et-ce qu’un probl` eme inverse?

Mesure indirecte: quantifier une grandeurp exp´erimentalement inaccessible`a l’aide de mesures d’une grandeurd accessible.

(i) Le mod`ele physique adopt´e donned connaissantp:

(´equations diff´erentielles, aux d´eriv´ees partielles, variationnelles, int´egrales...) G(p,d) = 0 implicite

d=G(p) explicite exemple:

Z

Ω

k∇u·∇wdV− Z

∂Ω

q^DwdS= 0 ∀w

⇒n´ecessit´e d’inverserle mod`ele physique.

(ii) L’inversion estun probl`eme math´ematique mal pos´e.

• Probl`eme math´ematique bien pos´e (d´efinition, Hadamard): probl`eme dont la solution (a) existe, (b) est unique, (c) d´epend continˆument de la donn´ee.

• Probl`eme math´ematique mal pos´e: une au moins des conditions (a), (b) (c) est viol´ee.

Probl`eme inverse:Exploitationquantitativeet interpr´etation de donn´ees exp´erimentales pour des situations demod´elisation complexe. Demande la r´esolution d’unprobl`eme mal pos´e.

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inventaire (non exhaustif)

Reconstructiondes caract´eristiques physiques du sous-sol

• donn´ees sismiques,

• donn´ees gravim´etriques. . . Connaissance scientifique Prospection, inspection

Contrˆole non destructif

• surveillance (ouvrages, installations industrielles)

• identification (d´efauts, fissures,. . . ) Donn´ees (mesures externes):

• ultrasons

• courants de Foucault

• thermographie

Tomographie, imagerie m´edicale Reconstructionde temp´eratures, flux thermiques,. . .

identification

• param`etres de comportement m´ecanique

• distributions de conductivit´es

• recalage de mod´elisations

D´econvolution

• reconstruction d’images brouill´ees,

• interpr´etation de mesures en dynamique . . . et bien d’autres !

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G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inventaire (non exhaustif)

Reconstructiondes caract´eristiques physiques du sous-sol

• donn´ees sismiques,

• donn´ees gravim´etriques. . . Connaissance scientifique Prospection, inspection Contrˆole non destructif

• surveillance (ouvrages, installations industrielles)

• identification (d´efauts, fissures,. . . ) Donn´ees (mesures externes):

• ultrasons

• courants de Foucault

• thermographie

Tomographie, imagerie m´edicale Reconstructionde temp´eratures, flux thermiques,. . .

identification

• param`etres de comportement m´ecanique

• distributions de conductivit´es

• recalage de mod´elisations

D´econvolution

• reconstruction d’images brouill´ees,

• interpr´etation de mesures en dynamique . . . et bien d’autres !

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inventaire (non exhaustif)

Reconstructiondes caract´eristiques physiques du sous-sol

• donn´ees sismiques,

• donn´ees gravim´etriques. . . Connaissance scientifique Prospection, inspection Contrˆole non destructif

• surveillance (ouvrages, installations industrielles)

• identification (d´efauts, fissures,. . . ) Donn´ees (mesures externes):

• ultrasons

• courants de Foucault

• thermographie

Tomographie, imagerie m´edicale

Reconstructionde temp´eratures, flux thermiques,. . .

identification

• param`etres de comportement m´ecanique

• distributions de conductivit´es

• recalage de mod´elisations

D´econvolution

• reconstruction d’images brouill´ees,

• interpr´etation de mesures en dynamique . . . et bien d’autres !

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G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inventaire (non exhaustif)

Reconstructiondes caract´eristiques physiques du sous-sol

• donn´ees sismiques,

• donn´ees gravim´etriques. . . Connaissance scientifique Prospection, inspection Contrˆole non destructif

• surveillance (ouvrages, installations industrielles)

• identification (d´efauts, fissures,. . . ) Donn´ees (mesures externes):

• ultrasons

• courants de Foucault

• thermographie

Tomographie, imagerie m´edicale Reconstructionde temp´eratures, flux thermiques,. . .

identification

• param`etres de comportement m´ecanique

• distributions de conductivit´es

• recalage de mod´elisations

D´econvolution

• reconstruction d’images brouill´ees,

• interpr´etation de mesures en dynamique . . . et bien d’autres !

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inventaire (non exhaustif)

Reconstructiondes caract´eristiques physiques du sous-sol

• donn´ees sismiques,

• donn´ees gravim´etriques. . . Connaissance scientifique Prospection, inspection Contrˆole non destructif

• surveillance (ouvrages, installations industrielles)

• identification (d´efauts, fissures,. . . ) Donn´ees (mesures externes):

• ultrasons

• courants de Foucault

• thermographie

Tomographie, imagerie m´edicale Reconstructionde temp´eratures, flux thermiques,. . .

identification

• param`etres de comportement m´ecanique

• distributions de conductivit´es

• recalage de mod´elisations

D´econvolution

• reconstruction d’images brouill´ees,

• interpr´etation de mesures en dynamique . . . et bien d’autres !

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 10 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inventaire (non exhaustif)

Reconstructiondes caract´eristiques physiques du sous-sol

• donn´ees sismiques,

• donn´ees gravim´etriques. . . Connaissance scientifique Prospection, inspection Contrˆole non destructif

• surveillance (ouvrages, installations industrielles)

• identification (d´efauts, fissures,. . . ) Donn´ees (mesures externes):

• ultrasons

• courants de Foucault

• thermographie

Tomographie, imagerie m´edicale Reconstructionde temp´eratures, flux thermiques,. . .

identification

• param`etres de comportement m´ecanique

• distributions de conductivit´es

• recalage de mod´elisations

D´econvolution

• reconstruction d’images brouill´ees,

• interpr´etation de mesures en dynamique . . . et bien d’autres !

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme direct(m´ecanique, thermique, acoustique, ´electromagn´etique...):

• Calcul de lar´eponsed (d´eplacement, contrainte, temp´erature,. . . )

`

a dessollicitationsX (forces, conditions aux limites, sources. . . )

X Syst`eme

d Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) (p)

• Le syst`eme (ex.: structure m´ecanique) d´epend de param`etresp:

→ g´eom´etrie (r´egion de l’espace occup´ee), caract´eristiques des mat´eriaux constitutifs, liaisons cin´ematiques. . .

• Equations de la physique: r´eponsed fonction implicite deX,p:

Trouverd =d(p;X) tel que G(p,d;X) =0 (X∈ X,p∈ P donn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme direct estbien pos´e(au sens d’Hadamard):

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Mod`ele physique parfoisexplicited=G(p;X)(gravim´etrie, certains pbs lin´earis´es)

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G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme direct(m´ecanique, thermique, acoustique, ´electromagn´etique...):

• Calcul de lar´eponsed (d´eplacement, contrainte, temp´erature,. . . )

`

a dessollicitationsX (forces, conditions aux limites, sources. . . )

X Syst`eme

d Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) (p)

• Le syst`eme (ex.: structure m´ecanique) d´epend de param`etresp:

→ g´eom´etrie (r´egion de l’espace occup´ee), caract´eristiques des mat´eriaux constitutifs, liaisons cin´ematiques. . .

• Equations de la physique: r´eponsed fonction implicite deX,p:

Trouverd =d(p;X) tel que G(p,d;X) =0 (X∈ X,p∈ P donn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme direct estbien pos´e(au sens d’Hadamard):

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Mod`ele physique parfoisexplicited=G(p;X)(gravim´etrie, certains pbs lin´earis´es)

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme direct(m´ecanique, thermique, acoustique, ´electromagn´etique...):

• Calcul de lar´eponsed (d´eplacement, contrainte, temp´erature,. . . )

`

a dessollicitationsX (forces, conditions aux limites, sources. . . )

X Syst`eme

d Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) (p)

• Le syst`eme (ex.: structure m´ecanique) d´epend de param`etresp:

→ g´eom´etrie (r´egion de l’espace occup´ee), caract´eristiques des mat´eriaux constitutifs, liaisons cin´ematiques. . .

• Equations de la physique: r´eponsed fonction implicite deX,p:

Trouverd =d(p;X) tel que G(p,d;X) =0 (X∈ X,p∈ P donn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme direct estbien pos´e(au sens d’Hadamard):

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Mod`ele physique parfoisexplicited=G(p;X)(gravim´etrie, certains pbs lin´earis´es)

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G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme direct(m´ecanique, thermique, acoustique, ´electromagn´etique...):

• Calcul de lar´eponsed (d´eplacement, contrainte, temp´erature,. . . )

`

a dessollicitationsX (forces, conditions aux limites, sources. . . )

X Syst`eme

d Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) (p)

• Le syst`eme (ex.: structure m´ecanique) d´epend de param`etresp:

→ g´eom´etrie (r´egion de l’espace occup´ee), caract´eristiques des mat´eriaux constitutifs, liaisons cin´ematiques. . .

• Equations de la physique: r´eponsed fonction implicite deX,p:

Trouverd =d(p;X) tel que G(p,d;X) =0 (X∈ X,p∈ P donn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme direct estbien pos´e(au sens d’Hadamard):

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Mod`ele physique parfoisexplicited=G(p;X)(gravim´etrie, certains pbs lin´earis´es)

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme direct(m´ecanique, thermique, acoustique, ´electromagn´etique...):

• Calcul de lar´eponsed (d´eplacement, contrainte, temp´erature,. . . )

`

a dessollicitationsX (forces, conditions aux limites, sources. . . )

X Syst`eme

d Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) (p)

• Le syst`eme (ex.: structure m´ecanique) d´epend de param`etresp:

→ g´eom´etrie (r´egion de l’espace occup´ee), caract´eristiques des mat´eriaux constitutifs, liaisons cin´ematiques. . .

• Equations de la physique: r´eponsed fonction implicite deX,p:

Trouverd =d(p;X) tel que G(p,d;X) =0 (X∈ X,p∈ P donn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme direct estbien pos´e(au sens d’Hadamard):

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Mod`ele physique parfoisexplicited=G(p;X)(gravim´etrie, certains pbs lin´earis´es)

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 11 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme inverseIgnorance au moins partielle du syst`eme.

• informations manquantes concernant

→ la g´eom´etrie, les mat´eriaux, les conditions initiales...

• Probl`eme inverse: reconstruire au mieux l’information manquante

→ disposer d’informations (´eventuellement partielles)d^obssur la sortied

X ? Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) Syst`eme d

(p)

Trouverp∈ P tel que G(p,d^obs;X) =0 (X∈ X,d∈ Ddonn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme inverse estmal pos´e(au sens d’Hadamard), au moins une des conditions suivantes n’´etant pas v´erifi´ee:

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Variante: identification de sources

TrouverX∈ X tel que G(p,d^obs;X) =0 (p∈ P,d∈ Ddonn´es)

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme inverseIgnorance au moins partielle du syst`eme.

• informations manquantes concernant

→ la g´eom´etrie, les mat´eriaux, les conditions initiales...

• Probl`eme inverse: reconstruire au mieux l’information manquante

→ disposer d’informations (´eventuellement partielles)d^obssur la sortied

X ? Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) Syst`eme d

(p)

Trouverp∈ P tel que G(p,d^obs;X) =0 (X∈ X,d∈ Ddonn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme inverse estmal pos´e(au sens d’Hadamard), au moins une des conditions suivantes n’´etant pas v´erifi´ee:

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Variante: identification de sources

TrouverX∈ X tel que G(p,d^obs;X) =0 (p∈ P,d∈ Ddonn´es)

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G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme inverseIgnorance au moins partielle du syst`eme.

• informations manquantes concernant

→ la g´eom´etrie, les mat´eriaux, les conditions initiales...

• Probl`eme inverse: reconstruire au mieux l’information manquante

→ disposer d’informations (´eventuellement partielles)d^obssur la sortied

X ? Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) Syst`eme d

(p)

Trouverp∈ P tel que G(p,d^obs;X) =0 (X∈ X,d∈ Ddonn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme inverse estmal pos´e(au sens d’Hadamard), au moins une des conditions suivantes n’´etant pas v´erifi´ee:

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Variante: identification de sources

TrouverX∈ X tel que G(p,d^obs;X) =0 (p∈ P,d∈ Ddonn´es)

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes directs, probl` emes inverses

Probl`eme inverseIgnorance au moins partielle du syst`eme.

• informations manquantes concernant

→ la g´eom´etrie, les mat´eriaux, les conditions initiales...

• Probl`eme inverse: reconstruire au mieux l’information manquante

→ disposer d’informations (´eventuellement partielles)d^obssur la sortied

X ? Entr´ee

(sollicitation) Sortie

(r´eponse) Syst`eme d

(p)

Trouverp∈ P tel que G(p,d^obs;X) =0 (X∈ X,d∈ Ddonn´es)

• En g´en´eral, le probl`eme inverse estmal pos´e(au sens d’Hadamard), au moins une des conditions suivantes n’´etant pas v´erifi´ee:

→ Existence d’une solution

→ Unicit´e de la solution

→ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux erreurs (donn´ees, discr´etisation. . . )

• Variante: identification de sources

TrouverX∈ X tel que G(p,d^obs;X) =0 (p∈ P,d∈ Ddonn´es)

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 12 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Probl` emes mal pos´ es (1932)

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Exemple de probl` eme mal pos´ e: barre ` a raideur variable

l F

ES(x)

Z` 0

ES(x)u⁰(x)w⁰(x)dx−Fw(`) = 0 (∀w,w(0) = 0)

• Probl`eme directlin´eaire, bien pos´e: ES(x)donn´e,u(x)inconnu;

• Probl`eme inverselin´eaire, mal pos´e: ES(x)inconnu,u(x)donn´e;

{F}= [G]{ES}, ( Gi,i =ui−ui−1

Gi,i+1=ui−ui+1

0 20 40 60 80 100 120

numero element

0 0.5 1 1.5

E / E ref

sigma = 0 sigma = 0.001

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 14 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Exemple de probl` eme mal pos´ e: barre ` a raideur variable

l F

ES(x)

Z` 0

ES(x)u⁰(x)w⁰(x)dx−Fw(`) = 0 (∀w,w(0) = 0)

• Probl`eme directlin´eaire, bien pos´e: ES(x)donn´e,u(x)inconnu;

• Probl`eme inverselin´eaire, mal pos´e: ES(x)inconnu,u(x)donn´e;

{F}= [G]{ES}, ( Gi,i =ui−ui−1

Gi,i+1=ui−ui+1

0 20 40 60 80 100 120

numero element

0 0.5 1 1.5

E / E ref

sigma = 0 sigma = 0.001

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Exemple de probl` eme mal pos´ e: barre ` a raideur variable

l F

ES(x)

Z` 0

ES(x)u⁰(x)w⁰(x)dx−Fw(`) = 0 (∀w,w(0) = 0)

• Probl`eme directlin´eaire, bien pos´e: ES(x)donn´e,u(x)inconnu;

• Probl`eme inverselin´eaire, mal pos´e: ES(x)inconnu,u(x)donn´e;

{F}= [G]{ES}, ( Gi,i =ui−ui−1

Gi,i+1=ui−ui+1

0 20 40 60 80 100 120

numero element

0 0.5 1 1.5

E / E ref

sigma = 0 sigma = 0.001

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 14 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Exemple de probl` eme mal pos´ e: reconstruction d’un champ de conductivit´ e (simulation)

(a) conductivit´e `a identifier; (b) reconstruction sans bruit, (c) reconstruction3%bruit (11 it´erations), (d) reconstruction3%bruit (50 it´erations).

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

R´ esolution des probl` emes inverses: consid´ erations g´ en´ erales

Deux sortes de situations:

(a) Probl`emes bien pos´es

• Existence et unicit´e deppourd donn´e

• Continuit´e deppour des petites perturbations ded:|δp| ≤C|δd| Comprend les probl`emes “classiques” de la M´ecanique

(b) Probl`emes mal pos´es: au moins une des conditions ci-dessus est viol´ee

Causes d’incertitude nombreuses:

• Origine exp´erimentale des donn´ees=⇒existence d’erreurs de mesure ;

• Donn´ees r´eelles en nombre fini, mais repr´esentation math´ematique par des fonctions ;

• Alt´eration des donn´ees par la m´ethode d’inversion: interpolation, discr´etisation, repr´esentation informatique des nombres ;

• Incertitudes dans le choix du mod`ele physique. Sensibilit´e des P.I. aux incertitudes

• Changement d’optique vis-`a-vis du concept de solution: toutpreproduisant la mesured “`aεpr`es” esta prioriacceptable.

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 16 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

R´ esolution des probl` emes inverses: consid´ erations g´ en´ erales

Deux sortes de situations:

(a) Probl`emes bien pos´es

• Existence et unicit´e deppourd donn´e

• Continuit´e deppour des petites perturbations ded:|δp| ≤C|δd| Comprend les probl`emes “classiques” de la M´ecanique

(b) Probl`emes mal pos´es: au moins une des conditions ci-dessus est viol´ee Causes d’incertitude nombreuses:

• Origine exp´erimentale des donn´ees=⇒existence d’erreurs de mesure ;

• Donn´ees r´eelles en nombre fini, mais repr´esentation math´ematique par des fonctions ;

• Alt´eration des donn´ees par la m´ethode d’inversion: interpolation, discr´etisation, repr´esentation informatique des nombres ;

• Incertitudes dans le choix du mod`ele physique.

Sensibilit´e des P.I. aux incertitudes

• Changement d’optique vis-`a-vis du concept de solution: toutpreproduisant la mesured “`aεpr`es” esta prioriacceptable.

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

R´ esolution des probl` emes inverses: consid´ erations g´ en´ erales

Deux sortes de situations:

(a) Probl`emes bien pos´es

• Existence et unicit´e deppourd donn´e

• Continuit´e deppour des petites perturbations ded:|δp| ≤C|δd| Comprend les probl`emes “classiques” de la M´ecanique

(b) Probl`emes mal pos´es: au moins une des conditions ci-dessus est viol´ee Causes d’incertitude nombreuses:

• Origine exp´erimentale des donn´ees=⇒existence d’erreurs de mesure ;

• Donn´ees r´eelles en nombre fini, mais repr´esentation math´ematique par des fonctions ;

• Alt´eration des donn´ees par la m´ethode d’inversion: interpolation, discr´etisation, repr´esentation informatique des nombres ;

• Incertitudes dans le choix du mod`ele physique.

Sensibilit´e des P.I. aux incertitudes

• Changement d’optique vis-`a-vis du concept de solution: toutpreproduisant la mesure d “`aεpr`es” esta prioriacceptable.

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 16 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

R´ esolution des probl` emes inverses: consid´ erations g´ en´ erales

Incorporation d’informations a priori compl´ementaires:

• bornes ou encadrements

• hypoth`eses de r´egularit´e

• repr´esentation des inconnues

• incertitudes exp´erimentales, de mod´elisation. . .

Th´eorie(s) de l’inversion: (re)formulations math´ematiques et techniques algorithmiques adapt´ees au caract`ere mal pos´e

• Champ de recherches actif et multidisciplinaire

• Recours au calcul num´erique intensif

• Champs d’application croissant avec le d´eveloppement du calcul num´erique

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

R´ esolution des probl` emes inverses: consid´ erations g´ en´ erales

Incorporation d’informations a priori compl´ementaires:

• bornes ou encadrements

• hypoth`eses de r´egularit´e

• repr´esentation des inconnues

• incertitudes exp´erimentales, de mod´elisation. . .

Th´eorie(s) de l’inversion: (re)formulations math´ematiques et techniques algorithmiques adapt´ees au caract`ere mal pos´e

• Champ de recherches actif et multidisciplinaire

• Recours au calcul num´erique intensif

• Champs d’application croissant avec le d´eveloppement du calcul num´erique

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 17 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

(Non-)solvabilit´ e exacte

Trouverp∈ P tel que G(p,d^obs;X) =0 (X∈ X,d^obs∈ Ddonn´es)

• Existence et unicit´e des solutions non garanties.

• En g´en´eral,

Dim(D)6= Dim(P)

(dimensions finies en pratique apr`es discr´etisation), et on cherche `a disposer de donn´eessurd´etermin´ees:

Dim(D)>Dim(P) voire, si possible

Dim(D)Dim(P)

• Solvabilit´e exacte de l’´equation surd´etermin´ee g´en´eralement impossible:

→ Descriptionapproch´eede la r´ealit´e par le mod`ele physiqueG(p,d;X) =0

→ Incertitudes sur les valeurs observ´eesd^obsded

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

(Non-)solvabilit´ e exacte

Trouverp∈ P tel que G(p,d^obs;X) =0 (X∈ X,d^obs∈ Ddonn´es)

• Existence et unicit´e des solutions non garanties.

• En g´en´eral,

Dim(D)6= Dim(P)

(dimensions finies en pratique apr`es discr´etisation), et on cherche `a disposer de donn´eessurd´etermin´ees:

Dim(D)>Dim(P) voire, si possible

Dim(D)Dim(P)

• Solvabilit´e exacte de l’´equation surd´etermin´ee g´en´eralement impossible:

→ Descriptionapproch´eede la r´ealit´e par le mod`ele physiqueG(p,d;X) =0

→ Incertitudes sur les valeurs observ´eesd^obsded

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 18 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

(Non-)solvabilit´ e exacte

Trouverp∈ P tel que G(p,d^obs;X) =0 (X∈ X,d^obs∈ Ddonn´es)

• Existence et unicit´e des solutions non garanties.

• En g´en´eral,

Dim(D)6= Dim(P)

(dimensions finies en pratique apr`es discr´etisation), et on cherche `a disposer de donn´eessurd´etermin´ees:

Dim(D)>Dim(P) voire, si possible

Dim(D)Dim(P)

• Solvabilit´e exacte de l’´equation surd´etermin´ee g´en´eralement impossible:

→ Descriptionapproch´eede la r´ealit´e par le mod`ele physiqueG(p,d;X) =0

→ Incertitudes sur les valeurs observ´eesd^obsded

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Reformulation comme probl` emes d’optimisation

Cons´equence: reformulation fr´equente de l’inversion comme uneminimisation:

p^?= arg min

p∈P

J(p), J(p) =kd(p;X)−d^obsk

• p7→d(p;X): probl`eme direct

• Beaucoup de choix possibles pourk · k(normeL²tr`es utilis´ee car diff´erentiable)

• La fonction-coˆutJ(p)n’a pasa prioride propri´et´es garantissant l’unicit´e ou le caract`ere global dep^?.

• Caract`ereimplicitede la d´ependance deJ enp:

J(p) =J(d,p) avecG(p,d;X) =0

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 19 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Reformulation comme probl` emes d’optimisation

Cons´equence: reformulation fr´equente de l’inversion comme uneminimisation:

p^?= arg min

p∈P

J(p), J(p) =kd(p;X)−d^obsk

• p7→d(p;X): probl`eme direct

• Beaucoup de choix possibles pourk · k(normeL²tr`es utilis´ee car diff´erentiable)

• La fonction-coˆutJ(p)n’a pasa prioride propri´et´es garantissant l’unicit´e ou le caract`ere global dep^?.

• Caract`ereimplicitede la d´ependance deJ enp:

J(p) =J(d,p) avecG(p,d;X) =0

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inversion ou identification

Probl`eme inverse:recherche d’une grandeur d´ecrite par unefonction

→ Exemples: (a) champs (modules, forces, sources d´ependant du temps...); (b) forme ou topologie du domaine; (c) comportement d´ependant de la solution...

Discr´etisation→grand nombre d’inconnues;

Forte sensibilit´e aux incertitudes, r´egularisation n´ecessaire.

Probl`eme d’identification: recherche d’une grandeur d´ecrite par unensemble fini de param`etres

→ Exemples: (a) mod`eles de comportement et autres jeux de param`etres physiques; (b) discr´etisations parcimonieuses...

Nombrea priorirestreint d’inconnues;

Moindre sensibilit´e aux incertitudes, r´egularisation parfois facultative.

• Les deux types de probl`emes conduisent souvent `a la minimisation d’une fonction-coˆut.

• Dans certains cas, une param´etrisation parcimonieuse d’un probl`eme inverse constitue en soi uner´egularisation.

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 20 / 338

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inversion ou identification

Probl`eme inverse:recherche d’une grandeur d´ecrite par unefonction

→ Exemples: (a) champs (modules, forces, sources d´ependant du temps...); (b) forme ou topologie du domaine; (c) comportement d´ependant de la solution...

Discr´etisation→grand nombre d’inconnues;

Forte sensibilit´e aux incertitudes, r´egularisation n´ecessaire.

Probl`eme d’identification: recherche d’une grandeur d´ecrite par unensemble fini de param`etres

→ Exemples: (a) mod`eles de comportement et autres jeux de param`etres physiques;

(b) discr´etisations parcimonieuses...

Nombrea priorirestreint d’inconnues;

Moindre sensibilit´e aux incertitudes, r´egularisation parfois facultative.

• Les deux types de probl`emes conduisent souvent `a la minimisation d’une fonction-coˆut.

• Dans certains cas, une param´etrisation parcimonieuse d’un probl`eme inverse constitue en soi uner´egularisation.

G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

Inversion ou identification

Probl`eme inverse:recherche d’une grandeur d´ecrite par unefonction

→ Exemples: (a) champs (modules, forces, sources d´ependant du temps...); (b) forme ou topologie du domaine; (c) comportement d´ependant de la solution...

Discr´etisation→grand nombre d’inconnues;

Forte sensibilit´e aux incertitudes, r´egularisation n´ecessaire.

Probl`eme d’identification: recherche d’une grandeur d´ecrite par unensemble fini de param`etres

→ Exemples: (a) mod`eles de comportement et autres jeux de param`etres physiques;

(b) discr´etisations parcimonieuses...

Nombrea priorirestreint d’inconnues;

Moindre sensibilit´e aux incertitudes, r´egularisation parfois facultative.

• Les deux types de probl`emes conduisent souvent `a la minimisation d’une fonction-coˆut.

• Dans certains cas, une param´etrisation parcimonieuse d’un probl`eme inverse constitue en soi uner´egularisation.

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 20 / 338

Exemples de probl`emes inverses

1. G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es

2. Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Identification de sources ou de sollicitations

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles Probl`emes inverses en vibrations de structures Autres exemples

Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

1. G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es 2. Exemples de probl`emes inverses

Gravim´etrie

Identification de sources ou de sollicitations

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles Probl`emes inverses en vibrations de structures Autres exemples

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 22 / 338

Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Gravim´ etrie

Mod`ele physique (acc´el´eration de la pesanteur dans la directione):

g(x) =Ge·n

∇x

Z

V

1

kx−ykρ(y) dVo

=:G(ρ)(x)

(G≈6.67408 10⁻¹¹m³kg⁻¹s⁻²:

constante universelle de la gravitation)

(V) ρ( )

x_

y_

1 3

Ce mod`ele physique est explicite.

• Structure: ´equation int´egrale de Fredholm de premi`ere esp`ece (cf. plus loin).

• Probl`eme: G⁻¹ non continu

=⇒non-continuit´e deρ(·)par rapport `a la donn´eeg(·).

Probl`eme inverse:D´eterminer la fonctionρ(·)`a partir de mesuresg(x), x∈ M.

Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Gravim´ etrie

Source:http://www.csr.utexas.edu/grace/

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 24 / 338

Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Gravim´ etrie

Multiplicit´e des solutions: Soitf(y)d´efinie surV et telle que:

(∀y∈∂V) f(y) = ∂

∂nf(y) = 0 Compte tenu de

∆y(1/kx−yk) = 0 (∀y ∈V) la troisi`eme formule de Green donne:

Z

V

1

|x−y|∆f dV

= Z

∂V

1

|x−y|

∂f

∂n−f ∂

∂n 1

|x−y|

dS

= 0

Distributionsρetρ+ ∆f indiscernables du point de vue du champg cr´e´e `a l’ext´erieur deV.

• Sous-d´etermination essentielle

• N´ecessit´e d’informations suppl´ementaires ind´ependantes. exemple d’ind´etermination:

M ρ( )r

x y

_ _ r

x _ V

R R

masse concentr´ee: M= 4π

Z R 0

ρ(r)dr

Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Gravim´ etrie

Multiplicit´e des solutions: Soitf(y)d´efinie surV et telle que:

(∀y∈∂V) f(y) = ∂

∂nf(y) = 0 Compte tenu de

∆y(1/kx−yk) = 0 (∀y ∈V) la troisi`eme formule de Green donne:

Z

V

1

|x−y|∆f dV

= Z

∂V

1

|x−y|

∂f

∂n−f ∂

∂n 1

|x−y|

dS

= 0

Distributionsρetρ+ ∆f indiscernables du point de vue du champg cr´e´e `a l’ext´erieur deV.

• Sous-d´etermination essentielle

• N´ecessit´e d’informations suppl´ementaires ind´ependantes.

exemple d’ind´etermination:

M ρ( )r

x y

_ _ r

x _ V

R R

masse concentr´ee: M= 4π

Z R 0

ρ(r)dr

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 25 / 338

Exemples de probl`emes inverses Gravim´etrie

Gravim´ etrie

Multiplicit´e des solutions: Soitf(y)d´efinie surV et telle que:

(∀y∈∂V) f(y) = ∂

∂nf(y) = 0 Compte tenu de

∆y(1/kx−yk) = 0 (∀y ∈V) la troisi`eme formule de Green donne:

Z

V

1

|x−y|∆f dV

= Z

∂V

1

|x−y|

∂f

∂n−f ∂

∂n 1

|x−y|

dS

= 0

Distributionsρetρ+ ∆f indiscernables du point de vue du champg cr´e´e `a l’ext´erieur deV.

• Sous-d´etermination essentielle

• N´ecessit´e d’informations suppl´ementaires ind´ependantes.

exemple d’ind´etermination:

M ρ( )r

x y

_ _ r

x _ V

R R

masse concentr´ee:

M= 4π Z R

0

ρ(r)dr

Exemples de probl`emes inverses Identification de sources ou de sollicitations

1. G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es 2. Exemples de probl`emes inverses

Gravim´etrie

Identification de sources ou de sollicitations

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles Probl`emes inverses en vibrations de structures Autres exemples

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 26 / 338

Exemples de probl`emes inverses Identification de sources ou de sollicitations

Identification de sources ou de sollicitations

Exemple: reconstruction d’une charge ponctuelle appliqu´ee `a une poutre ´elastique.

x=0 x=L F

x=aL

δ δ’

Probl`eme direct:

• F,aL(entr´ee) etL,EI (syst`eme) donn´es

• δ(x)(sortie) inconnu

Probl`eme inverse:

• δ(L), δ⁰(L)(sortie) etL,EI (syst`eme) donn´es

• F,aL(entr´ee) inconnus

Solution analytique (donn´ees exactes): aL= 3(L− δ

δ⁰) F= 2EIδ⁰(aL)⁻² Perturbation relative surδetδ⁰:

δ_mesure⁰ =δ_exact⁰ (1 +ε) (δ/δ⁰)mesure = (δ/δ⁰)exact(1 +ε⁰) Erreur de reconstruction surF:

e:=Fmesure

Fexact

−1 = ε−ε^03−a_a 1 +ε^03−a_a L’amplification de l’erreur exp´erimentale augmente quandadiminue.

a 0.25 0.10 0.05

e 0.12 0.24 0.38 (ε=ε⁰= 0.01)

Exemples de probl`emes inverses Identification de sources ou de sollicitations

Identification de sources ou de sollicitations

Exemple: reconstruction d’une charge ponctuelle appliqu´ee `a une poutre ´elastique.

x=0 x=L F

x=aL

δ δ’

Probl`eme direct:

• F,aL(entr´ee) etL,EI (syst`eme) donn´es

• δ(x)(sortie) inconnu Probl`eme inverse:

• δ(L), δ⁰(L)(sortie) et L,EI (syst`eme) donn´es

• F,aL(entr´ee) inconnus

Solution analytique (donn´ees exactes): aL= 3(L− δ

δ⁰) F= 2EIδ⁰(aL)⁻² Perturbation relative surδetδ⁰:

δ_mesure⁰ =δ_exact⁰ (1 +ε) (δ/δ⁰)mesure = (δ/δ⁰)exact(1 +ε⁰) Erreur de reconstruction surF:

e:=Fmesure

Fexact

−1 = ε−ε^03−a_a 1 +ε^03−a_a L’amplification de l’erreur exp´erimentale augmente quandadiminue.

a 0.25 0.10 0.05

e 0.12 0.24 0.38 (ε=ε⁰= 0.01)

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Exemples de probl`emes inverses Identification de sources ou de sollicitations

Identification de sources ou de sollicitations

Exemple: reconstruction d’une charge ponctuelle appliqu´ee `a une poutre ´elastique.

x=0 x=L F

x=aL

δ δ’

Probl`eme direct:

• F,aL(entr´ee) etL,EI (syst`eme) donn´es

• δ(x)(sortie) inconnu Probl`eme inverse:

• δ(L), δ⁰(L)(sortie) et L,EI (syst`eme) donn´es

• F,aL(entr´ee) inconnus

Solution analytique (donn´ees exactes):

aL= 3(L− δ

δ⁰) F= 2EIδ⁰(aL)⁻² Perturbation relative surδetδ⁰:

δ_mesure⁰ =δ_exact⁰ (1 +ε) (δ/δ⁰)mesure= (δ/δ⁰)exact(1 +ε⁰)

Erreur de reconstruction surF: e:=Fmesure

Fexact

−1 = ε−ε^03−a_a 1 +ε^03−a_a L’amplification de l’erreur exp´erimentale augmente quandadiminue.

a 0.25 0.10 0.05

e 0.12 0.24 0.38 (ε=ε⁰= 0.01)

Exemples de probl`emes inverses Identification de sources ou de sollicitations

Identification de sources ou de sollicitations

Exemple: reconstruction d’une charge ponctuelle appliqu´ee `a une poutre ´elastique.

x=0 x=L F

x=aL

δ δ’

Probl`eme direct:

• F,aL(entr´ee) etL,EI (syst`eme) donn´es

• δ(x)(sortie) inconnu Probl`eme inverse:

• δ(L), δ⁰(L)(sortie) et L,EI (syst`eme) donn´es

• F,aL(entr´ee) inconnus

Solution analytique (donn´ees exactes):

aL= 3(L− δ

δ⁰) F= 2EIδ⁰(aL)⁻² Perturbation relative surδetδ⁰:

δ_mesure⁰ =δ_exact⁰ (1 +ε) (δ/δ⁰)mesure= (δ/δ⁰)exact(1 +ε⁰) Erreur de reconstruction surF:

e:=Fmesure

Fexact

−1 = ε−ε^03−a_a 1 +ε^03−a_a L’amplification de l’erreur exp´erimentale augmente quandadiminue.

a 0.25 0.10 0.05

e 0.12 0.24 0.38 (ε=ε⁰= 0.01)

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 27 / 338

Exemples de probl`emes inverses Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles

1. G´en´eralit´es: inversion et identification; probl`emes mal pos´es 2. Exemples de probl`emes inverses

Gravim´etrie

Identification de sources ou de sollicitations

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles Probl`emes inverses en vibrations de structures Autres exemples

Exemples de probl`emes inverses Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles

Exemple en thermique: conduite.

Equation locale de la conduction (θ:

temp´erature):

k∆θ

−ρc∂θ

∂t

= 0 Flux impos´e surSe:

k∂θ

∂n =qe surSe q donne

Probleme direct

θ donne

q donne

Probleme inverse

θ donne q ?

θ ?

S S

S S

e e

i i

e e

e

i i i

Probl`eme direct: donn´ee surSi: θ=θi ou bien k∂θ

∂n =qi surSi

Calcul deθ(x,t)dans le domaine d’´etude. Probl`eme inverse:aucune donn´ee surSi, temp´erature donn´ee surSe

θ=θe surSe

calcul deθi,qi surSi

M. Bonnet (POems, ENSTA) Identification et inversion 29 / 338

Exemples de probl`emes inverses Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles

Exemple en thermique: conduite.

Equation locale de la conduction (θ:

temp´erature):

k∆θ

−ρc∂θ

∂t

= 0 Flux impos´e surSe:

k∂θ

∂n =qe surSe q donne

Probleme direct

θ donne

q donne

Probleme inverse

θ donne q ?

θ ?

S S

S S

e e

i i

e e

e

i i i

Probl`eme direct: donn´ee surSi: θ=θi ou bien k∂θ

∂n =qi surSi

Calcul deθ(x,t)dans le domaine d’´etude.

Probl`eme inverse:aucune donn´ee surSi, temp´erature donn´ee surSe

θ=θe surSe

calcul deθi,qi surSi

Exemples de probl`emes inverses Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles

Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles

Exemple en thermique: conduite.

Equation locale de la conduction (θ:

temp´erature):

k∆θ

−ρc∂θ

∂t

= 0 Flux impos´e surSe:

k∂θ

∂n =qe surSe q donne

Probleme direct

θ donne

q donne

Probleme inverse

θ donne q ?

θ ?

S S

S S

e e

i i

e e

e

i i i

Probl`eme direct: donn´ee surSi: θ=θi ou bien k∂θ

∂n =qi surSi

Calcul deθ(x,t)dans le domaine d’´etude.

Probl`eme inverse:aucune donn´ee surSi, temp´erature donn´ee surSe

θ=θe surSe

calcul deθi,qi surSi

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