1. Donner l’écriture binaire de l’entier 23.

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Exercices sur le chapitre «Calculer et comparer dans un monde numérique»

Ensemble de nombres

Exercice 1 (Questions en vrac) Les questions sont indépendantes.

1. Donner l’écriture binaire de l’entier 23.

2. Donner la valeur exacte de x = 0.123123123123....

3. Démontrer que l’ensemble des rationnels est stable par somme, par produit et par quotient.

Et l’ensemble des irrationnels ?

Comparaison

Exercice 2 Comparer pour tout entier n ∈ N

, les entiers 2

et n! = 1 × 2 × · · · × n.

Exercice 3 Déterminer à l’aide du théorème des gendarmes la limite de la suite ( u

) définie par :

u

= ^X

k=1

n n

+ k .

Exercice 4 Soit x ∈ [ − 2 , 3]. On pose f ( x ) = 24 x − 2 x

+ 5 cos( x ).

1. Démontrer que − 107 6 f(x) 6 93.

2. Déterminer sur [ − 2 , 3] les extremum de la fonction g définie par g ( x ) = 24 x − 2 x

. En déduire que pour x ∈ [ − 2, 3], on a − 37 6 f(x) 6 37.

3. Démontrer avec l’inégalité triangulaire que | f(x) | 6 131. En déduire un encadrement de f ( x ). Comparer avec l’encadrement obtenu auparavant ? Quel avantage représente toutefois l’inégalité triangulaire ?

Exercice 5 Résoudre les équations suivantes.

1. √

x + 8 = x + 2 2. √

x + 8 > x + 2. 3. | x − 2 | = | x + 1 | 4. | x − 2 | = 2 | x + 1 | Exercice 6 (Inégalité avec sinus)

1. Démontrer que :

∀ x > 0, sin x 6 x.

2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de sinus au point d’abscisse 0, en déduire une interprétation graphique de l’inégalité ci-dessus.

Exercice 7 Démontrer que

∀ x, y > 0, √

x + y 6 √

x + √ y 6 √ 2 √

x + y.

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Quelques sommes

Exercice 8 (Quelques calculs)

1. Écrire la somme suivante à l’aide du symbole Σ, puis la calculer S = 58 + 61 + 64 + · · · + 451 + 454 2. Calculer les sommes suivantes :

S =

n

X

k=1

n, S =

n

X

k=1

k

n et S =

n

X

i=0

5

. 3. somme télescopique : soit k ∈ N

. Vérifier que :

k

( k + 1)! = 1

k ! − 1 ( k + 1)! . En déduire la valeur de la somme

X

k=1

k ( k + 1)! .

Exercice 9 (De l’entraînement) Calculer ou simplifier les sommes suivantes : 1.

n

X

i=0

i(i − 1) 2.

n

X

k=0

(n − k)

3. 103 + 106 + 109 + · · · + 259.

4. ^X

k=1

ln 1 + 1 k

5.

2n

X

k=1

( − 1)

k

6. ^X

k=0

k.k! (remarquer que k × k! = (k + 1)! − k!) 7.

n

X

i=0

2

3

8.

54

X

k=12

q

, q ∈ C et a, b ∈ N 9. La somme des n premiers entiers impairs Exercice 10 (Étude d’une somme télescopique)

1. Déterminer des réels a et b tels que pour tout k ∈ N

, on ait : 1

k ( k + 1) = a k + b

k + 1 . 2. En déduire pour n > 1, la valeur de la somme S

= ^X

k=1

1

k ( k + 1) . puis la limite de la suite (S

).

Exercice 11 (La somme des carrés des entiers) Soit n ∈ N

. 1. Factoriser l’expression 2n

+ 7n + 6.

2. En déduire par récurrence sur l’entier n que

n

X

k=1

k

= n(n + 1)(2n + 1)

6 .

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 3 3. En déduire la valeur de la somme ^X

k=1

k(6k + 2).

Exercice 12 (La somme des cubes des entiers) Démontrer par récurrence que pour n ∈ N , on a

n

X

k=0

k

= n ( n + 1) 2

!

.

Exercice 13 Soit ( u

) une suite numérique et n > 3 un entier. Remplacer les points • afin que les égalités proposées soient correctes.

1.

n

X

k=3

u

= ^X

k=•

u

2.

n−1

X

k=4

u

= ^X

k=1

u

3.

n+2

X

k=3

u

=

n

X

k=•

u

Quelques produits

Exercice 14 Calculer pour n > 3 : a

=

n−1

Y

k=2

e

b

=

n+2

Y

k=2

(1 − 1

k

) c

=

n+1

Y

k=2

k + 2 k . Exercice 15 (Un produit convergent) On considère la suite u définie par

u

=

n

Y

k=1

(1 + 1 2

)

1. Démontrer que ∀ x ∈ R , e

> x + 1 et interpréter graphiquement.

2. Démontrer que u est majorée. En déduire que u converge.

3. Programmer ensuite cette suite, pour estimer la limite.

Pour terminer

Exercice 16 Soit n ∈ N

. Calculer la somme s = ^P

k2

à l’aide du changement d’indice j = k − 1

Exercice 17 (Sommes doubles) Calculer les sommes suivantes : 1.

1

X

i=1 n

X

j=i+1

j. 2. ^X

16i<j6n

j 3. ^X

i=1 n

X

j=i−1 n

X

k=1

i.

4. ^X

16i,j6n

x

5. ^X

16i,j6n

min( i, j ) 6. ^X

16i,j6n

max( i, j ) 7.

n

X

i=1 n

X

j=i

i j . Exercice 18 (Petit défi) Soit n ∈ N

et x

, . . . , x

des réels tels que

n

X

k=1

x

= ^X

k=1

x

= n

Démontrer en considérant la somme ^P

( x

− 1)

que x

= x

= · · · = x

= 1.