L.S.Marsa Elriadh
Sujet 3
M : Zribi
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Exercice 1 :
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse . Soit (un) la suite définie pour tout n * par un 1 n.
1. La suite (un) est bornée.
2. La suite (un) converge.
3. La suite de terme général un
n converge.
4. Toute suite (vn) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.
Exercice 2 :
on donne la figure ci-dessous ou OAB et ABD sont dus triangles équilatérales.
1) répondre par vraie ou faux en justifiant ta réponse :
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) 3
) 2
) 4
i B
i c
i D
a z e
b z e
c z e
2) soit B
C
u z
z .
a) donner la forme algébrique et exponentielle de u.
b) en déduire la valeur exacte de cos7 12
.
3) soit E l’ensemble des M d’affixe z tel que |iz-1-i|= 2 . a) vérifier que C appartient à E.
b) déterminer et construire l’ensemble des points M.
4) soit E le point d’affixe zE=4-2i.
a) calculer C O
E A
z z
z z
.
b) en déduire la nature du quadrilatère OCEA.
Exercice 3:
l’espace est rapporté { un repère orthonormé
O i j k, , ,
. on donne les points A(2,1,-1) ; B(0,2,1) et C(1,2,-1).1) a) montrer que A, B et C déterminent un plan.
b) montrer qu’une équation du plan (ABC ) est 2x+2y+z-5=0.
2) soit la droite
1
: 1
4 1 2
x t
y t t IR
z t
.
a) montrer que est perpendiculaire au plan (ABC) puis calculer les coordonnées de leur point d’intersection E.
b) vérifier que ABCD est un parallélogramme puis calculer son aire.
3) a) vérifier que le point K(-1,-3,-5) est un point de . b) calculer le volume du tétraèdre KABC.
c) calculer d(B, ).
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Exercice 4:
Dans la figure ci-dessous :
(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé
O, i, j
, d’unefonction f définie sur ]0,+∞[ .
les points A et B 2,1 ln 2 2
deux point de (C).
C(0,ln2) ; (BC) est la tangente à (C) en B.
(C)admet au voisinage de +∞ une branche parabolique.
l’axe
O, j est une asymptote verticale.1) par une lecture graphique :
a) déterminer f(2), f(1), f’(1), f’(2) ;
x
f (x) lim x
. b) dresser le tableau de variations de f.
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2) on admet que la fonction f est définie par f (x) 1 ln x
x . ∝ >1 ; on désigne par A(∝) la mesure de l’aire de la partie du plan limitée par (C) ; l’axe des abscisses et les droites x=1 et x=∝.
a) calculer A(∝).
b) déterminer ∝ pour que A(∝)=2.
3) soit g la fonction définie sur ]0,+∞[ par g(x)=f(x)-x.
a) montrer que
x
lim g(x)
.
b) montrer que g est une bijection de ]0,+∞[ sur IR.
c) calculer g(1) et en déduire que pour tout x∈[1,+∞[ ; f(x)≤x.
d) on note g-1 la réciproque de g ; montrer que g-1 est dérivable en 0 et calculer
