Lois de Snell et Descartes

(1)

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

lundi 6 septembre 2021

(2)

Rayon lumineux Lois de Snell et Descartes Conséquences et applications

Lois de Snell et Descartes

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

lundi 6 septembre 2021

(3)

la notion de rayon lumineux, se propageant la plupart du temps en ligne droite est présente depuis l’antiquité (observation d’ombres) laréflexionde ces rayons est connue grâce auxmiroirs

l’optique géométrique

Ï en optique géométrique, la lumière est modélisée par des rayons dont la trajectoire est déterminéegéométriquement

Ï on va présenter lemodèledu rayon

Ï dont les lois de Snell et Descartes régissent les changements de direction

(4)

miroirnaturel

Ï on sait qu’en fait la lumière est une onde électromagnétique : le rayon lumineux en est une approximation dans le domaine dit de l’optique géométrique

(5)

miroirartificiel

[miroir-vase]

(6)

laréfractionest observée dans l’eau et avec le verre : la direction de propagation de la lumière change

(7)

réfraction naturelle aux interfaces eau/air/verre

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[pinceau-brise]

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[guillotin]

(10)

(11)

réfraction naturelle aux interfaces eau/air/verre Ï lunette de Galilée (1609), fondée sur laréfraction

[lunettes-galilee]

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Ï téléscope de Newton (1672), fondé sur laréflexion

[telescope-newton]

(13)

L’observation des phénomènes a permis le développement d’outils dont l’étude a conduit à la formulation de lois menant à d’autres développements.

(14)

(15)

direction

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(17)

(18)

Modèle du rayon lumineux Limites du modèle

1. Rayon lumineux

2. Lois de Snell et Descartes 3. Conséquences et applications

(19)

1. Rayon lumineux

1.1 Modèle du rayon lumineux 1.2 Limites du modèle

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Mise en évidence

Laser Faisceau collimaté de rayons rectilignes Source ponctuelle Faisceau divergent de rayons rectilignes

(21)

Interactions

Définition (Absorption)

L’absorptioncorrespond au transfert d’une partie de l’énergie lumineuse vers le milieu dans lequel la lumière se propage.

(22)

Interactions

Définition (Absorption)

L’absorptioncorrespond au transfert d’une partie de l’énergie lumineuse vers le milieu dans lequel la lumière se propage.

Ï par la rétine, par une plaque photographique/cellule CCD Ï par la chlorophylle pour la photosynthèse

Ï beaucoup moins par l’air/l’eau/verre Ï diminue l’intensité du faisceau lumineux

(23)

Interactions

Définition (Diffusion)

Ladiffusioncorrespond à la redirection, par le milieu, d’une partie de l’énergie d’un rayon lumineux hors de sa direction principale.

(24)

Interactions

Définition (Diffusion)

Ladiffusioncorrespond à la redirection, par le milieu, d’une partie de l’énergie d’un rayon lumineux hors de sa direction principale.

Ï par les molécules de l’atmosphère, par du lait, par des poussières

Ï ne change pas (la plupart du temps) l’intensité lumineuse totale Ï absorption et diffusion sont le plus souvent présentes en même

temps

(25)

Définition (Milieu transparent, homogène et isotrope)

Un milieu est dittransparentsil’intensité lumineuse,iel’énergie transportée par la lumière, estconstante au cours de la propagation.

Il est dithomogènesi ses propriétés optiques y sontuniformes,iene dépendent pas de la position dans le milieu.

Il est ditisotropesi ses propriétés optiques ne dépendent pas de la direction de propagation de la lumière.

En particulier : ni absorption ni diffusion dans un milieu transparent homogène et isotrope

(29)

Modèle du rayon lumineux

On établit lemodèledu rayon lumineux, sans dimensions, vérifiant trois propriétés fondamentales :

Propagation rectiligne La lumière se propageen ligne droitedans un transparent et homogène.

Retour inverse Dans un milieutransparent et isotrope, le trajet de la lumière estindépendant du sens de parcours. Si un certain chemin reliant un point à un point peut être parcouru par un rayon, un rayon pourra suivre le même chemin pour aller de à .

Indépendance des rayons lumineux Le chemin suivi par un rayon lumineuxne dépend pas du chemin d’autres rayons lumineux.

Un système physique pour lequel ce modèle est pertinent est dit dans le cadre de l’optique géométrique.

(30)

1. Rayon lumineux

1.1 Modèle du rayon lumineux 1.2 Limites du modèle

(31)

Nature ondulatoire de la lumière

Modèle : nature ondulatoire de la lumière

On peut décrire la lumière comme une onde électromagnétique associée à la propagation d’un champ électrique (noté #») et d’un champ magnétique (noté#»).

Sa vitesse de propagation vaut, pour une propagation dans le vide,

= m·s⁻ par définition.

Un système physique pour lequel ce modèle est pertinent est dit dans le cadre de l’optique physique.

(32)

Fréquence et longueur d’onde

Une onde électromagnétique quelconque peut être décrite comme composée de différentsrayonnements monochromatiques, caractérisés par :

Ï safréquenceν, sapulsationω= π/ν, sapériode = /ν indépendantes du milieu

Ï sa longueur d’ondedans le videλ =_ν= _ω^π , dépendante du milieu

domaine γm X (m) UV (nm) Visible (nm) IR (nm) µ-onde/radio (m)

λ É · − · − →1e−8 É Ê Ê1e−3

bleu jaune rouge

(33)

Dimension transversale non nulle : diffraction

Un faisceau lumineux s’évase quand on le fait passer dans unefente de largeur 6Àλ:

(34)

Dimension transversale non nulle : diffraction

Diffraction

Le modèle du rayon lumineux n’est pertinent que quand sa plus petite dimension transversale vérifie Àλ.

(35)

Dimension transversale non nulle : diffraction

Diffraction

Le modèle du rayon lumineux n’est pertinent que quand sa plus petite dimension transversale vérifie Àλ.

(36)

Non indépendance des rayons : interférences

Cette figure est changée quand le faisceau peut traverserdeux fentes proches

(37)

Non indépendance des rayons : interférences

Cette figure est changée quand le faisceau peut traverserdeux fentes proches

Interférences

Les faisceaux formés pardivision d’un même faisceaune sont pas indépendants : le modèle des rayons indépendants n’est pas valable en présence d’interférences.

(38)

Quantification de l’énergie : le photon

Quantification de l’énergie

L’énergie d’un rayonnement lumineux ne peut pas prendre toutes les valeurs réelles : elle varie parsauts discrets, nommésquanta. On peut décrire un rayonnement monochromatique de fréquenceν comme formé departiculesnomméesphotons, d’énergie = ν, avec

laconstante de Planck = , · ⁻ J·s.

(39)

Retour inverse non vérifié : effet Faraday

Effet Faraday

En présence d’unchamp magnétique extérieur, on peut créer des dispositifs dans lesquels la lumière emprunte des chemins différents suivant son sens de parcours.

utilisé pour réaliser des isolateurs optiques

(40)

Réfraction et réflexion Énoncé

Détermination et propriétés de l’indice absolu

1. Rayon lumineux

(41)

Ï la propagation est rectiligne dans un milieu transparent et homogène

Ï on étudie principalement des changementsdiscrets(ienon continus) de propriétés à l’interface entre de milieux homogènes

(42)

Ï →il faut deshétérogénéitéspour observer un changement de direction

(43)

Ï →il faut deshétérogénéitéspour observer un changement de direction

(44)

1. Rayon lumineux

2. Lois de Snell et Descartes 2.1 Réfraction et réflexion 2.2 Énoncé

2.3 Détermination et propriétés de l’indice absolu 3. Conséquences et applications

(45)

Dioptre et miroir

Définition (Dioptre et miroir)

On nommedioptrel’interface entre deux milieux optiques aux propriétés optiques différentes.

On nommemiroirune surface recouverte d’un mince dépôt métallique réfléchissant.

Définition (Plan d’incidence)

Pour un rayon incident sur une surface en un point , leplan d’incidenceest le plan défini par , le rayon incident et le vecteur normal à la surface au point .

Ils doivent présenter le « poli optique » : les écarts entre la surface désirée et sa réalisation ne doivent pas dépasserλ/

(46)

Rayons réfléchi et réfracté

Définition (Rayons réfléchi et réfracté)

Soit un dioptre séparant deux milieux isotropes, notés et .

Un rayon (noté I), se propageant dans un milieu (alors nomméincident) d’indice et atteignant le dioptre (resp. miroir) au point dit d’incidence, noté

, donne naissance à deux rayons (resp. un rayon) :

réfléchi (R) se propageant dans le milieu d’incidence dans les deux cas,

réfracté ou transmis (T) se propageant dans le milieu , uniquement dans le cas du dioptre.

On note :

#» le vecteur unitaire dirigeant le rayon incident,

#»

→ le vecteur unitaire normal au dioptre au point

(47)

1. Rayon lumineux

2.3 Détermination et propriétés de l’indice absolu 3. Conséquences et applications

(48)

Coplanarité

1^reloi : Coplanarité

Les rayons , et sontcoplanairesdans le plan d’incidenceP . , et sont alors complètement déterminés par trois angles orientés : ^{, ,} .

(49)

Réflexion

2^eloi : Réflexion

La trajectoire du rayon réfléchi estsymétriquede celle du rayon incident par rapport au vecteur normal#»

→ au dioptre au point d’incidence.

coplanarité)

Ï en accord avec le retour inverse

(50)

Réflexion

2^eloi : Réflexion

Ï = − en angles orientés (pas toujours utile)

Ï peut s’écrire vectoriellement : #»

−#»

∝#»

→ (contient alors la coplanarité)

(51)

Réflexion

2^eloi : Réflexion

Ï = − en angles orientés (pas toujours utile) Ï peut s’écrire vectoriellement : #»

−#»

∝#»

(52)

Réflexion

2^eloi : Réflexion

Ï = − en angles orientés (pas toujours utile) Ï peut s’écrire vectoriellement : #»

−#»

∝#»

(53)

Réfraction

3^eloi : Réfraction et indice

Un milieu optique transparent homogène et isotrope est caractérisé par unindice de réfraction . Lors de la traversée d’un dioptre séparant un milieu d’indice d’un milieu d’indice , les angles orientésd’incidence (rayon ) et de réfraction (rayon ) vérifient :

sin = sin .

la coplanarité)

Ï on peut également définir des indices pour d’autres ondes (sonores…)

Ï > toujours, sauf pour les métamatériaux (synthétiques) Ï en accord avec le retour inverse

(54)

Réfraction

sin = sin .

Ï un rayon en incidence normale n’est pas dévié

Ï peut s’écrire vectoriellement : #»

− #»

∝#»

(55)

Réfraction

sin = sin .

Ï un rayon en incidence normale n’est pas dévié Ï peut s’écrire vectoriellement : #»

− #»

∝#»

(56)

Réfraction

sin = sin .

− #»

∝#»

(57)

Réfraction

sin = sin .

− #»

∝#»

Ï > toujours, sauf pour les métamatériaux (synthétiques)

(58)

Réfraction

sin = sin .

− #»

∝#»

(59)

Des lois phénoménologiques

Ï elles déterminent les directions des rayons réfléchi et réfracté maisne disent rien sur leurs intensités:

Ï lois phénoménologiques : elles décrivent un phénomène sans le déduire d’un cadre théorique (1621 et 1637)

Ï on sait maintenant les déduire des lois du champ électromagnétique

(60)

Des lois phénoménologiques

Ï dans le cas air-verre :' %de l’énergie incidente est réfléchie, le reste est transmis (dépend de l’angle d’incidence)*

(61)

Des lois phénoménologiques

(62)

Des lois phénoménologiques

(63)

1. Rayon lumineux

2.3 Détermination et propriétés de l’indice absolu

3. Conséquences et applications

(64)

Indice du vide et indice absolu

l’observation de la réfraction permet seulement de mesurer le rapport / :

Définition (Indice absolu)

Ondéfinitl’indiceabsolud’un milieu par : Ï = pour le vide,

Ï =^sin_sin lors de la réfraction du vide vers un milieu .

(65)

Indice du vide et indice absolu

l’observation de la réfraction permet seulement de mesurer le rapport / :

Définition (Indice absolu)

Ondéfinitl’indiceabsolud’un milieu par : Ï = pour le vide,

Ï =^sin_sin lors de la réfraction du vide vers un milieu .

(66)

Propriétés

Ê pour un milieu transparent

Bleu Vert Rouge

λ = , nm λ = , nm λ = , nm

Verre Crown 1,523 1,517 1,514

Verre Flint 1,585 1,575 1,571

Diamant 2,435 2,417 2,410

Eau 1,338 1,333 1,331

Air ( °C bar) 1,000293

(67)

Dispersion

Définition (Dispersion)

Un milieu optique est ditdispersifsi son indice de réfractionvarie avec la longueur d’onde.

Loi de Cauchy

Laloi de Cauchy(1836) donne, pour le visible, les variations de l’indice d’un milieu transparent avec la longueur d’onde dans le vide notéeλ :

= +

λ > .

(68)

Dispersion

Définition (Dispersion)

Un milieu optique est ditdispersifsi son indice de réfractionvarie avec la longueur d’onde.

Loi de Cauchy

Laloi de Cauchy(1836) donne, pour le visible, les variations de l’indice d’un milieu transparent avec la longueur d’onde dans le vide notéeλ :

= +

λ > . Le bleu est plus dévié que le rouge

(69)

En optique physique

l’indice est également important enoptique physique: Indice et vitesse de la lumière

La vitesse, notée , de la lumière dans un milieu d’indice est différente de sa vitesse dans le vide . L’indice absolu d’un milieu représente le quotient = .

inférieure à . Ï É pour Ê

(70)

En optique physique

Ï est la « vitesse de phase ». La « vitesse de groupe », associée à la propagation de l’énergie de l’onde est, elle, toujours

inférieure à .

Ï É pour Ê

(71)

En optique physique

Ï est la « vitesse de phase ». La « vitesse de groupe », associée à la propagation de l’énergie de l’onde est, elle, toujours

inférieure à . Ï É pour Ê

(72)

Réfringence Réflexion totale Étude du prisme

Notions sur la propagation dans un milieu d’indice non uniforme

1. Rayon lumineux

(73)

1. Rayon lumineux

2. Lois de Snell et Descartes 3. Conséquences et applications 3.1 Réfringence

3.2 Réflexion totale 3.3 Étude du prisme

3.4 Notions sur la propagation dans un milieu d’indice non uniforme

(74)

Déviation

Déviation à la réfraction

Lors de la réfraction d’un milieu vers un milieu plus (resp.\moins) réfringent, le rayon réfracté se rapproche (resp.\s’éloigne) de la normale au dioptre.

Ï air→verre : se rapproche Ï verre→air : s’éloigne

Ï un rayon en incidence normale n’est jamais dévié

(75)

Déviation

Déviation à la réfraction

Lors de la réfraction d’un milieu vers un milieu plus (resp.\moins) réfringent, le rayon réfracté se rapproche (resp.\s’éloigne) de la normale au dioptre.

Ï air→verre : se rapproche Ï verre→air : s’éloigne

Ï un rayon en incidence normale n’est jamais dévié

(76)

1. Rayon lumineux

(77)

Réflexion totale

Définition (Réflexion totale)

Lors de la réfraction vers un milieumoins réfringent, il n’y a pas de rayon réfracté si l’angle d’incidence estsupérieurà l’angle de réfraction limite _`tel que :

sin_`= .

On dit qu’il y aréflexion totale.

Ï possible uniquement pour « verre sur air » : _`=arcsin ( / , )' ° Ï utilisé dans les prismes à réflexion totale où on ne perd pas

d’énergie lumineuse dans les rayons réfractés

(78)

Fibre optique à saut d’indice

Ï pour diriger à loisir un faisceau lumineux, il faut des réglages (miroirs/lentilles) délicats et sensibles

Ï la diffraction empêche la collimation du faisceau sur une grande distance (intercontinentale par exemple)

Ï on utilise des fibres optiques quiguidentla lumière :

Ï pas de perte d’intensité par diffraction Ï « tuyau » à lumière pour l’amener où on

souhaite

Ï transmission d’information avec un débit bien meilleur (record · bit/s sur

(79)

Fibre optique à saut d’indice

Définition (Fibre optique à saut d’indice)

Unefibre optique à saut d’indiceest constituée de deux cylindres coaxiaux

Ï le cœur d’indice de rayon

Ï la gaine optique d’indice < et de rayon > .

(80)

Fibre optique à saut d’indice

Ï la gaine optique d’indice < et de rayon > .

Ï en verre ou en plastique

Ï rayons de l’ordre de quelques µm

Ï il existe des fibres àgradient d’indiceoù il diminue continûment Ï ses propriétés demeurent quand on courbe les cylindres

(81)

Fibre optique à saut d’indice

Ï la gaine optique d’indice < et de rayon > . Ï en verre ou en plastique

Ï ses propriétés demeurent quand on courbe les cylindres

(82)

Fibre optique à saut d’indice

(83)

Fibre optique à saut d’indice

Ï il existe des fibres àgradient d’indiceoù il diminue continûment

(84)

Fibre optique à saut d’indice

(85)

Exercice

1 Justifier que l’indice doit être supérieur dans le cœur pour que les rayons lumineux puissent y rester sans passer dans la gaine.

0 nc x ng

α

2 La fibre est plongée dans l’air d’indice = . Déterminer l’angle maximalαmaxque peut former un rayon avec l’axe de la fibre pour pouvoir y être guidé. Calculerαpour = , et inférieur de , %. Tracer le trajet du rayon dans les casα= etα=αmax. 3 Déterminer la durée∆(β)mise pour progresser d’une distance

en fonction de l’angleβformé par le rayon avec l’axe de la fibre.

4 On envoie des impulsions de périodeτ. Montrer que les signaux associés aux rayons d’anglesα= etαmaxse brouillent au bout d’une distance dont on estimera l’ordre de grandeur en fonction de ^,τet des indices. Estimer pour = µs.

(86)

Correction

1 réflexion totale sur la gaine 2 ^sin(αmax)=

q

− , soitαmax= °.

3 ∆ = /( cos(β)). 4 ' ₍ ₋ ₎= km.

(87)

Caractéristiques d’une fibre

Caractéristiques d’une fibre à saut d’indice

Ï Lecône d’admissiond’une fibre à saut d’indice délimite les rayons pouvant se propager dans le cœur en subissant des réflexions totales à la frontière de la gaine. Son / -angle au sommet vaut :

sin(αmax)= q

− .

Ï Ladispersion intermodalecaractérise la différence de vitesse axiale d’un rayon le long de la fibre. La durée∆ de propagation pour une longueur le long de la fibre parcourue par un rayon incliné d’un angleβpar rapport à l’axe de la fibre est :

cos(β).

(88)

Caractéristiques d’une fibre

Ï la dispersion intermodale limite le débit maximal dans le cas des fibres à saut d’indice

Ï αsera différent si la fibre est plongée dans un autre milieu.

Ï unmodeest, en optique physique, une structure

spatio-temporelle particulière qui peut se propager sans s’altérer dans la fibre.

Ï chaque mode à une vitesse axiale différente, on retrouve le même phénomènes qu’en optique géométrique où la vitesse axiale varie avec l’incidence du rayon.

(89)

1. Rayon lumineux

(90)

Prisme optique

Définition (Prisme optique)

Unprisme optiqueest un milieu réfringent transparent, homogène et isotrope délimité par deux dioptres formant un dièdre.

Déviation vers la base

Un prisme plongé dans un milieu moins réfringent que le matériau dont il est constitué dévie les rayons lumineuxvers sa base.

i

I t t^′ i′

I^′

A

bc bc

J

bc

K

D

(91)

Prisme optique

Déviation vers la base

Un prisme plongé dans un milieu moins réfringent que le matériau dont il est constitué dévie les rayons lumineuxvers sa base.

i

I t t′

i′ I′

A

bc bc

J

bc

K

D

Ï animation du prisme

Ï pas de rayon émergent pour certaines incidences à cause des réflexions totales

Ï la dispersion du matériau utilisé permet de séparer les

différentes couleurs d’un rayonnement : le bleu est plus dévié que le rouge (Cauchy)

(92)

Formules

Ï rayon incident dans un plan perpendiculaire à l’arête Ï plongé dans l’air = , indice du milieu noté , Ï on ne regarde que les rayons réfractés

Ï convention différente en entrée et sortie pour avoir : , , ⁰, ⁰Ê Relations géométriques Ï Établir, en étudiant le triangle ⁰ , une

relation entre les angles , , ⁰.

Ï Exprimer la déviation en fonction des angles , ⁰ et .

Relations de réfraction Établir les relations entre les angles et d’une part, et ⁰et ⁰d’autre part.

(93)

Formules

π=π

− +π

− ⁰+ → = + ⁰

= − = ⁰− ⁰

= + = + ⁰−( + ⁰)= + ⁰− . (sin = sin

sin ⁰ = sin ⁰

(94)

Minimum de déviation

La déviation passe pour un minimum en fonction de (animation du prisme) Minimum de déviation

Au minimum de déviation d’un prisme, on a = ⁰= et

= ⁰= . 40 60 80

40 50 60

i₀ i_min

D_min

i

D

A = 60°, n= 1,5

L’indice est relié à la déviation minimale :

=sin ⁺ sin

(95)

1. Rayon lumineux

(96)

Illustration qualitative : mirages

Loi de Gladstone

Soit un fluide de masse volumiqueρet d’indice de réfraction . Le quotient :

− ρ ,

est constant lors des variations de masse volumique.

Ï la température décroît avec l’altitude,ρet donc croissent donc avec l’altitude

Ï atmosphère d’indice non uniforme, modélisée par des dioptres horizontaux

Ï en descente : les rayons se courbent pour s’éloigner de la normale aux dioptres

Ï en montée : les rayons se courbent pour s’en rapprocher

(97)

Illustration qualitative : mirages

Loi de Gladstone

− ρ ,

(98)

Illustration qualitative : mirages

Loi de Gladstone

− ρ ,

(99)

Illustration qualitative : mirages

Loi de Gladstone

− ρ ,

Ï propagation dans un plan vertical Ï tranches fictives d’épaisseur Ï à la cote , indice ( )et angle ( ) La cotangente à la trajectoire vérifie : Équation différentielle de la trajectoire

= sin

q

( )− sin ( ) intégrable éventuellement si ^{( )}est connu