Lois de Snell et Descartes

(1)

Lois de Snell et Descartes

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

lundi 30 septembre 2019

(2)

Rayon lumineux Lois de Snell et Descartes Conséquences et applications

Lois de Snell et Descartes

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

lundi 30 septembre 2019

(3)

la notion de rayon lumineux, se propageant la plupart du temps en ligne droite est présente depuis l’antiquité (observation d’ombres)

laréflexionde ces rayons est connue grâce auxmiroirs

I on sait qu’en fait la lumière est une onde électromagnétique : le rayon lumineux en est une approximation dans le domaine dit del’optique géométrique

I en optique géométrique, la lumière est modélisée par des rayons dont la trajectoire est déterminéegéométriquement

I on va présenter lemodèledu rayon

I dont les lois de Snell et Descartes régissent les changements de direction

(4)

laréflexionde ces rayons est connue grâce auxmiroirs miroirnaturel

(5)

laréflexionde ces rayons est connue grâce auxmiroirs miroirartificiel

(6)

laréfractionest observée dans l’eau et avec le verre : la direction de propagation de la lumière change

(7)

réfraction naturelle aux interfaces eau/air/verre

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(11)

réfraction naturelle aux interfaces eau/air/verre I lunette de Galilée (1609), fondée sur laréfraction

(12)

réfraction naturelle aux interfaces eau/air/verre I téléscope de Newton (1672), fondé sur laréflexion

(13)

L’observation des phénomènes a permis le développement d’outils dont l’étude a conduit à la formulation de lois menant à d’autres

développements.

(14)

développements.

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développements.

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développements.

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développements.

(18)

Modèle du rayon lumineux Limites du modèle

1. Rayon lumineux

2. Lois de Snell et Descartes 3. Conséquences et applications

(19)

1. Rayon lumineux

1.1 Modèle du rayon lumineux 1.2 Limites du modèle

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Mise en évidence

Laser Faisceau parallèle de rayons rectilignes Source ponctuelle Faisceau divergent de rayons rectilignes

(21)

Interactions

Définition (Absorption)

L’absorptioncorrespond au transfert d’une partie de l’énergie lumineuse vers le milieu dans lequel la lumière se propage.

(22)

Interactions

Définition (Absorption)

L’absorptioncorrespond au transfert d’une partie de l’énergie lumineuse vers le milieu dans lequel la lumière se propage.

I par la rétine, par une plaque photographique/cellule CCD I par la chlorophylle pour la photosynthèse

I beaucoup moins par l’air/l’eau/verre I diminue l’intensité du faisceau lumineux

(23)

Interactions

Définition (Diffusion)

Ladiffusioncorrespond à la redirection, par le milieu, d’une partie de l’énergie d’un rayon lumineux hors de sa direction principale.

(24)

Interactions

Définition (Diffusion)

Ladiffusioncorrespond à la redirection, par le milieu, d’une partie de l’énergie d’un rayon lumineux hors de sa direction principale.

I par les molécules de l’atmosphère, par du lait, par des poussières I ne change pas (la plupart du temps) l’intensité lumineuse totale I absorption et diffusion sont le plus souvent présentes en même temps

(25)

Interactions

I par les molécules de l’atmosphère, par du lait, par des poussières

I ne change pas (la plupart du temps) l’intensité lumineuse totale I absorption et diffusion sont le plus souvent présentes en même temps

(26)

Interactions

I par les molécules de l’atmosphère, par du lait, par des poussières I ne change pas (la plupart du temps) l’intensité lumineuse totale

I absorption et diffusion sont le plus souvent présentes en même temps

(27)

Interactions

I par les molécules de l’atmosphère, par du lait, par des poussières I ne change pas (la plupart du temps) l’intensité lumineuse totale I absorption et diffusion sont le plus souvent présentes en même temps

(28)

Milieu d’étude

Définition (Milieu transparent, homogène et isotrope)

Un milieu est dittransparentsil’intensité lumineuse,iel’énergie transportée par la lumière, estconstante au cours de la propagation.

Il est dithomogènesi ses propriétés optiques y sontuniformes,iene dépendent pas de la position dans le milieu.

Il est ditisotropesi ses propriétés optiques ne dépendent pas de la direction de propagation de la lumière.

En particulier : ni absorption ni diffusion dans un milieu transparent homogène et isotrope

(29)

Modèle du rayon lumineux

On établit lemodèledu rayon lumineux, sans dimensions, vérifiant trois propriétés fondamentales :

Propagation rectiligne La lumière se propageen ligne droitedans un transparent et homogène.

Retour inverse Dans un milieutransparent et isotrope, le trajet de la lumière estindépendant du sens de parcours. Si un certain chemin reliant un pointAà un pointBpeut être parcouru par un rayon, un rayon pourra suivre le même chemin pour aller deBàA.

Indépendance des rayons lumineux Le chemin suivi par un rayon lumineuxne dépend pas du chemin d’autres rayons lumineux.

Un système physique pour lequel ce modèle est pertinent est ditdans le cadre de l’optique géométrique.

(30)

1. Rayon lumineux

1.1 Modèle du rayon lumineux 1.2 Limites du modèle

(31)

Nature ondulatoire de la lumière

Modèle : nature ondulatoire de la lumière

On peut décrire la lumière comme une onde électromagnétique associée à la propagation d’un champ électrique (noté#»

E) et d’un champ magnétique (noté#»

B).

Sa vitesse de propagation vaut, pour une propagation dans le vide, c=299 792 458 m·s⁻¹par définition.

Un système physique pour lequel ce modèle est pertinent est ditdans le cadre de l’optique physique.

(32)

Fréquence et longueur d’onde

Une onde électromagnétique quelconque peut être décrite comme composée de différentsrayonnements monochromatiques, caractérisés par :

I sa fréquenceν, sa pulsation ω= 2π/ν, sa périodeT= 1/ν indépendantes du milieu

I sa longueur d’ondedans le videλ0= _ν^c = ^2π_ω^c,dépendante du milieu

domaine γm) X (m) UV (nm) Visible (nm) IR (nm) µ-onde/radio(m)

λ 61·10−12 1·10−12→1e−8 6400 500 590 630 >750 >1e−3

bleu jaune rouge

(33)

Dimension transversale non nulle : diffraction

Un faisceau lumineux s’évase quand on le fait passer dans unefente de largeura6λ:

(34)

Dimension transversale non nulle : diffraction

Diffraction

Le modèle du rayon lumineux n’est pertinent que quand sa plus petite dimension transversaleavérifieaλ.

(35)

Dimension transversale non nulle : diffraction

Diffraction

Le modèle du rayon lumineux n’est pertinent que quand sa plus petite dimension transversaleavérifieaλ.

(36)

Non indépendance des rayons : interférences

Cette figure est changée quand le faisceau peut traverserdeux fentes proches

(37)

Non indépendance des rayons : interférences

Cette figure est changée quand le faisceau peut traverserdeux fentes proches

Interférences

Les faisceaux formés pardivision d’un même faisceaune sont pas indépendants : le modèle des rayons indépendants n’est pas valable en présence d’interférences.

(38)

Quantification de l’énergie : le photon

Quantification de l’énergie

L’énergie d’un rayonnement lumineux ne peut pas prendre toutes les valeurs réelles : elle varie parsauts discrets, nommésquanta. On peut décrire un rayonnement monochromatique de fréquenceνcomme formé departiculesnomméesphotons, d’énergieE=hν, avechlaconstante de Planckh=6,626 070 15·10⁻³⁴J·s.

(39)

Retour inverse non vérifié : effet Faraday

Effet Faraday

En présence d’unchamp magnétique extérieur, on peut créer des dispositifs dans lesquels la lumière emprunte des chemins différents suivant son sens de parcours.

utilisé pour réaliser des isolateurs optiques

(40)

Réfraction et réflexion Énoncé

Détermination et propriétés de l’indice absolu

1. Rayon lumineux

(41)

I la propagation est rectiligne dans un milieu transparent ethomogène

I →il faut deshétérogénéitéspour observer un changement de direction

I on étudie principalement des changementsdiscrets(ienon continus) de propriétés à l’interface entre de milieux homogènes

(42)

I la propagation est rectiligne dans un milieu transparent ethomogène I →il faut deshétérogénéitéspour observer un changement de

direction

(43)

I la propagation est rectiligne dans un milieu transparent ethomogène I →il faut deshétérogénéitéspour observer un changement de

direction

(44)

1. Rayon lumineux

2. Lois de Snell et Descartes 2.1 Réfraction et réflexion 2.2 Énoncé

2.3 Détermination et propriétés de l’indice absolu 3. Conséquences et applications

(45)

Dioptre et miroir

Définition (Dioptre et miroir)

On nommedioptrel’interface entre deux milieux optiques aux propriétés optiques différentes.

On nommemiroirune surface recouverte d’un mince dépôt métallique réfléchissant.

Définition (Plan d’incidence)

Pour un rayon incident sur une surface en un pointI, leplan d’incidence est le plan défini parI, le rayon incident et le vecteur normal à la surface au pointI.

Ils doivent présenter le « poli optique » : les écarts entre la surface désirée et sa réalisation ne doivent pas dépasserλ/10

(46)

1. Rayon lumineux

2.3 Détermination et propriétés de l’indice absolu 3. Conséquences et applications

(47)

Coplanarité

1^reloi : Coplanarité

Les rayonsI,RetTsontcoplanairesdans le plan d’incidenceP_I. I,RetTsont alors complètement déterminés par trois angles orientés : i,r,t.

(48)

Réflexion

2^eloi : Réflexion

La trajectoire du rayon réfléchi estsymétriquede celle du rayon incident par rapport au vecteur normal#»

N1→2au dioptre au point d’incidence.

I r=−ien angles orientés (pas toujours utile) I peut s’écrire vectoriellement : #»

ki−#» kr∝ #»

N1→2(contient alors la coplanarité)

I en accord avec le retour inverse

(49)

Réflexion

2^eloi : Réflexion

I r=−ien angles orientés (pas toujours utile)

I peut s’écrire vectoriellement : #» ki−#»

kr∝ #»

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Réflexion

2^eloi : Réflexion

ki−#»

kr∝ #»

(51)

Réflexion

2^eloi : Réflexion

ki−#»

kr∝ #»

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Réfraction

3^eloi : Réfraction et indice

Un milieu optique transparent homogène et isotrope est caractérisé par un indice de réfractionn. Lors de la traversée d’un dioptre séparant un milieu 1d’indicen1d’un milieu2d’indicen2, les anglesorientésd’incidencei (rayonI) et de réfractiont(rayonT) vérifient :

n1sini=n2sint.

I un rayon en incidence normale n’est pas dévié I peut s’écrire vectoriellement :n1#»

k_i−n2#» k_t∝ #»

I on peut également définir des indices pour d’autres ondes (sonores…) I n>0toujours, sauf pour les métamatériaux (synthétiques)

(53)

Réfraction

n1sini=n2sint.

I un rayon en incidence normale n’est pas dévié

I peut s’écrire vectoriellement :n1#» k_i−n2#»

k_t∝ #»

(54)

Réfraction

n1sini=n2sint.

k_i−n2#»

k_t∝ #»

(55)

Réfraction

n1sini=n2sint.

k_i−n2#»

k_t∝ #»

I on peut également définir des indices pour d’autres ondes (sonores…)

I n>0toujours, sauf pour les métamatériaux (synthétiques) I en accord avec le retour inverse

(56)

Réfraction

n1sini=n2sint.

k_i−n2#»

k_t∝ #»

I on peut également définir des indices pour d’autres ondes (sonores…)

(57)

Réfraction

n1sini=n2sint.

k_i−n2#»

k_t∝ #»

(58)

Des lois phénoménologiques

I elles déterminent les directions des rayons réfléchi et réfracté mais

*ne disent rien sur leurs intensités : dans le cas air-verre :'4%de l’énergie incidente est réfléchie, le reste est transmis (dépend de l’angle d’incidence)*

I lois phénoménologiques : elles décrivent un phénomène sans le déduire d’un cadre théorique (1621 et 1637)

I on sait maintenant les déduire des lois du champ électromagnétique

(59)

Des lois phénoménologiques

(60)

Des lois phénoménologiques

(61)

1. Rayon lumineux

2.3 Détermination et propriétés de l’indice absolu

3. Conséquences et applications

(62)

Indice du vide et indice absolu

l’observation de la réfraction permet seulement de mesurer le rapport n1/n2:

Définition (Indice absolu)

Ondéfinitl’indiceabsolud’un milieu par : I n= 1pour le vide,

I nX=^sin_sinⁱ_t lors de la réfraction du vide vers un milieuX.

(63)

Indice du vide et indice absolu

l’observation de la réfraction permet seulement de mesurer le rapport n1/n2:

Définition (Indice absolu)

Ondéfinitl’indiceabsolud’un milieu par : I n= 1pour le vide,

I nX=^sin_sinⁱ_t lors de la réfraction du vide vers un milieuX.

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Propriétés

n>1pour un milieu transparent

Bleu Vert Rouge

λ0=486,1 nm λ0=589,0 nm λ0=656,3 nm

Verre Crown 1,523 1,517 1,514

Verre Flint 1,585 1,575 1,571

Diamant 2,435 2,417 2,410

Eau 1,338 1,333 1,331

Air (20^◦C 1 bar) 1,000293

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Dispersion

Définition (Dispersion)

Un milieu optique est ditdispersifsi son indice de réfractionvarie avec la longueur d’onde.

Loi de Cauchy

Laloi de Cauchy(1836) donne, pour le visible, les variations de l’indice d’un milieu transparent avec la longueur d’onde dans le vide notéeλ0:

n=n0+ A

λ²₀ A>0.

(66)

Dispersion

Définition (Dispersion)

Un milieu optique est ditdispersifsi son indice de réfractionvarie avec la longueur d’onde.

Loi de Cauchy

Laloi de Cauchy(1836) donne, pour le visible, les variations de l’indice d’un milieu transparent avec la longueur d’onde dans le vide notéeλ₀:

n=n0+ A

λ²₀ A>0.

(67)

En optique physique

l’indice est également important enoptique physique: Indice et vitesse de la lumière

La vitesse, notéev_n, de la lumière dans un milieu d’indicenest différente de sa vitesse dans le videc. L’indice absolund’un milieu représente le quotientn=_v^c

n.

I vnest la « vitesse de phase ». La « vitesse de groupe », associée à la propagation de l’énergie de l’onde est, elle, toujours inférieure àc. I vn6cpourn>1

(68)

En optique physique

n.

I vnest la « vitesse de phase ». La « vitesse de groupe », associée à la propagation de l’énergie de l’onde est, elle, toujours inférieure àc.

I vn6cpourn>1

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En optique physique

n.

I vnest la « vitesse de phase ». La « vitesse de groupe », associée à la propagation de l’énergie de l’onde est, elle, toujours inférieure àc.

I vn6cpourn>1

(70)

Retour sur les ondes (HP)

les lois de Snell et Descartes se déduisent de l’étude de la propagation des ondes

(71)

Retour sur les ondes (HP)

I les fronts d’onde sont orthogonaux à la direction de propagation donc aux rayons

I la phase est la même dans les fronts d’ondeAA⁰d’une part etBB⁰ d’autre part

I les durées de propagation de A⁰→BetA→B⁰doivent être égales

I A⁰B

v1

=AB⁰ v2

→sin(i1) v1

= sin(i2) v2

A B

A1 B1

A2 B2

A⁰

B⁰

#»N1→2 i1

i2

n1

n2

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Retour sur les ondes (HP)

I A⁰B

v1

=AB⁰ v2

→sin(i1) v1

= sin(i2) v2

A B

A B1

A2 B2

A⁰

B⁰

#»N1→2 i1

i2

n1

n2

(73)

Retour sur les ondes (HP)

I A⁰B

v1

=AB⁰ v2

→sin(i1) v1

= sin(i2) v2

A B

A1 B1

A2 B2

A⁰

B⁰

#»N1→2 i1

i2

n1

n2

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Retour sur les ondes (HP)

I A⁰B

v1

=AB⁰ v2

→sin(i1) v1

= sin(i2) v2

A B

A B1

A2 B2

A⁰

B⁰

#»N1→2 i1

i2

n1

n2

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Retour sur les ondes (HP)

I A⁰B

v1

=AB⁰ v2

→sin(i1) v1

= sin(i2) v2

A B

A1 B1

A2 B2

A⁰

B⁰

#»N1→2 i1

i2

n1

n2

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Réfringence Réflexion totale Étude du prisme

Notions sur la propagation dans un milieu d’indice non uniforme

1. Rayon lumineux

(77)

1. Rayon lumineux

2. Lois de Snell et Descartes 3. Conséquences et applications 3.1 Réfringence

3.2 Réflexion totale 3.3 Étude du prisme

3.4 Notions sur la propagation dans un milieu d’indice non uniforme

(78)

Déviation

Déviation à la réfraction

Lors de la réfraction d’un milieu1vers un milieu2plus (resp. moins) réfringent, le rayon réfracté se rapproche (resp. s’éloigne) de la normale au dioptre.

I air →verre : se rapproche I verre →air : s’éloigne

I un rayon en incidence normale n’est jamais dévié

(79)

Déviation

Déviation à la réfraction

Lors de la réfraction d’un milieu1vers un milieu2plus (resp. moins) réfringent, le rayon réfracté se rapproche (resp. s’éloigne) de la normale au dioptre.

I air →verre : se rapproche I verre →air : s’éloigne

I un rayon en incidence normale n’est jamais dévié

(80)

1. Rayon lumineux

2. Lois de Snell et Descartes 3. Conséquences et applications 3.1 Réfringence

3.2 Réflexion totale 3.3 Étude du prisme

3.4 Notions sur la propagation dans un milieu d’indice non uniforme

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Réflexion totale

Définition (Réflexion totale)

Lors de la réfraction vers un milieumoins réfringent, il n’y a pas de rayon réfracté si l’angle d’incidence estsupérieurà l’angle de réfraction limitei`

tel que :

sini`=n2

n1

.

On dit qu’il y aréflexion totale.

I possible pour « verre sur air » :i`=arcsin(1/1,5)'42°

I utilisé dans les prismes à réflexion totale où on ne perd pas d’énergie lumineuse dans les rayons réfractés

(82)

Exercice : prisme à réflexion totale

Définition (Prisme optique)

Un prisme optique est un milieu réfringent transparent, homogène et isotrope délimité par deux dioptres formant un dièdre.

(83)

Exercice : prisme à réflexion totale

1 On considère le prisme de la figure ci-contre, d’indicen, dont la pointe forme un angle de 90°.

Le prisme est plongé dans l’air d’indicen0'1,000. On constate qu’un rayon lumineux arrivant sous incidence normale ressort du prisme parallèlement à lui-même après avoir subi deux réflexions totales sur les faces de la pointe. En déduire que l’indice du prisme doit être supérieur à une valeurnmin.

n

1 La pointe du prisme est maintenant plongée dans de l’eau, d’indice n1=1,33.

a La direction du rayon émergent du prisme par la face supérieure est-elle modifiée ?

b On constate qu’il n’y a maintenant plus réflexion totale : on observe des rayons émergents dans l’eau. En déduire que l’indice du prisme est inférieur à une autre valeurnmax.

c Déterminer la direction des rayons émergents dans l’eau pourn=1,52.

Réaliser un schéma des différentes réflexions et réfractions.

d Quelle caractéristique du rayon émergent par la face supérieure est-elle modifiée quand le prisme est plongé dans l’eau ? Proposer une

utilisation de ce dispositif comme détecteur de niveau d’eau.

sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 43/55

(84)

Correction

I n>n_min=_sin¹_π/4 =√

2'1,414.

I ^I inchangé

I n<nmax=_sinⁿ_π/4¹ '1,886.

I sini⁰=_nⁿ

1sini' →i⁰=53°.