Montrer que supp(δx) ={x}

UNSA 2018-2019 L3–Mesure et Topologie Feuille d’exercices n^o5

Espaces mesur´es et Mesure-produit.

1. Mesures `a support ponctuel surR<sup>n</sup>. Soit l’espace mesurable (R<sup>n</sup>,B<sub>R</sub><sup>n</sup>) o`uB_Rⁿ d´esigne la tribu des parties bor´eliennes surRⁿ.

Pourx∈Rⁿ, on noteδx:B_Rⁿ→R+ la fonction de Dirac d´efinie par

δx(A) =

(1 six∈A 0 six6∈A

1.a. Montrer queδxest une mesure sur (Rⁿ,B_Rⁿ).

1.b. Soitµune mesure sur (Rⁿ,B_Rⁿ). Montrer qu’il existe un ouvert maxi- malUµ⊂Rⁿ de mesure nulle: µ(Uµ) = 0. Lesupport de la mesure µest d´efini par supp(µ) =Rⁿ\Uµ. Montrer que supp(δx) ={x}.

1.c. Soitµune mesure finie sur (Rⁿ,B_Rn) `a support ponctuel{x}. Montrer que µ= λδ_x pour un r´eel λ ≥ 0. (On pourra montrer que pour toute partie bor´elienneA∈ B_Rn contenantxon aµ(A) =µ({x}) en calculantµ(A\{x}).)

1.d. Soit µ une mesure finie sur (Rⁿ,B_Rⁿ) `a support fini {x1, . . . , x_N}.

D´ecrireµ comme une combinaison lin´eaire de mesures de Dirac. Quand est-ce queµest une mesure de probabilit´e ? En connaissez-vous ?

1.e. Soitf une fonction mesurable sur (Rⁿ,B_Rⁿ) etµune mesure `a support fini. Que veut dire quef estµ-int´egrable ? Le cas ´ech´eant calculer

Z

Rⁿ

f dµ.

2. Unicit´e des mesures. SoitB ⊂ P(X) une collection de parties deX stable par intersection finie et contenantX. On noteλ(B) la plus petite partie deP(X) contenantB, et stable par diff´erence et par r´eunion d´enombrable croissante.

2.a. Montrer queλ(B) est stable par intersection finie. En d´eduire queλ(B) s’identifie `a la tribuσ(B) engendr´ee parB.

2.b. Soientµ, νdeux mesuresfinies sur l’espace mesurable (X, λ(B)). Mon- trer queµ=ν d`es queµ_|B =ν_|B.

2.c. Soientµ, νdeux mesuresσ-finissur l’espace mesurable (X, λ(B)). Mon- trer queµ=ν d`es queµ_|B =ν_|B.

Indication: montrer queµ_n(·) =µ(· ∩X_n) est une mesure finie sur (X, λ(B)) d`es queXn est de mesure finie.

3. SoitA ⊂ P(N) la collection des partiesAdeNayant la propri´et´e que soitA est fini soitN\Aest fini.

3.a. Montrer queAest une alg`ebre.

3.b. Montrer que µ : A → {0,1} d´efinie par (µ(A) = 0 ssiAfini) v´erifie bienµ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B) mais queµn’est pas une mesure.

4. Soit (fn) une suite de fonctions mesurables (X,A)→(R,B_R).

4.a. Montrer que sup_nf_n et inf_nf_n sont mesurables s’ils existent.

4.b. Montrer que lim_nf_n et lim_nf_n sont mesurables s’ils existent.

4.c. Montrer que la limite simple de la suite est mesurable si elle existe.

5. Soient (X,A, µ) et (Y,B, ν) deux espaces mesur´esσ-finis. On rappelle que A ⊗ Bd´esigne la tribu sur X×Y engendr´ee parA×B o`uA∈ Aet B∈ B.

5.a. Montrer que pour toutC∈ A ⊗ Bles “sections”

Cx={y∈Y |(x, y)∈C}, resp.

C^y ={x∈X|(x, y)∈C}

appartiennent `aB, resp. A.

5.b. Soitf : (X ×Y,A ⊗ B)→(R,B_R) mesurable. Montrer que pour tout x∈X la fonctionfx: (Y, B)→(R,B_R) :y7→f(x, y) est mesurable.

5.c. Montrer qu’il existe une et une seule mesure µ⊗ν sur (X×Y,A ⊗ B) v´erifiant (µ⊗ν)(A×B) =µ(A)ν(B). Pour cette mesure on a

Z

C

d(µ⊗ν) = Z

X

ν(C_x)dµ= Z

Y

µ(C^y)dν pour toutC∈ A ⊗ B.