Diapos-CM 3

(1)

C

HAPITRE

1. S

TATISTIQUES

DESCRIPTIVES UNIDIMENSIONNELLES

I

NDICATEURS SYNTHÉTIQUES

DE DISPERSION ET DE CONCENTRATION

Julie Scholler - Bureau B246

Novembre 2019

IV. Indicateurs de tendance centrale

Fonction cumulative ou fonction de répartition

fonction F telle que F(x) correspond à la proportion d’individu dont la modalité est inférieure ou égale à x.

• F(m_k) = F_k =

k

X

i=1

f_i

Médiane

plus petite valeur x telle que F(x) > 0.5

(2)

Nombres de bonnes réponses en sport - Fréquences cumulées

Nb. de rép. justes Fréq. Fréq. cum.

0 0.02 0.02

1 0.04 0.06

2 0.04 0.09

3 0.10 0.20

4 0.20 0.40

5 0.21 0.61

6 0.18 0.78

7 0.11 0.89

8 0.08 0.98

10 0.02 1.00

• Plus de la moitié des étudiants ayant participé au QCM a eu 5 bonnes réponses ou moins au thème sport.

• Plus des trois quarts des étudiants ayant participé au QCM ont eu 6 bonnes réponses ou moins au thème sport.

Quantiles

Quantiles en α

Pour tout α dans [0; 1], le quantile en α est le plus petit réel, noté x_α, tel qu’une proportion α des valeurs de la variable lui soient inférieures.

On a F(x_α) > α.

Quantiles d’ordre q

Ce sont les (q −1) valeurs qui divisent les valeurs (ordonnées) de la série en q parties égales.

Quantiles particuliers

• quartiles : pour α valant 0.25, 0.5 et 0.75 On note Q₁ = x_0.25, Q₂ = x_0.5 et Q₃ = x_0.75

• déciles : pour α valant 0.1,0.2, . . . ,0.9,1

• centiles : pour α valant 0.01,0.02, . . . ,0.99,1

(3)

Sources : Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux 2012 à 2017

Quartiles et courbe cumulative

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 10

Courbe cumulative du nombre de bonnes réponses

au thème sport

(4)

Quartiles et courbe cumulative

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0 5 10 15 20

Courbe cumulative des notes des L1 regroupées en classes

Notes des L1 - Fréquences cumulées

Notes Fréquences cumulées

[0,2[ 0.00

[2,4[ 0.00

[4,6[ 0.08

[6,8[ 0.20

[8,10[ 0.47

[10,11[ 0.62

[11,13[ 0.79

[13,14[ 0.89

[14,16[ 1.00

[16,20] 1.00

Me ∈ [10,11[

On obtient Me ' 10.2.

Q₁ ∈ [8,10[

On obtient Q₁ ' 8.37.

Q₃ ∈ [11,13[

On obtient Q₃ ' 12.53

(5)

Quartiles et diagramme en boîte

4 8 12

Notes des L1

Diagrammes en boîte et comparaison

Homme Femme

4 8 12

Notes des L1

(6)

Indicateurs de dispersion

Étendue

écart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série

• facile à calculer

• très sensible aux valeurs extrêmes Écart interquantile

écart entre les quantiles extrémaux Les plus répandus

• écart interquartile : Q₃ − Q₁

• écart interdécile : D₉ − D₁ Avantage

• permet d’exclure les valeurs extrêmes

V. Indicateurs de dispersion

Différentes notes

L1 L2 L3

4 8 12 16 20

Note totale selon l’année

Étendue EIQ EID L3 13.83 4.17 6.97 L2 6.67 1.79 3.50 L1 11.00 4.42 7.33

(7)

Variance et écart type

Variance

moyenne arithmétique des carrés des écarts des observations à la moyenne

V(x) = 1 n

n

X

i=1

(x_i − x)²

Propriétés

• V(x) > 0

• V(x) = 1 n

n

X

i=1

x_i² −x²

Écart type

racine carrée de la variance : σ_x = q

V(x)

(8)

Différentes notes

L1 L2 L3

4 8 12 16 20

Note totale selon l’année

Étendue EIQ EID Écart type L3 13.83 4.17 6.97 3.34 L2 6.67 1.79 3.50 1.47 L1 11.00 4.42 7.33 2.85

Coefficient de variations

CV = σ_x x

• mesure de dispersion relative

• nombre sans unité

• utile pour comparer la dispersion des séries dont les unités sont différentes

(9)

Compréhension de l’écart type

x + σ x − σ x

' 68%

x + 2σ x − 2σ x

' 95%

Pour les notes des L1 : 63.6% dans [x ± σ] et 98.5% dans [x ± 2σ]

Pour les notes des L3 : 75.9% dans [x ±σ] et 93% dans [x ±2σ]

L3

L1 L2

5 10 15 20

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5

note_totale

count

Note totale selon l’année

(10)

Asymétrie

L1 L2 L3

4 8 12 16 20

Note totale selon l’année

Un exemple de mesure d’asymétrie

Coefficient de Yule

comparaison de l’étalement à gauche et à droite entre les quartiles Y = (Q3 − Q2) − (Q2 −Q1)

(Q₃ − Q₂) + (Q₂ −Q₁)

• Y = 0 si Q₁ et Q₃ sont équidistants de Q₂

• Y > 0 : étalement à droite

• Y < 0 : étalement à gauche

(11)

Asymétrie

L1 L2 L3

4 8 12 16 20

Note totale selon l’année

Coef. de Yule

L3 -0.44

L2 0.16

L1 0.11

VI. Indicateurs de concentration

(12)

Concentration

Mesure de répartition des valeurs d’une variable entre les individus

• revenus entre individus

• chiffre d’affaire entre les entreprises d’un secteur Conditions nécessaires à l’étude de la concentration

• l’addition des différentes valeurs prises doit avoir un sens

• le partage de la masse globale du caractère doit être possible

État des ventes de jeux vidéos en décembre 2016

Nombre de ventes en millions Nombre de jeux vidéos

[0.1,0.25[ 9954

[0.25,1[ 4689

[1,2[ 1220

[2,82.5] 856

(13)

Masse et parts de masse

Masse globale

Volume total de valeurs de la variable :

n

X

i=1

x_i =

K

X

k=1

n_km_k

Masse d’une classe

Volume de valeurs de la variable détenu par les individus d’une classe : n_k × m_k ou n_k ×c_k

Part de masse d’une classe

Part de la masse totale détenue par les individus d’une classe : g_k = n_k × m_k

P_n

i=1x_i ou g_k ' n_k ×c_k P_n

i=1 x_i

Part de masse cumulée d’une classe

G_k = g₁ + g₂ + · · ·+g_k

Jeux vidéos

Effectif Masse Part de masse [0.1,0.25[ 9954 901.92 0.1011

[0.25,1[ 4689 2304.46 0.2584

[1,2[ 1220 1687.04 0.1891

[2,82.5] 856 4025.66 0.4514

Effectif Masse Part de masse Fréquence

[0.1,0.25[ 9954 901.92 0.1011 0.5954

[0.25,1[ 4689 2304.46 0.2584 0.2805

[1,2[ 1220 1687.04 0.1891 0.0730

[2,82.5] 856 4025.66 0.4514 0.0512

Total 16719 8919.08 1 1

(14)

Jeux vidéos

Masse Masse Part de Part de masse cumulée masse g_k cumulée G_k [0.1,0.25[ 901.92 901.92 0.1011 0.1011

[0.25,1[ 2304.46 3206.38 0.2584 0.3595 [1,2[ 1687.04 4893.42 0.1891 0.5486 [2,82.5] 4025.66 8919.08 0.4514 1

Médiale

Plus petite valeur de la variable telle que les individus prenant une valeur inférieure ou égale représentent 50 % de la masse totale de la variable

Part de masse cumulée [0.1,0.25[ 0.1011

[0.25,1[ 0.3595 [1,2[ 0.5486 [2,82.5] 1.0000

Les 1 743 000 jeux (titres) les moins vendus correspondent à la moitité du volume des ventes.

(15)

Fréquence Part de masse cumulée cumulée [0.1,0.25[ 0.5954 0.1011

[0.25,1[ 0.8758 0.3595 [1,2[ 0.9488 0.5486 [2,82.5] 1.0000 1.0000

Les 886 millers dejeux vidéos les moins vendus correspondent à la moitié des titres proposés à la vente en 2016.

Écart médiale-médiane

M` −Me > 0

L’écart médiale-médiane est un indicateur de disparité.

• ne prend pas en compte de façon globale toutes les disparités entre les fréquences cumulées et les parts cumulées

Courbe de concentration

Parts de masse cumulée en fonction des fréquences cumulées

[0.25,1[ 0.8758 0.3595 [1,2[ 0.9488 0.5486

[2,82.5] 1.0000 1.0000 ^0.93

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Courbe de concentration des ventes de jeux vidéos

(16)

Exemple de situation presque égalitaire

5 jeux vidéos différents vendus à

100 000, 100 001, 100 002, 100 003, 100 004 exemplaires m_k n_k f_k F_k g_k G_k

100 000 1 0.2 0.2 0.199996 0.199996 100 001 1 0.2 0.4 0.199998 0.399994 100 002 1 0.2 0.6 0.200000 0.599992 100 003 1 0.2 0.8 0.200002 0.799990

100 004 1 0.2 1 0.200004 1

Exemple de situation très inégalitaire

5 jeux vidéos différents vendus à 1, 2, 3, 4, 500 000 exemplaires m_k n_k f_k F_k g_k G_k

1 1 0.2 0.2 0.00002 0.00002 2 1 0.2 0.4 0.00004 0.00006 3 1 0.2 0.6 0.00006 0.00012 4 1 0.2 0.8 0.00008 0.00020

500 000 1 0.2 1 0.99998 1

(17)

Indicateur global de disparité

Indice de Gini

I_G correspond à 2 fois l’aire entre la courbe de concentration et la droite d’égalité parfaite

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Indicateur global de disparité

Indice de Gini

I_G correspond à 2 fois l’aire entre la courbe de concentration et la droite d’égalité parfaite

Propriétés

• 0 6 I_G 6 1

• Plus l’indice de Gini est proche de 1, plus la concentration est forte donc plus les inégalités sont fortes.

• Plus l’indice de Gini est proche de 0, plus la concentration est faible donc plus les inégalités sont faibles.

(18)

Calcul d’un indice de Gini

A₁

A₂

A₃ A₄

S

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Courbe de concentration des ventes de jeux vidéos

Calcul d’un indice de Gini

[0.25,1[ 0.8758 0.3595 [1,2[ 0.9488 0.5486

[2,82.5] 1.0000 1.0000 _A

1

A₂ A₃

A₄

S

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

I_G = 1− 2×

K

X

k=1

G_i₋₁ + G_i

2 (F_i − F_i₋₁) = 1−

K

X

k=1

(G_i−1 + G_i)f_i avec G₀ = 0

(19)

Véritable courbe de concentration

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Courbe de concentration des ventes de jeux vidéos

I

_G

= 0.716

(20)

Remarques diverses sur l’indice de Gini

+ Insensible à l’unité de mesure

– Si on augmente tout le monde d’un même pourcentage, la courbe de concentration et l’indice de Gini ne change pas.

+ Si on augmente tout le monde de la même quantité, l’indice de Gini diminue.

– Un même indice de Gini peut correspondre à des situations très différentes.

Situation A

m_k n_k f_k F_k g_k G_k 1 000 1 0.5 0.5 0.091 0.091

10 000 1 0.5 1 0.919 1

I_G^A = 0.409

Situation B (+1000 à tout le monde) m_k n_k f_k F_k g_k G_k 2 000 1 0.5 0.5 0.154 0.154

11 000 1 0.5 1 0.846 1

I_G^B = 0.346 < I_G^A

Situation C (+10% à tout le monde) m_k n_k f_k F_k g_k G_k 1 100 1 0.5 0.5 0.091 0.091

11 000 1 0.5 1 0.919 1

I_G^C = I_G^A