Contribution à la synthèse et l’optimisation multi-objectif par essaims particulaires de lois de commande robuste RST de systèmes dynamiques

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multi-objectif par essaims particulaires de lois de commande robuste RST de systèmes dynamiques

Riadh Madiouni

To cite this version:

Riadh Madiouni. Contribution à la synthèse et l’optimisation multi-objectif par essaims particu- laires de lois de commande robuste RST de systèmes dynamiques. Informatique et langage [cs.CL].

Université Paris-Est, 2016. Français. �NNT : 2016PESC1053�. �tel-01501689�

UNIVERSIT´ E PARIS-EST

ECOLE DOCTORALE (ED 532) ´

MATH´ EMATIQUES ET SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE L’INFORMATION ET DE LA COMMUNICATION (MSTIC)

TH` ESE DE DOCTORAT

AVEC L’ ´ ECOLE NATIONALE D’ING ´ ENIEURS DE TUNIS (ENIT) SP´ ECIALIT´ E INFORMATIQUE

par

Riadh MADIOUNI

Contribution ` a la synth` ese et l’optimisation multi-objectif par essaims particulaires de lois de commande robuste RST de syst` emes dynamiques

soutenue le 20 juin 2016 devant le Jury d’examen :

M. Faouzi BOUANI Professeur des Universit´ es Pr´ esident Mme. Lætitia JOURDAN Professeur des Universit´ es Rapporteur M. Nacer K. M’SIRDI Professeur des Universit´ es Rapporteur

M. Soufi` ene BOUALL` EGUE Maˆıtre Assistant Co-encadrant de Th` ese

M. Joseph HAGG` EGE Maˆıtre de Conf´ erences Directeur de Th` ese

M. Patrick SIARRY Professeur des Universit´ es Directeur de Th` ese

A la m´ ` emoire de mon p` ere Ali

A Hala, notre petite princesse `

Remerciements

Je tiens tout d’abord ` a adresser mes plus vifs remerciements aux Directeurs de cette th` ese, Messieurs Patrick Siarry, Joseph Hagg` ege, et Mohamed Soufi` ene Bouall` egue, pour leur direction avis´ ee et exigeante, leurs qualit´ es humaines et scientifiques et leur soutien constant tout au long de cette Th` ese.

Je voudrais aussi exprimer ma gratitude ` a Madame Lætitia Jourdan, Professeur ` a l’Uni- versit´ e Lille 1, ` a Monsieur M. Nacer K. M’Sirdi, Professeur l’Universit´ e Aix Marseille et Monsieur Faouzi Bouani, Professeur ` a l’ENIT et Directeur du Laboratoire LACS, qui ont bien voulu prendre de leur temps pour ´ evaluer mon travail et donner leur avis. Leur jugement m’est tr` es important.

Je souhaite ´ egalement exprimer ma reconnaissance envers tous les membres du LiSSi et du LARA, pour toutes les conversations scientifiques ou non que l’on a pu avoir. Je remercie aussi Madame Sylvie Cach de l’ED MSTIC pour sa gentillesse et son aide.

Ce travail n’aurait pas pu ˆ etre r´ ealis´ e sans le soutien de ma famille, que je remercie tout particuli` erement. Un grand merci ` a ma m` ere H´ edia, ` a mon fr` ere Mohamed et ma soeur Souhir, qui m’ont soutenu tout au long de mes ´ etudes et dont je serai ind´ efiniment redevable.

Je tiens ` a pr´ esenter mes reconnaissances et mes remerciements ` a ma femme Hiba, qui

n’a jamais cess´ e de me soutenir pour que je puisse finir ce travail doctoral et ` a qui je

voudrais exprimer mes affections et mes gratitudes.

R´ esum´ e

Ces travaux de recherche portent sur la synth` ese syst´ ematique et l’optimisation de cor- recteurs num´ eriques ` a structure polynomiale RST par approches m´ etaheuristiques. Les probl` emes classiques de placement de pˆ oles et de calibrage des fonctions de sensibilit´ e de la boucle ferm´ ee RST sont formul´ es sous forme de probl` emes d’optimisation multi-objectif sous contraintes pour lequel des algorithmes m´ etaheuristiques de type NSGA-II, MODE, MOPSO et epsilon-MOPSO sont propos´ es et adapt´ es.

Deux formulations du probl` eme de synth` ese RST ont ´ et´ e propos´ ees. La premi` ere ap- proche, formul´ ee dans le domaine temporel, consiste ` a minimiser des indices de perfor- mance, de type IAE et MO, issus de la th´ eorie de la commande optimale et li´ es essen- tiellement ` a la r´ eponse indicielle du syst` eme corrig´ e. Ces crit` eres sont optimis´ es sous des contraintes non analytiques d´ efinis par des gabarits temporels sur la dynamique de la boucle ferm´ ee. Dans la deuxi` eme approche de synth` ese RST, une formulation dans le domaine fr´ equentiel est retenue. La strat´ egie propos´ ee consiste ` a d´ efinir et calculer une fonction de sensibilit´ e de sortie d´ esir´ ee en satisfaisant des contraintes de robustesse de type H _∞ . L’utilisation des parties fixes dans la fonction de sensibilit´ e de sortie d´ esir´ ee assurera un placement partiel des pˆ oles de la boucle ferm´ ee RST. L’inverse d’une telle fonction de sensibilit´ e d´ esir´ ee d´ efinira le filtre de pond´ eration H _∞ associ´ e.

Un int´ erˆ et particulier est port´ e ` a l’approche d’optimisation par essaim particuli` ere

PSO pour la r´ esolution des probl` emes multi-objectif de commande reformul´ es. Un al-

gorithme MOPSO ` a grille adaptative est propos´ e et puis perfectionn´ e ` a base des concepts

de l’epsilon-dominance. L’algorithme epsilon-MOPSO obtenu a montr´ e, par comparaison

avec les algorithmes MOPSO, NSGA-II et MODE, des performances sup´ erieures en termes

de diversit´ e des solutions de Pareto et de rapidit´ e en temps de convergence. Des m´ etriques

de type distance g´ en´ erationnelle, taux d’erreurs et espacement sont toutefois consid´ er´ ees

pour l’analyse statistique des r´ esultats de mise en œuvre obtenus. Une application ` a la

commande en vitesse variable d’un moteur ´ electrique DC est effectu´ ee, ´ egalement pour la

commande en position d’un syst` eme de transmission flexible ` a charges variables. La mise

en œuvre par simulations num´ eriques sur les proc´ ed´ es consid´ er´ es est ´ egalement pr´ esent´ ee dans le but de montrer la validit´ e et l’efficacit´ e de l’approche de commande optimale RST propos´ ee.

Mots cl´ es : Optimisation multi-objectif, optimalit´ e de Pareto, essaims particulaires

MOPSO, epsilon-dominance, algorithmes g´ en´ etiques NSGA-II, ´ evolution diff´ erentielle

MODE, commande polynomiale RST, robustesse H ∞ , performances nominales, gabarits

fr´ equentiels, transmission flexible.

Abstract

This research focuses on the systematic synthesis and optimization of digital RST struc- ture based controllers thanks to global metaheuristics approaches. The classic and hard problems of closed-loop poles placement and sensitivity functions shaping of RST control are well formulated as constrained multi-objective problems to be solved with propo- sed metaheuristics algorithms such as NSGA-II, MODE, MOPSO and especially epsilon- MOPSO.

Two formulations of the metaheuristics-tuned RST problem have been proposed. The first one, which is given in the time domain, deals with the minimization of several perfor- mance criteria like the Integral Absolute Error (IAE) and the Maximum Overshoot (MO) indices. These optimal criteria, related primarily to the step response of the controlled plant, are optimized under non-analytical constraints defined by temporal templates on the closed-loop dynamics. In the second approach, a formulation in the frequency domain is retained. The proposed strategy aims to optimize a desired output sensitivity function satisfying H ∞ robustness constraints. The use of a suitable fixed parts of the optimized output sensitivity function will provide partial poles placement of the closed-loop dyna- mics of the digital RST controller. The opposite of such desired sensitivity function will define the associated H _∞ weighting filter.

The Multi-Objective Particle Swarm Optimization (MOPSO) technique is particularly

retained for the resolution of all formulated multi-objective RST control problems. An

adaptive grid based MOPSO algorithm is firstly proposed and then improved based on

the epsilon-dominance concepts. Such proposed epsilon-MOPSO algorithm, with a good

diversity of the provided Pareto solutions and fast convergence time, showed a remarkable

superiority compared to the standard MOPSO, NSGA-II and MODE algorithms. Perfor-

mance metrics, such as generational distance, error rate and spacing, are presented for

the statistical analysis of the achieved multi-optimization results. An application to the

variable speed RST control of an electrical DC drive is performed, also for the RST posi-

tion control of a flexible transmission plant with varying loads. Demonstrative simulations

and comparisons are carried out in order to show the validity and the effectiveness of the proposed metaheuristics-based tuning of the RST control approach, which is formulated in the multi-objective optimization framework.

Keywords : Multi-objective Optimization, Pareto optimality, Particle Swarm Optimiza-

tion MOPSO, epsilon-dominance, Non-dominated Sorting Genetic Algorithm NSGA-II,

Differential Evolution MODE, digital RST control, H ∞ robustness, nominal performances,

frequency templates, flexible transmission system.

Table des mati` eres

Remerciements v

R´ esum´ e vii

Abstract ix

Table des figures xvi

Liste des tableaux xx

Introduction g´ en´ erale xxiii

1 Contexte et ´ etat de l’art sur la synth` ese et l’optimisation de la com-

mande robuste 1

1.1 Introduction . . . . 1

1.2 G´ en´ eralit´ es sur la commande des syst` emes dynamiques . . . . 2

1.2.1 Structure des syst` emes ` a commande num´ erique . . . . 2

1.2.2 Mod´ elisation pour la commande . . . . 3

1.2.3 Synth` ese de la commande . . . . 4

1.2.4 La robustesse et les incertitude . . . . 4

1.3 Commande robuste . . . . 4

1.3.1 Principe et concepts de base . . . . 4

1.3.2 Techniques de commande robuste . . . . 5

1.3.2.1 La commande H ∞ . . . . 5

1.3.2.2 La commande mixte H 2 / H ∞ . . . . 6

1.3.2.3 La commande adaptative . . . . 6

1.3.2.4 La commande pr´ edictive . . . . 7

1.3.2.5 La commande multi-mod` ele . . . . 9

1.3.2.6 La commande CRONE . . . . 10

1.3.2.7 La commande polynˆ omiale ` a structure RST . . . . 11

1.3.2.8 La commande par logique floue . . . . 11

1.3.2.9 La commande neuronale . . . . 12

1.3.2.10 La commande neuro-floue . . . . 14

1.4 Complexit´ e de la synth` ese et recours ` a l’optimisation . . . . 15

1.4.1 Probl` emes complexes de synth` ese de commande robuste . . . . 15

1.4.1.1 Synth` ese de r´ egulateurs RST . . . . 15

1.4.1.2 Synth` ese et r´ eglage des contrˆ oleurs flous . . . . 15

1.4.1.3 Synth` ese de la commande H _∞ . . . . 15

1.4.2 Solution propos´ ee . . . . 16

1.4.3 Th´ eorie de l’optimisation continue dynamique . . . . 16

1.4.3.1 Principe g´ en´ eral . . . . 16

1.4.3.2 Classification des m´ ethodes d’optimisation . . . . 19

1.4.3.3 Heuristiques et m´ etaheuristiques . . . . 21

1.5 M´ etaheuristiques pour l’optimisation difficile . . . . 21

1.5.1 G´ en´ eralit´ es et concepts de base . . . . 21

1.5.2 M´ etaheuristiques ` a solution unique . . . . 22

1.5.2.1 M´ ethode GRASP . . . . 22

1.5.2.2 Recuit simul´ e . . . . 24

1.5.2.3 M´ ethode de recherche tabou . . . . 26

1.5.3 M´ etaheuristiques ` a population de solutions . . . . 26

1.5.3.1 Algorithmes d’intelligence en essaim . . . . 27

1.5.3.2 Algorithmes ´ evolutionnaires . . . . 31

1.6 Optimisation multiobjectif de lois de commande robuste RST : position du probl` eme . . . . 34

1.7 Conclusion . . . . 36

2 Algorithmes ´ evolutionnaires d’optimisation multi-objectif 37 2.1 Introduction . . . . 37

2.2 Optimisation multi-objectif difficile . . . . 38

2.2.1 Notion de probl` eme d’optimisation multi-objectif contraint . . . . 38

2.2.2 Notion de dominance . . . . 39

2.2.3 Approche agr´ egative . . . . 40

Table des mati` eres xiii

2.2.4 Approche non Pareto . . . . 41

2.2.5 Approche Pareto . . . . 41

2.3 Concepts de base des algorithmes ´ evolutionnaires . . . . 43

2.4 Algorithmes g´ en´ etiques multi-objectif . . . . 45

2.4.1 Principe de base d’un algorithme g´ en´ etique mono-objectif . . . . . 45

2.4.2 Param` etres de contrˆ ole de l’algorithme . . . . 47

2.4.3 Techniques et processus d’´ evolution des g´ en´ erations . . . . 47

2.4.4 Pseudo code de l’algorithme . . . . 48

2.4.5 Algorithmes g´ en´ etiques pour l’optimisation multi-objectif . . . . 48

2.4.5.1 L’algorithme NPGA . . . . 49

2.4.5.2 L’algorithme MOGA . . . . 52

2.4.5.3 L’algorithme MOMGA . . . . 53

2.4.6 Etude de l’algorithme NSGA-II . . . . 54

2.4.6.1 Principe et origines . . . . 54

2.4.6.2 Calcul de la distance de surpeuplement . . . . 56

2.4.6.3 Pseudo-code de l’algorithme NSGA-II . . . . 57

2.5 Algorithmes d’´ evolution diff´ erentielle multi-objectif . . . . 58

2.5.1 Aper¸cu historique . . . . 58

2.5.2 Principe et concept de base . . . . 60

2.5.2.1 Sch´ emas de mutation . . . . 60

2.5.2.2 Op´ erateur de s´ election . . . . 61

2.5.2.3 Pseudo-code de l’algorithme MODE . . . . 62

2.6 M´ etriques de performance en optimisation multi-objectif . . . . 64

2.6.1 Distance g´ en´ erationnelle . . . . 64

2.6.2 Espacement . . . . 64

2.6.3 Rapport d’erreur . . . . 65

2.6.4 Conclusion . . . . 65

3 Perfectionnement d’un algorithme d’optimisation par essaim particu- laire multi-objectif 67 3.1 Introduction . . . . 67

3.2 L’optimisation par essaim particulaire . . . . 68

3.2.1 Formulation math´ ematique . . . . 68

3.2.2 L’algorithme PSO . . . . 69

3.2.3 Confinement des particules . . . . 70

3.2.4 Param` etres de l’algorithme PSO . . . . 72

3.2.4.1 Coefficients de confiance . . . . 72

3.2.4.2 Coefficient de constriction . . . . 72

3.2.4.3 Facteur d’inertie . . . . 73

3.2.5 Topologie du voisinage . . . . 74

3.2.6 Hybridations de l’algorithme PSO . . . . 75

3.3 Algorithme MOPSO propos´ e . . . . 76

3.3.1 Description de l’approche . . . . 76

3.3.2 Archive externe . . . . 79

3.3.3 Contrˆ oleur d’archive . . . . 80

3.3.4 Grille adaptative . . . . 80

3.3.5 Pseudo-code de l’algorithme . . . . 81

3.4 Perfectionnement de l’algorithme MOPSO propos´ e . . . . 83

3.4.1 M´ ethode d’epsilon-dominance . . . . 83

3.4.2 Algorithme epsilon-MOPSO propos´ e . . . . 85

3.5 Mise en oeuvre et comparaison avec les techniques NSGA-II et MODE . . 86

3.6 Conclusion . . . . 95

4 Synth` ese de r´ egulateurs polynomiaux RST par l’algorithme epsilon- MOPSO 97 4.1 Introduction . . . . 97

4.2 Synth` ese de r´ egulateurs num´ eriques RST . . . . 98

4.2.1 Structure RST de r´ egulateurs num´ eriques . . . . 98

4.2.2 Approche de synth` ese par placement de pˆ oles . . . 100

4.2.3 Approche par placement de pˆ oles et calibrage des fonctions de sensibilit´ e . . . 101

4.2.3.1 Principe de base . . . 101

4.2.3.2 Fonctions de sensibilit´ e . . . 102

4.2.3.3 Calcul de la dynamique de r´ egulation . . . 103

4.2.3.4 Calcul de la dynamique de poursuite . . . 103

4.3 Synth` ese RST par la technique epsilon-MOPSO propos´ ee . . . 104

4.3.1 Crit` eres de performance et contraintes pour la synth` ese . . . 104

4.3.1.1 Crit` eres de performances temporels . . . 104

Table des mati` eres xv

4.3.1.2 Crit` eres de performances fr´ equentiels . . . 105

4.3.1.3 Contraintes de robustesse et de performance nominale . . 105

4.3.2 Formulation du probl` eme d’optimisation . . . 106

4.3.3 Mise en oeuvre pour la commande en vitesse d’un moteur DC . . . 107

4.3.3.1 Description du proc´ ed´ e . . . 107

4.3.3.2 R´ esultats de simulation et discussion . . . 107

4.4 Calibrage de fonctions de sensibilit´ e par la technique epsilon-MOPSO . . . 113

4.4.1 Formulation du probl` eme d’optimisation . . . 113

4.4.2 Fonctions de sensibilit´ e d´ esir´ ees . . . 113

4.4.3 Crit` eres de performance . . . 115

4.4.4 Contraintes d’optimisation . . . 116

4.4.5 Probl` eme de synth` ese RST multi-objectif formul´ e . . . 116

4.4.6 Mise en oeuvre de l’approche de synth` ese propos´ ee . . . 117

4.4.6.1 Description du syst` eme ` a commander . . . 117

4.4.6.2 R´ esultats de simulation et discussion . . . 118

4.5 Conclusion . . . 125

Conclusion g´ en´ erale 127

Annexe : Fonctions de test pour l’optimisation MO 131

Bibliographie 133

Table des figures

1.1 Sch´ ema synoptique d’un processus command´ e. . . . 3

1.2 Forme standard de la synth` ese H ∞ . . . . 5

1.3 Forme standard de la synth` ese mixte H 2 / H ∞ . . . . 6

1.4 Principe de la commande adaptative directe. . . . 8

1.5 Principe de la commande adaptative indirecte. . . . 8

1.6 Principe de la commande pr´ edictive GPC. . . . 9

1.7 Principe de la commande multi-mod` ele. . . . 10

1.8 Structure de la commande polynˆ omiale RST. . . . 11

1.9 Synoptique d’un r´ egulateur par logique floue. . . . 12

1.10 Exemple d’une structure de commande neuronale en phase d’apprentissage. 13 1.11 Exemple d’une structure de commande neuro-floue. . . . 14

1.12 La fonction f (x) = x ⁴ − 12x ³ + 47x ² − 60x, indiquant le minimum global x ^∗ ainsi que le minimum local x ^∗ _B . . . . 18

1.13 Classification possible des diff´ erents types de m´ ethodes d’optimisation [Col- lette & Siarry, 2004]. . . . 20

1.14 D´ eplacement d’une particule dans l’essaim. . . . 30

1.15 Facult´ e d’une colonie de fourmis ` a retrouver le plus court chemin, fortuite- ment obstru´ e par un obstacle [Tfaili, 2012]. . . . 31

1.16 Principe d’un algorithme ´ evolutionnaire standard [Coello.Coello et al., 2007]. 32 2.1 Repr´ esentation de l’espace de recherche et de son image par la fonction multi-objectif. . . . 39

2.2 Illustration de la notion de dominance pour un probl` eme d’optimisation bi-objectif. . . . 40

2.3 Illustration de la m´ ethode d’agr´ egation en cas d’optimisation bi-objectif :

(a) Une fronti` ere de Pareto convexe, (b) Une fronti` ere de Pareto non

convexe. A : domaine r´ ealisable. . . . 41

2.4 Front de Pareto dans le cas d’optimisation bi-objectif. . . . 42

2.5 Composants cl´ es de l’EA [Coello.Coello et al., 2007]. . . . 43

2.6 Mutation au niveau d’un bit. . . . 44

2.7 Croisement en un seul point. . . . 44

2.8 Organigramme d’un AG standard. . . . 46

2.9 Croisement en un point de deux chaˆınes. . . . 47

2.10 Mutation de bit dans une chaˆıne. . . . 47

2.11 S´ election d’individus avec le NPGA (d’apr` es Horn et al. [Horn & Nafplio- tis,1993]). . . . 51

2.12 Principe de l’algorithme NSGA-II [Deb et al., 2002]. . . . 56

2.13 Distance de crowding (surpeuplement) : cas d’un probl` eme bi-objectif. . . . 57

3.1 Illustration du d´ eplacement d’une particule dans l’espace de recherche en combinant les trois tendances du mouvement. . . . 70

3.2 Diff´ erents types de topologie pour un essaim de particules : (a) en cercle, (b) en rayon, (c) en ´ etoile. . . . 75

3.3 Les cas possibles pour le contrˆ oleur d’archive. . . . . 81

3.4 Repr´ esentation graphique de l’insertion d’une nouvelle solution dans la grille adaptative lorsque la particule se situe dans les fronti` eres de la grille. 81 3.5 Repr´ esentation graphique de l’insertion d’une nouvelle solution dans la grille adaptative lorsque la particule se trouve en dehors des fronti` eres de la grille. . . . 82

3.6 Concept de la technique d’epsilon-dominance en optimisation multi-objectif. 84 3.7 Illustration du choix des solutions non domin´ ees dans l’epsilon-Archive. . . 85

3.8 Fronts de Pareto produits pour la fonction de test F1. . . . 87

3.9 Fronts de Pareto produits pour la fonction de test F2. . . . 88

3.10 Fronts de Pareto produits pour la fonction de test F3. . . . 88

3.11 Fronts de Pareto produits pour la fonction de test F4. . . . 88

3.12 Front de Pareto produit pour la fonction de test F1. . . . 92

3.13 Fronts de Pareto produits pour la fonction de test F5. . . . 92

3.14 Fronts de Pareto produits pour la fonction de test F6. . . . 93

3.15 Fronts de Pareto produits pour la fonction de test F7. . . . 93

4.1 Boucle de r´ egulation num´ erique avec un correcteur RST. . . . 98

4.2 Formes g´ en´ erales des gabarits sur les fonctions de sensibilit´ e [Zito, 2005]. . 102

Table des figures xix

4.3 Fronts de Pareto des algorithmes pour la r´ esolution du probl` eme (4.37). . . 109

4.4 Robustesse de l’algorithme epsilon-MOPSO vis-` a-vis la variation param´ etrique du facteur d’inertie. . . 110

4.5 Dynamique de convergence des algorithmes pour l’objectif f ₁ (θθθ) . . . 110

4.6 Dynamique de convergence des algorithmes pour l’objectif f ₂ (θθθ) . . . 111

4.7 R´ eponse fr´ equentielle de la fonction de sensibilit´ e de sortie S _yp (θθθ ^∗ ) . . . 111

4.8 R´ eponse fr´ equentielle de la fonction de sensibilit´ e d’entr´ ee S _up (θθθ ^∗ ) . . . 112

4.9 R´ eponses indicielles du syst` eme en boucle ferm´ ee. . . 112

4.10 Diagramme sch´ ematique de la transmission flexible [Landau & Karimi, 1998].117 4.11 Les r´ eponses fr´ equentielles des mod` eles en boucle ouverte. . . . 119

4.12 Emplacement des pˆ oles et des z´ eros du mod` ele sans charge. . . 120

4.13 Temps de calcul des algorithmes pour l’optimisation du correcteur RST : cas du premier mod` ele du syst` eme. . . 121

4.14 Fronts de Pareto des algorithmes pour le premier mod` ele du syst` eme. . . . 122

4.15 R´ eponse fr´ equentielle de la fonction de sensibilit´ e de sortie du syst` eme. . . 123

4.16 R´ eponse fr´ equentielle de la fonction de sensibilit´ e d’entr´ ee du syst` eme. . . . 124

4.17 R´ eponses indicielles du syst` eme avec le correcteur RST optimis´ e. . . 124

Liste des tableaux

3.1 Temps de simulation en seconde des algorithmes propos´ es. . . . 87

3.2 La m´ etrique GD obtenu pour les fonctions de test. . . . 89

3.3 La m´ etrique SP obtenu pour les fonctions de test. . . . 90

3.4 La m´ etrique ER obtenu pour les fonctions de test. . . . 91

3.5 R´ esultats pour la fonction F1 ` a deux objectifs. . . . 93

3.6 R´ esultats pour la fonction F5 ` a deux objectifs. . . . 94

3.7 R´ esultats pour la fonction F6 ` a trois objectifs. . . . 94

3.8 R´ esultats pour la fonction F7 ` a trois objectifs. . . . 94

4.1 Param` etres identifi´ es du moteur DC. . . 107

4.2 R´ esultats d’optimisation du probl` eme (4.37), cas moyen. . . 108

4.3 Temps de calcul relatif aux algorithmes d’optimisation propos´ es. . . 108

4.4 Pˆ oles et z´ eros du syst` eme de transmission flexible. . . 120

4.5 Coefficients optimis´ es de la fonction de sensibilit´ e d´ esir´ ee RST. . . 121

Introduction g´ en´ erale

La commande robuste a attir´ e l’attention d’un nombre important d’automaticiens du- rant les derni` eres d´ ecennies. Plusieurs approches, d´ evelopp´ ees dans ce cadre, ont trouv´ e de plus en plus d’applications dans la conduite de proc´ ed´ es industriels. Le probl` eme de garan- tie de la robustesse dans le cas d’incertitudes param´ etriques a suscit´ e un grand int´ erˆ et de la part des ing´ enieurs. En effet, la prise en compte des imperfections de la mod´ elisation et des perturbations externes est devenue un objectif incontournable en commande robuste.

Parmi les probl` emes rencontr´ es dans ce formalisme, de plus en plus complexes et d´ elicats, figurent en premier lieu, ceux li´ es ` a la synth` ese de correcteurs robustes ` a structure ca- nonique RST. Ce type de correcteurs polynomiaux num´ eriques est d’une utilisation tr` es r´ epandue pour la conduite de proc´ ed´ es industriels vari´ es.

D’un autre cˆ ot´ e, le recours aux m´ etaheuristiques et ` a la th´ eorie de l’optimisation difficile pour la r´ esolution de probl` emes g´ en´ eriques en automatique, tels que pour l’identification des mod` eles dynamiques, l’analyse et la synth` ese de structures de commande robustes et performantes, a connu un essor particulier durant ces derni` eres d´ ecennies. La recherche d’une m´ ethode syst´ ematique de synth` ese permettant l’´ elaboration de lois de commande ro- buste, tout en r´ eduisant au mieux le temps de conception et les ressources de calcul, consti- tue une pr´ eoccupation d’actualit´ e dans la recherche en th´ eorie de la commande robuste.

Pour mieux g´ erer cette complexit´ e, le recours ` a la th´ eorie de l’optimisation pr´ esente une solution prometteuse, surtout avec les puissances de calcul et des logiciels de CAO ` a dis- position. Les probl` emes de synth` ese, en particulier ceux relatifs ` a la commande num´ erique polynomiale RST, peuvent ˆ etre reformul´ es sous forme de probl` emes d’optimisation multi- crit` eres pour lesquels une multitude d’algorithmes m´ etaheuristiques peuvent ˆ etre adopt´ ee.

Nos travaux de recherche rentrent ainsi dans ce cadre et tentent de d´ evelopper des lois

de commande robuste RST en se basant sur des approches m´ etaheuristiques globales. Un

int´ erˆ et particulier est port´ e ` a la technique d’optimisation par essaims particulaires PSO,

jug´ ee plus robuste et plus performante que ses homologues. Une formulation dans le cadre de l’optimisation multi-objectif de cette technique est propos´ ee. La mˆ eme m´ ethode est ensuite perfectionn´ ee, selon les concepts de l’epsilon-dominance, dans le but d’am´ eliorer les capacit´ es de son algorithme en termes de rapidit´ e de convergence et de diversit´ e des so- lutions de Pareto obtenues. L’algorithme perfectionn´ e epsilon-MOPSO ainsi impl´ ement´ e pr´ esentera l’outil de base pour la r´ esolution des diff´ erents probl` emes de synth` ese RST formul´ es. D’autres algorithmes m´ etaheuristiques, en l’occurrence le NSGA-II, le MODE et le MOPSO, sont ´ egalement introduits et mis en œuvre comme supports de comparaison.

Cette th` ese a ´ et´ e pr´ epar´ ee conjointement au sein de l’universit´ e de Paris-Est, dans le Laboratoire Images, Signaux et Syst` emes Intelligents (LiSSi, E.A.3956) et ` a l’Ecole Na- tionale d’Ing´ enieurs de Tunis (ENIT), dans le LAboratoire de Recherche en Automatique (LARA, LR11-ES18). Ce travail a ´ et´ e propos´ e et encadr´ e par Monsieur Joseph Hagg` ege, Maˆıtre de Conf´ erences ` a l’ENIT et Monsieur Patrick Siarry, Professeur des universit´ es et Directeur de l’´ equipe Traitement de l’Image et du Signal SIgnal, IMage et Optimisation (SIMO). Il a ´ et´ e co-encadr´ e par Monsieur Mohamed Soufiene Bouall` egue, Maˆıtre assistant

`

a l’Institut Sup´ erieur des Syst` emes Industriels de Gab` es.

Le plan de ce m´ emoire est organis´ e comme suit : Dans le premier chapitre, nous avons pr´ esent´ e, en premier lieu, des g´ en´ eralit´ es sur la th´ eorie de la commande robuste. Les princi- pales approches de synth` ese ont ´ et´ e ´ evoqu´ ees dans le but de montrer la complexit´ e de leur r´ esolution par des m´ ethodes classiques connues. Les probl` emes de commande num´ erique ` a structure canonique RST de syst` emes complexes ont ´ et´ e plus particuli` erement soulign´ es.

Nous avons clˆ otur´ e ce chapitre par la pr´ esentation de quelques m´ etaheuristiques de voi- sinage et d’autres ` a base de population, plus particuli` erement la m´ ethode des essaims particulaires PSO. Enfin, nous avons justifi´ e le choix de recours ` a l’optimisation multi- objectif comme solution propos´ ee vis-` a-vis la probl´ ematique abord´ ee dans les pr´ esents travaux.

Le deuxi` eme chapitre est consacr´ e, en premier lieu, ` a la pr´ esentation de quelques d´ efiniti-

ons de base et des notations formelles sur les algorithmes ´ evolutionnaires en optimi-

sation multi-objectif. Les d´ efinitions d’un probl` eme d’optimisation multi-objectif sous

contraintes, de la dominance des solutions ainsi que des concepts d’optimalit´ e au sens

de Pareto sont pr´ esent´ ees. En second lieu, ce chapitre pr´ esente aussi une analyse des

xxv algorithmes g´ en´ etiques NSGA, et puis NSGA-II, ainsi que les algorithmes ` a ´ evolution diff´ erentielle MODE. Quelques m´ etriques de mesure de performance des algorithmes m´ etaheuristiques en optimisation multi-objectif sont pr´ esent´ ees en d´ etails afin de pou- voir valider les algorithmes propos´ es.

L’objet du troisi` eme chapitre est de pr´ esenter l’algorithme d’optimisation par essaims particulaires multi-objectif MOPSO qui sera ult´ erieurement l’outil de base pour la r´ esolut- ion des probl` emes de synth` ese RST reformul´ es. Le concept d’epsilon-dominance est intro- duit en vue d’am´ eliorer les capacit´ es de cette approche en termes de rapidit´ e de conver- gence et de diversit´ e des solutions fournies sur les surfaces de compromis. Dans ce cha- pitre, les diff´ erents concepts de base ainsi que le mode de fonctionnement de l’approche MOPSO sont soulign´ ees. Enfin, une mise en œuvre des algorithmes MOPSO, epsilon- MOPSO, NSGA-II et MODE, ainsi que des comparaisons des r´ esultats sont effectu´ ees sur un benchmark de fonctions de test issues de la litt´ erature de l’optimisation multi-objectif.

Le quatri` eme et dernier chapitre de cette th` ese est d´ edi´ e ` a l’application des techniques

m´ etaheuristiques propos´ ees, en particulier l’algorithme perfectionn´ e epsilon-MOPSO, pour

la synth` ese syst´ ematique et ais´ ee de correcteurs num´ eriques ` a structure polynomiale RST

reformul´ ee sous forme de probl` emes d’optimisation multi-objectif. Deux nouvelles formu-

lations de la synth` ese RST ont ´ et´ e propos´ ees dans ce cadre afin de surmonter les probl` emes

d´ elicats de placement des pˆ oles de la boucle ferm´ ee et de calibrage des fonctions de sensibi-

lit´ e. Nous avons commenc´ e par une premi` ere formulation de synth` ese dans le domaine tem-

porel qui consiste ` a minimiser des objectifs de performance issus de la th´ eorie de la com-

mande optimale et li´ es essentiellement ` a la r´ eponse indicielle du syst` eme corrig´ e comme

les crit` eres IAE (Integral Absolute Error) et MO (Maximum Overshoot). Ces crit` eres,

pr´ esentant des gabarits temporels, permettent d’imposer des contraintes non lin´ eaires sur

la dynamique de la boucle ferm´ ee. Dans la deuxi` eme approche, nous avons opt´ e pour une

formulation dans le domaine fr´ equentiel. La strat´ egie propos´ ee consiste ` a d´ efinir et calcu-

ler une fonction de sensibilit´ e de sortie d´ esir´ ee en satisfaisant des contraintes de robustesse

li´ ees ` a la nome H <sub>∞</sub> des filtres de pond´ eration relatifs. La formulation du probl` eme d’opti-

misation est bas´ ee essentiellement sur l’exploitation de l’´ egalit´ e de Zames-Francis, connue

sous le crit` ere int´ egral de Poisson. Des applications sur un moteur ´ electrique de type DC

et un proc´ ed´ e de transmission flexible ` a charges variables sont effectu´ ees dans le but de

montrer l’efficacit´ e de l’approche propos´ ee.

Enfin, dans la conclusion g´ en´ erale du manuscrit, nous r´ ecapitulons nos contributions et

nous proposons des perspectives, sur la base des travaux effectu´ es.

Chapitre 1

Contexte et ´ etat de l’art sur la synth` ese et l’optimisation de la commande robuste

1.1 Introduction

La th´ eorie de la commande robuste a atteint ces derni` eres d´ ecennies un degr´ e de ma- turit´ e remarquable. Beaucoup de techniques de commande sont disponibles, et nombreux sont les probl` emes auxquels sont confront´ es les ing´ enieurs pour commander des syst` emes industriels [Borne et al., 1993a, 1993b].

La recherche d’un outil et d’une proc´ edure qui seront exploitables du point de vue pratique est une exigence d´ esormais. Les th´ eories de synth` ese existantes des proc´ edures r´ ealisant un syst` eme de contrˆ ole ont une complexit´ e remarquable avec un temps d’in- vestissement tr` es important. Face ` a cette complexit´ e, le recours ` a l’optimisation est une m´ ethode prometteuse et syst´ ematique pour la synth` ese des lois de commande robuste.

L’´ evolution et la puissance de la th´ eorie de l’optimisation et l’utilisation de cette derni` ere pour plusieurs probl` emes dans divers domaines justifient davantage son utilisation pour la synth` ese de la commande robuste [Borne et al., 1992a, 1992b].

Ce premier chapitre s’efforce de pr´ esenter d’abord un aper¸cu g´ en´ eral sur la commande

robuste des syst` emes dynamiques. Ensuite, nous pr´ esentons le principe, les concepts de

base et quelques techniques de la commande robuste. Puis nous d´ etaillons les probl` emes

de synth` ese relatifs ` a quelques techniques de commande, ainsi que les diverses m´ ethodes

d’optimisation connues. Enfin, nous justifions nos orientations vers l’optimisation multi-

objectif qui constitue le sujet principal de ce travail de th` ese.

1.2 G´ en´ eralit´ es sur la commande des syst` emes dyna- miques

On rappelle dans cette section quelques notions sur les syst` emes dynamiques et leur commande avant d’aborder la probl´ ematique qui nous int´ eressera par la suite. Aussi, il sera tr` es important de savoir et comprendre ce que l’on entend par ”syst` emes dynamiques”, car ceux-ci constituent la mod´ elisation math´ ematique et la d´ efinition d’une approche de commande [Borne et al., 1993a, 1993b ; Borne et al., 1992a, 1993b ; Bonnet, 2008 ; Ayadi, 2002].

La notion de syst` eme dynamique se rencontre dans tous les ´ el´ ements du monde phy- sique. Tous ces ´ el´ ements sont en ´ evolution continue au cours du temps, et chaque syst` eme d´ epend de l’ensemble des informations qui le caract´ erisent. L’objectif est de commander les syst` emes, c’est-` a-dire imposer un comportement convenable qui tient compte de tous les effets ext´ erieurs [Borne et al., 1992a ; Larminat, 2007 ; B¨ uhler, 1988 ; Thierry, 2000].

Etant donn´ e l’importance de cette phase, la conception doit ˆ etre fiable, en termes de ren- dement du syst` eme sur les plans de la performance et de la qualit´ e. Pour les concepteurs, fournir la m´ ethodologie pour la commande des syst` emes industriels constitue la premi` ere tˆ ache, vu que la mise en oeuvre des strat´ egies de commande touche plusieurs domaines, tels que l’´ electro-hydraulique, l’´ electrom´ ecanique, l’´ electrothermique et l’a´ eronautique.

1.2.1 Structure des syst` emes ` a commande num´ erique

Lorsque l’on envisage la commande d’un syst` eme, la premi` ere ´ etape consiste ` a le mod´ eliser.

Mod´ eliser un syst` eme consiste ` a ´ elaborer un objet math´ ematique qui permet de d´ ecrire et pr´ edire son comportement dynamique lorsque ce dernier est soumis ` a des influences externes. Ceci consiste ` a ´ elaborer un mod` ele math´ ematique permettant d’appliquer des m´ ethodes pour am´ eliorer le comportement dynamique du syst` eme envisag´ e [Green & Li- mebeer, 1995 ; Borne et al., 1992a, 1992b]. Cette phase n´ ecessite la construction d’un mod` ele bien clair et pr´ ecis, souvent complexe, pour la synth` ese d’une loi de commande par des m´ ethodes disponibles.

Comme le montre la figure 1.1, le syst` eme de commande d’un processus dynamique

met en oeuvre une loi de commande ` a partir des informations disponibles sur le mod` ele,

1.2. G´ en´ eralit´ es sur la commande des syst` emes dynamiques 3 les consignes, les mesures de sorties et des informations sur les perturbations et le bruit.

Le comportement dynamique du syst` eme est celui de ses variables de sortie au cours du

Figure 1.1 – Sch´ ema synoptique d’un processus command´ e.

temps, relativement ` a l’´ evolution des variables d’entr´ ee. Ce comportement est ` a distinguer du comportement statique, o` u les variables de sortie reproduisent, ` a un gain pr` es, le comportement des variables d’entr´ ee. Suivant ce que l’on connaˆıt du syst` eme, on peut distinguer deux types de mod` eles :

– le mod` ele de connaissance, o` u apparaissent les ´ equations de fonctionnement du syst` eme, ainsi que ses variables internes ;

– le mod` ele de comportement, qui exprime les relations entre les entr´ ees et les sorties du syst` eme.

Ainsi, commander un syst` eme revient ` a r´ esoudre quelques probl` emes relevant des sciences de l’ing´ enieur et portant sur les notions de mod´ elisation, d’analyse et de synth` ese de lois de commande d´ evelopp´ ees [Zhou et al., 1996 ; Green & Limebeer, 1995 ; Chouiter, 1997, Zhengchao et al., 2015 ; Rotella & Fourquet, 2001].

1.2.2 Mod´ elisation pour la commande

La th´ eorie des syst` emes est fond´ ee sur un paradigme de mod´ elisation. Les entr´ ees-sorties

captent respectivement l’influence de l’environnement sur le syst` eme et celle de ce dernier

sur son environnement. Par cons´ equent, la mod´ elisation est la transcription abstraite d’une

r´ ealit´ e. Comme une premi` ere phase, la mod´ elisation sert ` a donner le mod` ele analytique

convenable du syst` eme en se basant sur des principes de la physique. Les param` etres

du syst` eme sont g´ en´ eralement calcul´ es en se basant sur des observations et des essais

exp´ erimentaux [Borne et al., 1992a, 1992b ; Caron & Hautier, 1995 ; Thierry, 2000].

1.2.3 Synth` ese de la commande

Au centre des pr´ eoccupations de l’automatique, le probl` eme de la synth` ese de la com- mande vis-` a-vis d’incertitudes structur´ ees a suscit´ e un int´ erˆ et consid´ erable durant ces derni` eres d´ ecennies. Ce probl` eme est toujours ouvert, puisqu’il n’existe pas actuellement d’approche permettant de garantir des performances du syst` eme et la facilit´ e des calculs.

G´ en´ eralement, et dans presque tous les cas, la prise en consid´ eration de l’incertitude im- pose n´ ecessairement un degr´ e de complexit´ e assez important [Bernussou & Oustaloup, 2001].

1.2.4 La robustesse et les incertitude

Le probl` eme de robustesse dans le cas des incertitudes param´ etriques a suscit´ e un grand int´ erˆ et de la part des automaticiens. Un syst` eme de commande est dit robuste s’il garan- tit des performances correctes malgr´ e l’incertitude de mod´ elisation et les perturbations affectant le processus ` a commander. La robustesse est mesur´ ee vis-` a-vis des incertitudes de nature et d’origine diff´ erentes.

D’apr` es [Daafouz, 1997 ; Garcia, 1999], l’origine des incertitudes dans un syst` eme est li´ ee

`

a la connaissance imparfaite des param` etres du mod` ele obtenu, les approximations faites lors de la mod´ elisation du proc´ ed´ e ainsi que la pr´ esence de certains ph´ enom` enes physiques qui ne sont pas pris en compte par le mod` ele. Les incertitudes peuvent aussi refl´ eter des perturbations externes intervenant sur les entr´ ees et les sorties du processus et influencer son comportement. On peut noter dans ce cas les bruits de mesure et des perturbations de charge.

1.3 Commande robuste

1.3.1 Principe et concepts de base

La th´ eorie de la commande robuste a attir´ e l’attention des chercheurs comme une th´ ematique en ´ evolution durant ces derni` eres ann´ ees. Elle constitue un outil solide pour la conception des syst` emes industriels ainsi que divers probl` emes pratiques de l’automa- tique. [Bernussou, 1996 ; Rotella & Fourquet, 2001 ; Chouiter, 1997 ; Bonnet, 2008 ; Zhou

& Doyle 1998].

L’importance de la commande robuste revient ` a r´ eduire l’influence des effets ext´ erieurs

1.3. Commande robuste 5 sur la r´ eponse du syst` eme ` a commander. G´ en´ eralement, les syst` emes dynamiques sont sensibles aux perturbations de charge, aux incertitudes de mod´ elisation, aux saturations d’actionneurs et aux bruits de mesure. La commande robuste cherche ` a atteindre plusieurs objectifs, tels que la stabilit´ e et la performance des mod` eles nominaux et incertains.

1.3.2 Techniques de commande robuste

1.3.2.1 La commande H ∞

La th´ eorie de la commande H _∞ a ´ et´ e con¸cue par G. Zames [Zames, 1981], elle n’a connu un r´ eel essor qu’` a la fin des ann´ ees 80, grˆ ace aux travaux de J.C. Doyle [Doyle et al., 1989]. La figure 1.2 montre une repr´ esentation sous forme standard de la synth` ese

Figure 1.2 – Forme standard de la synth` ese H ∞ .

d’un syst` eme dynamique, dans lequel on note u les entr´ ees de commande, y les sorties mesur´ ees, z les sorties ` a contrˆ oler et w les entr´ ees exog` enes. Les blocs P et K pr´ esentent respectivement le mod` ele nominal pond´ er´ e et le correcteur H _∞ recherch´ e. Apr` es le calcul de la fonction de transfert en boucle ferm´ ee entre l’entr´ ee w et la sortie z, la transformation dite fractionnaire lin´ eaire F _l (P, K) est donn´ ee par l’´ equation suivante :

T _wz (s) = P _zw (s) + P _zu (s)K(s)(I _n − P _yu K(s)) ^{− 1} P _yw (s) (1.1)

La synth` ese H ∞ consiste essentiellement ` a chercher une loi de commande qui assure la

stabilit´ e interne du syst` eme et d´ etermine la plus petite valeur de la norme H ∞ du syst` eme

boucl´ e, not´ e ∥ F _l (P, K) ∥ _∞ [Kwakernaak, 1993 ; Duc & Font., 1999 ; Zhou & Doyle, 1998 ;

Hagg` ege et al., 2009].

1.3.2.2 La commande mixte H 2 / H ∞

Pour cette approche de commande et comme cela est montr´ e dans la figure 1.3, le syst` eme poss` ede deux entr´ ees exog` enes w <sub>2</sub> etw <sub>∞</sub> et une entr´ ee de commande u ainsi que, en sorties, z <sub>2</sub> , z <sub>∞</sub> et y constituant la mesure. La sortie et les entr´ ees w <sub>2</sub> et z <sub>2</sub> sont utilis´ ees pour d´ efinir la norme H 2 du syst` eme, tandis que les variables z _∞ et w _∞ sont relatives ` a la norme H ∞ [Arzelier et al., 2002 ; Ho et al., 2005]. La commande mixte H 2 / H ∞ permet de

Figure 1.3 – Forme standard de la synth` ese mixte H 2 / H ∞ .

garantir les performances nominales de la boucle ferm´ ee caract´ eris´ ees par la norme H 2 , sous contrainte de stabilit´ e robuste exprim´ ee par la norme w _∞ . Le probl` eme de synth` ese de la commande mixte H 2 / H _∞ reste toujours ouvert et seuls quelques r´ esultats analytiques sont disponibles ` a ce propos [Rotea & Khargonekar, 1991].

1.3.2.3 La commande adaptative

La commande adaptative a ´ et´ e introduite en 1950 pour pallier au probl` eme de l’insuf- fisance des commandes classiques. Le besoin d’une commande qui permet de r´ epondre aux exigences demand´ ees conduit ` a proposer cette approche qui traduit le comportement du syst` eme. Dans plusieurs applications, les param` etres des syst` emes varient au cours du temps, ce qui ne garantit pas la robustesse des r´ egulateurs ` a param` etres fixes [Astrom

& Wittenmark, 1995 ; Borne et al., 1993b ; Salima, 2009 ; Landau & Dugard, 1996 ; Feng

& Lozano, 1999 ; Landau et al., 1998]. Ainsi, tout changement au niveau des param` etres du syst` eme influe directement sur la performance des r´ egulateurs. Face ` a ce probl` eme, la commande adaptative incorpore un ensemble de techniques qui consistent ` a estimer les param` etres des r´ egulateurs pour assurer la performance du syst` eme ` a contrˆ oler.

La commande adaptative est structur´ ee selon trois cat´ egories : la commande adaptative

1.3. Commande robuste 7 avec mod` ele de r´ ef´ erence, l’approximation des strat´ egies de commande optimale stochas- tique et les syst` emes de commande auto-ajustables. La premi` ere structure de commande adaptative avec mod` ele de r´ ef´ erence a ´ et´ e propos´ ee par Whittaker, Yamron et Kezer [Whi- taker et al., 1958]. Elle est bas´ ee sur une strat´ egie d’identification [Landau et al., 1998]. La deuxi` eme structure a ´ et´ e propos´ ee par Feldbaum en 1963. Cette approche est caract´ eris´ ee par la complexit´ e et la puissance de calcul requise. Tous les param` etres inconnus sont consid´ er´ es comme des ´ etats additionnels du syst` eme qui transforment le probl` eme de commande lin´ eaire en un autre non lin´ eaire. Enfin, la structure de commande adapta- tive auto-ajustable a ´ et´ e propos´ ee en 1958 par Kalman. Cette approche est bas´ ee sur un m´ ecanisme d’adaptation qui permet d’avoir les param` etres auto-ajust´ es ` a chaque instant.

En 1970, Astr¨ om et Wittenmark ont propos´ e une nouvelle structure de r´ egulateurs auto- ajust´ es [Astrom & Wittenmark, 1995]. Deux versions de cette technique de commande sont essentiellement propos´ ees. On cite la commande adaptative directe, dans laquelle les param` etres du r´ egulateur sont directement adapt´ es, moyennant un algorithme d’adap- tation param´ etrique appropri´ e, Figure 1.4, et la commande adaptative indirecte, Figure 1.5. La phase de d´ etermination des param` etres du r´ egulateur ` a partir de ceux du mod` ele de commande est ainsi contourn´ ee. Tous les objectifs de commande, pour lesquels il est possible de d´ ecrire le comportement entr´ ee-sortie du syst` eme sous une forme lin´ eaire par rapport aux param` etres du r´ egulateur, peuvent ˆ etre consid´ er´ es. Le traitement des donn´ ees et la supervision sont utilis´ es pour les mˆ emes consid´ erations que la commande adaptative indirecte, deuxi` eme version de la structure d’Astrom et Wittermark propos´ ee.

Pour la commande adaptative indirecte, Figure 1.5, un mod` ele de comportement entr´ ee- sortie du syst` eme ` a commander est continˆ ument mis ` a jour et est utilis´ e pour la synth` ese du r´ egulateur, comme s’il ´ etait le meilleur mod` ele de commande que l’on aurait utilis´ e. Les param` etres du r´ egulateur sont ainsi adapt´ es de mani` ere ` a r´ ealiser les performances requises et une estimation des param` etres du processus par une proc´ edure d’identification est n´ ecessaire. Le bloc de supervision permet d’assurer l’int´ egrit´ e du syst` eme de commande, conform´ ement aux r´ esultats de stabilit´ e, de convergence et de robustesse disponibles dans la litt´ erature [Salima, 2009 ; Landau & Dugard, 1996].

1.3.2.4 La commande pr´ edictive

Propos´ ee ` a l’origine par J. Richalet [Richalet, 1993 ; Richalet et al., 1978 ; Richalet et

al., 1976], la commande pr´ edictive ` a base de mod` ele MPC n’a connu un r´ eel essor qu’` a la

fin des ann´ ees 80, grˆ ace aux travaux de D.W. Clarke [Clarke et al., 1987]. Ces travaux ont

Figure 1.4 – Principe de la commande adaptative directe.

Figure 1.5 – Principe de la commande adaptative indirecte.

1.3. Commande robuste 9 g´ en´ eralis´ e cette technique de commande qui est ensuite devenue la commande pr´ edictive g´ en´ eralis´ ee GPC. Le principe de la commande GPC est bas´ e sur l’utilisation d’un mod` ele num´ erique du processus ` a commander pour la pr´ ediction des sorties futures sur un horizon d´ etermin´ e, et ensuite sur la synth` ese d’un syst` eme de commande capable d’anticiper les variations de la consigne, figure 1.6.

Figure 1.6 – Principe de la commande pr´ edictive GPC.

1.3.2.5 La commande multi-mod` ele

L’approche multi-mod` ele est une m´ ethode de commande bas´ ee sur la mod´ elisation multi- mod` ele des syst` emes complexes et non lin´ eaires et pr´ esentant un bon compromis entre la complexit´ e du mod` ele et les performances attendues. Cette approche [Murray-Smith &

Johansen,1997 ; Delmotte, 1997] constitue mˆ eme une alternative int´ eressante, tr` es utilis´ ee actuellement pour la mod´ elisation des syst` emes non lin´ eaires.

Le principe du multi-mod` ele est bas´ e sur la d´ ecomposition du comportement global du

processus dynamique en un nombre fini de zones de fonctionnement partiel. Chaque zone

est caract´ eris´ ee par un sous-mod` ele du processus, dit mod` ele local. L’ensemble de ces

sous-mod` eles, repr´ esentant une formulation math´ ematique simplifi´ ee du syst` eme, forme

ainsi une biblioth` eque de mod` eles qui sert ` a ´ elaborer la loi de commande. Un m´ ecanisme

de d´ ecision sp´ ecifi´ e, par commutation ou par fusion, est adopt´ e afin de tester la validation

de chacun des mod` eles de la biblioth` eque. Cette formulation donne alors naissance aux

r´ egulateurs multi-mod` eles ou plus g´ en´ eralement ` a la multi-commande, dont le principe est

illustr´ e dans la figure 1.7. Dans la litt´ erature, des terminologies ´ equivalentes sont utilis´ ees pour d´ efinir ce type de mod` eles. On parle ainsi de mod` eles flous de Takagi-Sugeno [Takagi

& Sugeno, 1985],de mod` eles lin´ eaires polytopiques (PLM) [Angelis, 2001], etc.

Figure 1.7 – Principe de la commande multi-mod` ele.

1.3.2.6 La commande CRONE

Propos´ ee en 1975 par A. Oustaloup [Oustaloup, 1975], la commande CRONE a connu un v´ eritable essor au cours de ces derni` eres d´ ecennies. Cette technique de commande utilise les d´ eveloppements avanc´ es en th´ eorie de la mod´ elisation des syst` emes fractionnaires utilisant les concepts de la d´ erivation non enti` ere. La mise en oeuvre pratique de cette th´ eorie de commande a connu un succ` es remarquable dans de vastes domaines industriels, et plus particuli` erement dans l’industrie automobile, grˆ ace au principe de la suspension CRONE.

Le principe est d’assurer la robustesse du degr´ e de stabilit´ e de la commande vis-` a-vis des incertitudes du proc´ ed´ e. Le degr´ e de stabilit´ e est mesur´ e par le facteur de r´ esonance en as- servissement ou le facteur d’amortissement en asservissement et en r´ egulation. L’´ elaboration de la loi de commande CRONE est bas´ ee sur la manipulation des marges de stabilit´ e et plus particuli` erement la marge de phase.

Selon la g´ en´ eration de la commande, la synth` ese du r´ egulateur est effectu´ ee pour la trans-

1.3. Commande robuste 11 mittance de la boucle ouverte d’ordre non entier [Oustaloup, 1995 ; Oustaloup et al., 1999].

1.3.2.7 La commande polynˆ omiale ` a structure RST

Cette structure de commande est fond´ ee sur la synth` ese d’un r´ egulateur num´ erique ` a deux degr´ es de libert´ e dit RST [Landau et al., 1998 ; Landau, 1998 ; Landau & Karimi, 1998] conform´ ement ` a la figure 1.8. Les signaux r(t), u(t), y(t), p ₁ (t) et p ₂ (t) d´ esignent respectivement les grandeurs de consigne, de commande, de sortie, de perturbation et de bruit de mesure.

Figure 1.8 – Structure de la commande polynˆ omiale RST.

Le r´ egulateur RST est un organe de contrˆ ole permettant d’imposer s´ epar´ ement un com- portement de la poursuite et de r´ egulation en boucle ferm´ ee d’un syst` eme. Ce contrˆ oleur est couramment utilis´ e dans les syst` emes de commande num´ erique. Le sigle RST vient du nom des trois polynˆ omes R, S et T , qui doivent ˆ etre d´ etermin´ es afin d’obtenir la loi de commande num´ erique r´ ecurrente [Landau et al., 1998]. La synth` ese et la conception des r´ egulateurs robustes de type RST sont bas´ ees principalement sur les m´ ethodes de place- ment de pˆ oles et de calibrage des fonctions de sensibilit´ e [Prochazka & Landau, 2002].

La robustesse des r´ egulateurs RST vis-` a-vis de gabarits fr´ equentiels traduit l’incertitude des param` etres, les perturbations et les bruits de mesure. Pour cela, les caract´ eristiques fr´ equentielles des modules de fonctions de sensibilit´ e sont calibr´ ees afin de satisfaire de tels gabarits [Prochazka & Landau, 2003 ; Varga , 2000 ; Langer & Landau, 1999].

1.3.2.8 La commande par logique floue

Les th´ eories ` a la base de la logique floue ont ´ et´ e ´ etablies par L. Zadeh en 1965 [Za-

deh, 1965]. La puissance de la logique floue se voit ` a partir de sa capacit´ e ` a d´ ecrire

des ph´ enom` enes et des processus de fa¸con linguistique et ` a les concevoir en plusieurs r` egles. La commande par logique floue a ´ et´ e appliqu´ ee ` a l’origine par E. H. Mamdani en 1974 [Mamdani, 1974]. Elle permet d’avoir une loi de r´ eglage efficace. Contrairement aux r´ egulateurs standards ou ` a contre r´ eaction, le r´ egulateur par logique floue, en abr´ eg´ e RLF, ne traite pas des relations math´ ematiques, par contre il n’utilise que des inf´ erences avec des r` egles bas´ ees sur des variables linguistiques. La figure 1.9 pr´ esente le sch´ ema synoptique de base d’un tel r´ egulateur. Un RLF est bas´ e sur quatre blocs principaux : la base de connaissance, la fuzzification, le moteur d’inf´ erence et la d´ efuzzification [Lee, 1990a, 1990b ; Passino & Yurkovich, 1998]. Le rˆ ole global du RLF est de convertir les

Figure 1.9 – Synoptique d’un r´ egulateur par logique floue.

valeurs d’entr´ ee dits d´ eterministes en des valeurs floues, puis de les traiter moyennant des r` egles floues. Enfin, on proc` ede ` a la conversion du signal de commande sous forme de valeurs floues en valeurs d´ eterministes pour pouvoir l’appliquer au processus. Le bloc de fuzzification permet de convertir les donn´ ees d’entr´ ee en valeurs linguistiques pouvant ˆ etre manipul´ ees par le m´ ecanisme d’inf´ erence. Le bloc de d´ efuzzification effectue une trans- formation qui fournit un signal de commande num´ erique ` a partir du signal flou d´ eduit.

L’inf´ erence est le bloc qui permet de d´ eduire les actions de la commande floue ` a l’aide des r` egles d’inf´ erence dans la logique floue. Le bloc de connaissances est constitu´ e d’une base de donn´ ees et d’une base de r` egles dont la premi` ere a pour rˆ ole d’´ etablir les r` egles de commande et de manipuler les r` egles dans le r´ egulateur et la deuxi` eme pr´ esente une strat´ egie de commande.

1.3.2.9 La commande neuronale

Le premier mod` ele de neurone formel a ´ et´ e propos´ e par W. McCulloch et W. Pitts en

1943. Inspir´ e du neurone biologique, le neurone formel pr´ esente une fonction alg´ ebrique

dont les valeurs d´ ependent de entr´ ees appel´ ees poids synaptiques, ou aussi poids de

1.3. Commande robuste 13 connexion [Borne et al., 2007].

Un r´ eseau de neurones est un ensemble d’´ el´ ements de calcul (neurones) interconnect´ es avec une loi d’apprentissage qui rend possible d’ajuster les param` etres du r´ eseau, Figure 1.10. Vu leur capacit´ e d’approximation, d’adaptation et d’apprentissage, l’utilisation des r´ eseaux de neurones a connu un r´ eel essor pour la conception de strat´ egies de commande des syst` emes dynamiques [Hagg` ege, 2003 ; Borne et al., 2007 ; Nerrand et al., 1992]. La synth` ese d’un syst` eme de commande neuronale porte essentiellement sur la construction d’un r´ eseau de neurones et sur la r´ ealisation de son apprentissage pour le pilotage du proc´ ed´ e ` a commander. Diff´ erentes strat´ egies de commande neuronale sont ´ et´ e propos´ ees dans la litt´ erature. Nous pouvons citer la commande neuronale directe par mod` ele inverse, la commande neuronale par mod` ele interne, la commande bas´ ee sur l’erreur de sortie et la commande adaptative. Les strat´ egies de commande utilisant les r´ eseaux de neurones

Figure 1.10 – Exemple d’une structure de commande neuronale en phase d’apprentissage.

ont certaines limitations, telles que l’absence d’une technique syst´ ematique permettant

de donner a priori le nombre de neurones dans la couche cach´ ee. On peut citer aussi le

probl` eme des valeurs initiales des poids du r´ eseau ; en effet, plus la somme pond´ er´ ee des

entr´ ees d’un neurone est ´ elev´ ee, plus le neurone se trouve dans la zone de saturation de sa

fonction d’activation, donc plus sa d´ eriv´ ee est faible. D’autres probl` emes restent largement

ouverts, comme les probl` emes de sur-apprentissage et de r´ eglage du pas d’apprentissage

[Borne et al., 2007].

1.3.2.10 La commande neuro-floue

La jointure entre les r´ eseaux de neurones et la logique floue a permis de mixer et de tirer les avantages des deux approches. Nous parlons ainsi de techniques neuro-floues. Les approches neuronales et floues pr´ esentent respectivement la capacit´ e d’apprentissage et de lisibilit´ e [Hagg` ege, 2003]. Cette fusion a ´ et´ e propos´ ee depuis 1988, en tenant compte des limitations des deux approches s´ epar´ ement. Malgr´ e cette capacit´ e d’apprentissage, les r´ eseaux de neurones ont toujours une limitation remarquable au niveau de leurs pa- ram` etres de contrˆ ole et leurs structures ; en outre, les connaissances humaines ne peuvent ˆ etre jamais utiles pour les construire. Par contre, le moteur d’inf´ erence floue pr´ esente deux points forts par rapport aux r´ eseaux de neurones, situ´ es au niveau de l’exploita- tion des connaissances humaines et la capacit´ e puissante de description due ` a l’utilisation des variables linguistiques [Borne et al., 2007 ; Hagg` ege et al., 2001a, 2001b ; Hagg` ege &

Benrejeb, 2000]. Deux approches neuro-floues existent [Baghli et al., 1997], La premi` ere m´ ethode consiste ` a concevoir le moteur d’inf´ erence floue sous la forme d’un r´ eseau de neurones. Cette architecture est sensible aux types des r` egles, aux m´ ethodes d’inf´ erence,

`

a la d´ efuzzication et ` a la fuzzification choisis. La deuxi` eme approche consiste ` a utiliser les r´ eseaux de neurones pour remplacer chacune des composantes d’un syst` eme de commande floue. La figure 1.11 pr´ esente une structure de commande neuro-floue ` a apprentissage en ligne [Hagg` ege & Benrejeb, 2000 ; Hagg` ege et al., 2001a].

Figure 1.11 – Exemple d’une structure de commande neuro-floue.

1.4. Complexit´ e de la synth` ese et recours ` a l’optimisation 15

1.4 Complexit´ e de la synth` ese et recours ` a l’optimi- sation

Dans cette section, nous nous int´ eresserons aux probl` emes li´ es ` a la synth` ese de lois de commande robuste. Quelques exemples issus de la litt´ erature seront cit´ es et discut´ es.

1.4.1 Probl` emes complexes de synth` ese de commande robuste

1.4.1.1 Synth` ese de r´ egulateurs RST

Appel´ ee aussi probl` eme de placement de pˆ oles en boucle ferm´ ee, la synth` ese des r´ egulateurs RST est bas´ ee sur le choix d´ elicat des pˆ oles ` a placer en boucle ferm´ ee afin d’assurer les objectifs de poursuite et de r´ egulation. D’apr` es Landau et al. [Landau & Karimi, 1998 ; Landau et al., 1998], le calibrage des fonctions de sensibilit´ e pr´ esente une approche de synth` ese des r´ egulateurs robustes RST bas´ ee sur une proc´ edure it´ erative d’essais-erreurs.

Ces fonctions de sensibilit´ e permettent d’´ evaluer la stabilit´ e et la robustesse du syst` eme en boucle ferm´ ee et de quantifier les incertitudes tol´ er´ ees dans les diff´ erentes r´ egions fr´ equentielles.

1.4.1.2 Synth` ese et r´ eglage des contrˆ oleurs flous

Le r´ eglage de la commande floue est bas´ e sur une proc´ edure d’essais-erreurs coˆ uteuse en temps de conception et souvent d´ elicate pour l’obtention des r´ eponses d´ esir´ ees et souhaitables du syst` eme. La conception et l’impl´ ementation de ce type de commande deviennent tr` es compliqu´ ees avec la complexit´ e du proc´ ed´ e ` a contrˆ oler.

1.4.1.3 Synth` ese de la commande H ∞

Les m´ ethodes classiques de synth` ese , utilisant des ´ equations alg´ ebriques de riccati [Doyle et al., 1989] ou des in´ egalit´ es matricielles lin´ eaires [Gahinet & Apkarian, 1994 ; Iwasaki &

Skelton, 1994], conduisent ` a des correcteurs d’ordre complet. Cet ordre est ´ egal ` a celui du

syst` eme augment´ e de filtres de pond´ eration, cens´ es traduire les sp´ ecifications de perfor-

mances et de robustesse du cahier des charges. La r´ eduction de l’ordre des correcteurs est

souvent adopt´ ee comme proc´ edure classique [Zhou & Doyle 1998 ; Zhou et al., 1996]. Cette

solution conduit le plus souvent ` a une augmentation de la norme du syst` eme boucl´ e, et par

cons´ equent des d´ egradations en performances et en robustesse de la commande ´ elabor´ ee.

1.4.2 Solution propos´ ee

Devant ces difficult´ es rencontr´ ees, plus pr´ ecis´ ement dans la phase de synth` ese de la loi de commande robuste, les automaticiens trouvent que la th´ eorie de l’optimisation peut pr´ esenter une solution efficace et prometteuse pour ces probl` emes NP difficiles. Dans la litt´ erature, il existe plusieurs techniques d’optimisation robustes et performantes en termes de temps de calcul et de qualit´ e des solutions fournies. Dans cette th` ese, on s’int´ eresse aux m´ ethodes approch´ ees dites ”m´ etaheuristiques”.

1.4.3 Th´ eorie de l’optimisation continue dynamique

1.4.3.1 Principe g´ en´ eral

La recherche d’un ´ etat de fonctionnement et de production dit optimal est parmi les soucis majeurs des ing´ enieurs dans divers domaines. Nombreux sont les probl` emes scienti- fiques qui peuvent ˆ etre trait´ es de fa¸con qu’on puisse ajuster et am´ eliorer leurs param` etres pour produire des r´ esultats fiables. L’orientation vers l’optimisation est une solution pour r´ esoudre plusieurs probl` emes et sujets, en particulier ceux relatifs ` a la th´ eorie de la com- mande. Dans la litt´ erature, l’optimisation est d´ efinie comme un outil pour la s´ election des meilleures solutions nomm´ ees optimales. Ce domaine est inspir´ e des math´ ematiques et il est aujourd’hui utilis´ e en informatique et dans d’autres domaines comme l’automatique et la m´ ecanique. Parmi les premi` eres m´ ethodes reposant sur des r´ esolutions math´ ematiques, on peut citer les travaux de Lagrange, de Hamilton et de Fermat. Aussi, d’autres tech- niques qui utilisent des algorithmes it´ eratifs ont ´ et´ e propos´ ees par Newton et Gauss.

Historiquement, ces m´ ethodes ont ´ et´ e fr´ equemment utilis´ ees pendant la deuxi` eme guerre mondiale pour des programmes militaires. G´ en´ eralement, les probl` emes d’optimisation sont connus comme une recherche d’un minimum ou d’un maximum, qui pr´ esente la solu- tion cherch´ ee ou l’optimum d’une fonction donn´ ee. Dans certains cas, les variables d’une telle fonction ` a optimiser sont contraintes ` a ´ evoluer dans l’espace de recherche. Il s’agit ainsi d’un probl` eme d’optimisation sous contraintes [Coello Coello et al., 2007 ; Dixon &

Szego 1975 ; Dixon & Szego, 1978]. Pour que le fonctionnement d’un syst` eme ob´ eisse au cahier des charges pr´ esent´ e, on devra le calibrer de mani` ere ` a :

– occuper le volume minimum n´ ecessaire pour son bon fonctionnement (coˆ uts des mati` eres premi` eres) ;

– consommer le minimum d’´ energie (coˆ uts de fonctionnement) ;

– r´ epondre ` a la demande de l’utilisateur (cahier des charges).