M´ etriques de performance en optimisation multi-objectif

Les performances des m´ethodes d’optimisation multi-objectif sont mesur´ees via des

m´etriques. Ces m´etriques permettent aussi de visualiser les caract´eristiques des ensembles

de solutions obtenues [Van-Veldhuizen & Lamont, 2000a]. Dans ce qui suit, nous passons

en revue les plus utilis´ees de ces m´etriques.

2.6.1 Distance g´en´erationnelle

Cette m´etrique permet de mesurer la distance entre les solutions trouv´ees et celles qui

font partie de la surface de compromis. La distance g´en´erationnelle est d´efinie comme

suit :

GD =^{∆ 1}

n_e

(_nD

∑

i=1

(d_i)^p

)1/p

(2.16)

o`u p est un param`etre constant ´egal `a 2 et d_i pr´esente la distance entre une telle

so-lution i et la solution la plus proche ”voisine” appartenant `a la surface de compromis

optimaleT P F. La surface de compromis optimale sera not´eeT P F, pour Theoretical

Pa-reto Frontier ou ”surface de compromis th´eorique” et l’ensemble de solutions obtenu `a

l’it´eration i sera not´e P F_current(i), pour Pareto Front Current ou ”surface de compromis

courante”,n_e´etant le nombre d’´el´ements dans l’ensemble de solutions, not´eP P F(i), pour

Practical Pareto Frontier ou ”surface de compromis pratique” qui est l’union des solutions

non dominantes de chaque ensemble P F_current(i). LeP P F ne contient pas des solutions

domin´ees [Van-Veldhuizen, 1999] :

P P F(i) = P F_current(i)∪P P F(i−1) (2.17)

P P F (1) =P F_current(1) (2.18)

2.6.2 Espacement

La m´etrique espacement, not´ee , d´ecrit num´eriquement la r´epartition des vecteurs dans

P P F et mesure ainsi la distance de variation des vecteurs voisins de ce PPF [Coello.Coello

et al., 2007 ; Van-Veldhuizen, 1999]. L’expression de cette m´etrique est exprim´ee comme

2.6. M´etriques de performance en optimisation multi-objectif 65

suit :

S =^∆

v

u

u

t ¹

n_e−1

n

∑

i=1

(_¯

d−d_i)2

(2.19)

avec :

d_i = min

K

∑

k=1

_fi

k−f_k^j

j

, i= 1, 2, ..., n (2.20)

¯

d est la moyenne de toutes les distances d_i.

2.6.3 Rapport d’erreur

La m´etrique Rapport d’Erreur (ER) calcule le pourcentage des solutions non domin´ees

trouv´ees et qui ne sont pas dans le front Pareto optimal (surface de compromis) [Collette

& Siarry, 2004 ; Van-Veldhuizen , 1999]. L’ensemble des solutions converge vers la surface

de compromis quand la valeur de cette m´etrique est tr`es proche de 1. Cette m´etrique est

d´efinie dans l’´equation (2.21) :

ER =^{∆ 1}

n

n

∑

i=1

e_i (2.21)

avec e_i = 0 si la solution appartient `a la surface de compromis et e_i = 1 dans le cas

contraire.

2.6.4 Conclusion

Ce chapitre a pr´esent´e les d´efinitions de base et les notations formelles des algorithmes

´

evolutionnaires en optimisation multi-objectif pour une future exploitation dans la synth`ese

et l’optimisation de structures de commande robuste RST de syst`emes complexes. Les

d´efinitions d’un probl`eme d’optimisation multi-objectif sous contraintes, de la dominance

des solutions ainsi que des concepts d’optimalit´e au sens de Pareto sont d´etaill´ees. Ce

cha-pitre a pr´esent´e aussi une analyse approfondie des MOEAs, les exemples des algorithmes

g´en´etiques NSGA, et puis NSGA-II, ainsi que les algorithmes `a ´evolution diff´erentielle

MODE. Les m´etriques de mesure de performance des algorithmes m´etaheuristiques en

optimisation multi-objectif, en l’occurrence la distance g´en´erationnelle, l’espacement, le

rapport d’erreurs et la diversit´e, sont ´egalement d´ecrites pour ˆetre utilis´ees dans la suite

de nos travaux dans la comparaison des algorithmes propos´es.

Le chapitre suivant fera l’objet de l’approche MOPSO propos´ee en optimisation

multi-objectif `a base des essaims particulaires. Les perfectionnements effectu´es sur un tel

algo-rithme d’optimisation d’intelligence en essaim seront pr´esent´es et mis en exergue. La mise

en oeuvre pour l’optimisation d’un benchmark de fonctions de test issues de la litt´erature

sera d’abord envisag´ee. Une ´etude comparative avec les algorithmes NSGA-II et MODE

d´ej`a ´etudi´es sera ´evoqu´ee.

Chapitre 3

Perfectionnement d’un algorithme

d’optimisation par essaim

particulaire multi-objectif

3.1 Introduction

La recherche d’une m´ethode syst´ematique pour l’ajustement des param`etres d’un r´

egulat-eur polynomial `a structure canonique RST est le principal objectif de ces travaux de

re-cherche. Comme on a mentionn´e dans les chapitres pr´ec´edents, le probl`eme de synth`ese

d’une telle structure de commande num´erique peut devenir d´elicat avec la complexit´e

des syst`emes dynamiques `a commander d’un cˆot´e, et le calcul lourd ainsi que le temps

de r´esolution prohibitif des techniques classiques propos´ees d’autre cˆot´e. Face `a ces

diffi-cult´es, nous proposons la formulation et la r´esolution de ce type de probl`eme de synth`ese

robuste par une approche d’optimisation par essaim particulaire dans un formalisme

multi-objectif. Cette approche est choisie vu ses utilisations fr´equentes dans divers domaines de

l’ing´enierie et pour plusieurs probl`emes relevant de l’automatique et de l’informatique

[Gangulya et al., 2013 ; Shokrian & Ann Highb, 2014 ; Bouall`egue et al., 2012]. Le

per-fectionnement d’une telle approche, lui a fait une solution prometteuse pour la r´esolution

du probl`eme de synth`ese des r´egulateur RST.

Dans ce chapitre, on d´etaille l’algorithme d’optimisation par essaim particulaire, alias

PSO pour Particle Swarm Optimization, qui constitue l’outil principal de r´esolution des

probl`emes de synth`ese et de r´eglage RST formul´es dans cette th`ese. Au d´ebut,

l’al-gorithme PSO sera pr´esent´e avec toutes ces caract´eristiques. Ensuite, on d´ecrit

l’ap-proche d´evelopp´ee avec tous les outils utilis´es dans la conception de l’algorithme

d’op-timisation multi-objectif MOPSO. Puis, les perfectionnements r´ealis´es ainsi que d’autres

am´eliorations relevant de ce cadre sont particuli`erement soulign´es. Enfin, une ´etude

com-parative avec les algorithmes ´evolutionnaires, vus dans le chapitre pr´ec´edent, sera effectu´ee

et discut´ee.

Dans le document Contribution à la synthèse et l’optimisation multi-objectif par essaims particulaires de lois de commande robuste RST de systèmes dynamiques (Page 91-95)