M´ etaheuristiques ` a solution unique

Dans cette section, on pr´esente les m´etaheuristiques `a base de solution unique et qui

sont appel´ees aussi les m´ethodes de trajectoire. Ces algorithmes commencent la recherche

avec une seule solution, qui circule en construisant une trajectoire dans l’espace de

re-cherche. Nombreuses sont les m´ethodes qui s’articulent sur ce principe : on peut citer

essentiellement la m´ethode de recuit simul´e, la m´ethode GRASP, la m´ethode de descente,

la recherche tabou et la recherche locale it´er´ee [Borne & Benrejeb, 2010].

1.5.2.1 M´ethode GRASP

La m´ethode GRASP est une proc´edure it´erative propos´ee par Thomas A. Feo et Mauricio

G.C. Resende en 1989 [Feo & Resende, 1989 ; Feo & Resende, 1995]. Cette m´ethode est

classifi´ee parmi les m´ethodes hybrides, car elle tire avantage des m´ethodes de voisinage, des

heuristiques gloutonnes et de la recherche al´eatoire. Chaque it´eration de cet algorithme

1.5. M´etaheuristiques pour l’optimisation difficile 23

est compos´ee de deux ´etapes : l’´etape de construction d’une solution, suivie par une

descente pour am´eliorer la solution construite. A cette ´etape, et apr`es des it´erations,

une solution est construite : on ajoute un ´el´ement dans la solution partielle courante `a

chaque it´eration. Avec une fonction gloutonne, on peut d´eterminer une liste des meilleurs

candidats `a ajouter. A cette phase de construction, la liste des meilleurs candidats est

dynamiquement mise `a jour `a chaque it´eration. La fin de l’´etape de construction est

marqu´ee par l’obtention d’une solution compl`ete et `a partir de cette derni`ere, une descente

est appliqu´ee pour l’am´eliorer. La proc´edure GRASP r´ep`ete l’´etape de la construction et

celle de la recherche locale puis retourne la meilleure solution obtenue. Cette m´ethode est

appliqu´ee `a beaucoup de probl`emes d’optimisation, vu qu’elle est bas´ee sur un nombre

r´eduit de param`etres, qui sont la longueur de la liste de candidats et le nombre d’it´erations

autoris´ees. Comme nous l’avons mentionn´e au d´ebut, l’´etape de construction est la plus

importante pour la m´ethode GRASP. Le pseudo-code pour la construction est le suivant

[Feo & Resende, 1995] :

Algorithm 1 GreedyRandomizedConstruction (α)

Solution←ϕ

C ←E

Evaluation du coˆut incr´emental c(e),e∈C

Tant que (C ̸=ϕ) faire

C_min ←min{c(e), e∈C}

C_max←max{c(e), e∈C}

RCL← {e∈C|c(e)≤Cmin+α(Cmax−Cmin)}

S´election al´eatoireS de depuis RCL

Solution ←Solution ∪ {S}

Mise `a jour deC

R´e´evaluation du coˆut incr´emental pour e∈C

Fin Tant-Que

Retourne Solution

FinGreedyRandomizedConstruction

Dans ce pseudo-code, on d´esigne par la solution possible avec S ∈ F (ensemble de

toutes les solutions possibles) qui est construite `a partir des ´el´ements e ∈ E (ensemble

de base) ´el´ement par ´el´ement suivant l’heuristique semi-gloutonne. Cet algorithme est

un algorithme glouton augment´e d’un aspect al´eatoire. C est la liste des candidats. Le

coˆut incr´emental c(e) pour chaque ´el´ement de C doit ˆetre ´evalu´e, permettant ainsi de

s´electionner les meilleurs ´el´ements et de les stocker dans une autre liste, appel´ee liste

limit´ee des candidats RCL (Restricted Candidate List), α ∈ [0,1] est un param`etre qui

contrˆole la qualit´e du RCL, C_min, C_max sont respectivement les coˆuts incr´ementaux

mi-nimal et maximal depuis la liste C. La phase de la recherche locale est illustr´ee par le

pseudo-code suivant :

Algorithm 2RechercheLocal(Solution)

1: Tant que (Solution non optimal)faire

2: Rechercher S^′ tant que f(S^′)≤f(Solution)

3: Evaluation du coˆut incr´emental c(e), e∈C

4: Solution←S^′

5: Fin Tant que

6: Retourne Solution

7: Fin RechercheLocal

1.5.2.2 Recuit simul´e

La m´ethode de recuit simul´e a pour origine la m´ecanique statistique [Kirkpatrick et

al., 1983 ; Cerny, 1985]. S. Kirkpatrick et ses coll`egues ´etaient des sp´ecialistes de

phy-sique ; ils s’int´eressaient `a la configuration de basse ´energie de mat´eriaux magn´etiques

d´esordonn´es, regroup´es sous le terme de verres de spin. L’id´ee ´etait de traiter ce probl`eme

en s’inspirant de la technique exp´erimentale du recuit utilis´ee par les m´etallurgistes pour

obtenir un ´etat solide d’´energie minimale. Cette technique consiste `a porter le mat´eriau `a

haute temp´erature, puis `a abaisser lentement sa temp´erature [Dr´eo et al., 2003 ; Siarry &

Dreyfus, 1989]. La m´ethode du recuit simul´e transpose le proc´ed´e du recuit `a la r´esolution

d’un probl`eme d’optimisation. La fonction objectif du probl`eme, analogue `a l’´energie d’un

mat´eriau, est alors minimis´ee, moyennant l’introduction d’une temp´erature fictive, qui est,

dans ce cas, un simple param`etre de contrˆole de l’algorithme. En pratique, la technique

exploite l’algorithme de Metropolis, qui permet de d´ecrire le comportement d’un syst`eme

en ´equilibre thermodynamique `a une certaine temp´erature T [Metropolis et al., 1953 ;

Hastings, 1970 ; Bonomi & Lutton, 1988]. Partant d’une configuration donn´ee, on fait

subir au syst`eme une modification ´el´ementaire ; si cette transformation a pour effet de

diminuer la fonction objectif (ou ´energie) du syst`eme, elle est accept´ee ; si elle provoque

au contraire une augmentation ∆E de la fonction objectif, elle peut ˆetre accept´ee tout de

1.5. M´etaheuristiques pour l’optimisation difficile 25

mˆeme, avec la probabilit´ee⁽

^−∆T^E

) . On it`ere ensuite ce proc´ed´e, en gardant la temp´erature

constante, jusqu’`a ce que l’´equilibre thermodynamique soit atteint, concr`etement au bout

d’un nombre ”suffisant” de modifications. On abaisse alors la temp´erature, avant

d’ef-fectuer une nouvelle s´erie de transformations. La loi de d´ecroissance par paliers de la

temp´erature est souvent empirique, tout comme le crit`ere d’arrˆet du programme. Pour

cette m´etaheuristique, les deux m´ecanismes de diversification et d’intensification sont

contrˆol´es par la temp´erature. Pendant la recherche, la temp´erature T ne diminue pas,

d’o`u son influence directe sur la probabilit´e d’accepter une mauvaise solution. Cette

pro-babilit´e tend vers 1 `a une temp´erature ´elev´ee. Pour conclure, le rˆole de la temp´eratureT

au cours du processus du recuit simul´e est tr`es important vu son influence sur l’algorithme

[Creutz, 1983 ; Okamoto & Hansmann, 1995]. Le pseudo-code de l’algorithme du recuit

simul´e est illustr´e comme suit :

Algorithm 3 Recuit simul´e

1: Initialiser (temp´eratureT initiale)

2: Initialiser x (point de d´epart)

3: Tant que (non (fin)) faire

4: α=Voisin (x)

5: ∆E =E(α)−E(x)

6: Si ∆E <0 alors

7: α=x

8: Sinon alea(0,1)<exp(_−∆E

T

)

alors

9: α=x

10: T =β(T)

11: Si T <∆T alors

12: Fin Tant que

13: R´ep´eter Tant que

14: Fin Recuit simul´e

L’avantage du recuit simul´e est qu’il peut offrir des solutions de bonne qualit´e, tout en

restant simple `a param´etrer et `a programmer. Il pr´esente aussi une souplesse d’emploi par

rapport `a l’algorithme de recherche locale. Parmi les inconv´enients du recuit simul´e figure

celui-ci : une fois l’algorithme pi´eg´e `a basse temp´erature, on aura un minimum local ; une

autre difficult´e est le choix de ses nombreux param`etres de contrˆole.

1.5.2.3 M´ethode de recherche tabou

La m´ethode de recherche Tabou est une technique de recherche propos´ee par Fred Glover

en 1986.Elle est devenue classique en optimisation combinatoire, elle est class´ee comme

m´ethode it´erative de recherche locale `a m´emoire adaptative [Glover & Laguna, 1997 ;

Glover, 1986 ; Glover, 1989a, 1989b ; Feo & Resende, 1989]. R´eellement, la m´ethode de

rechercheTabou est semblable `ala m´ethode de recuit simul´e.Elle fonctionne avec une seule

configuration courante, qui est actualis´ee au cours des it´erations.

Le principe de base de cette m´ethode consiste `a explorer le voisinage d’une solution

quelconque et `a chercher le voisin qui minimisela fonction objectif. A chaque it´eration, on

d´efinit un voisinage pour une solution courante eton ´evalue l’objectif en chacune des

solu-tions voisines. Selon le voisinage d´efini, cette op´eration peut entraˆıner une augmentation de

la valeur de la fonction objectif `a minimiser. Une solution voisine est adopt´ee mˆeme si elle

est moins bonne. De ce fait, cette m´ethode permet d’´eviter le pi´egeage dans les minimums

locaux. Le risque de retourner `a une solution d´ej`a retenue lors d’une it´eration pr´ec´edente

peut se pr´esenter. Pour ´eviter ce ph´enom`ene, l’utilisation d’une m´emoire, conservant les

informations sur les solutions d´ej`a explor´ees, est retenue. Il s’agit de la mise `a jour et de

l’exploitation, `a chaque it´eration, d’une liste des mouvements interdits, dite liste Tabou.

Lorsqu’un minimum local est atteint, il y a interdiction de revenir sur le mˆeme chemin.

La m´ethode Tabou fait qu’elle est largement employ´ee pourdes probl`emes d’optimisation

combinatoire. Pour son efficacit´e, elle a ´et´e largement test´ee avec succ`es pour beaucoup de

probl`emes classiques, tels que les probl`emes de voyageur de commerce, d’ordonnancement

d’ateliers, etc. De mˆeme, elle est fr´equemment appliqu´ee sur les probl`emes d’exploration

g´eologique, de routage, d’ordonnancement, etc. La m´ethode de recherche Tabou peut ˆetre

r´esum´ee par l’algorithme suivant [Glover, 1989b].

Dans le document Contribution à la synthèse et l’optimisation multi-objectif par essaims particulaires de lois de commande robuste RST de systèmes dynamiques (Page 49-53)