Quelques probl`emes d’approximation diophantienne

(1)

Quelques probl`emes d’approximation diophantienne

Habilitation ` a Diriger des Recherches St´ ephane Fischler

Universit´ e Paris-Sud, Orsay

8 D´ ecembre 2010

Stéphane Fischler (Université Paris-Sud, Orsay) Habilitation à Diriger des Recherches

(2)

Plan de l’expos´e

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

(3)

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

(4)

Lemme de z´eros li´e ` a une action de SL ₂ ( Z ) sur G ² m

Th´ eor` eme (avec Nakamaye, soumis)

Soient M, N ≥ 1, x , y ∈ C ^∗ , et P ∈ C [X , Y ] non nul.

Supposons que :

Les points (x ^a y ^b , x ^c y ^d ) ∈ ( C ^∗ ) ² obtenus pour

1 ≤ a, b, c , d ≤ N avec ad − bc = 1 sont deux ` a deux distincts.

Le polynˆ ome P s’y annule ` a l’ordre M (au moins).

Le point (x , y ) n’appartient pas ` a un certain ensemble fini Σ _N .

N est plus grand qu’une certaine constante absolue.

Alors on a deg P ≥ ¹ ₄ MN.

(5)

Remarques et programme de recherches

Optimal ` a la valeur pr` es de la constante ¹ ₄ .

Premier lemme de z´ eros pr´ ecis avec un groupe alg´ ebrique non commutatif.

Motiv´ e par une construction de Roy pour ´ etudier les points de la grassmannienne ` a coordonn´ ees logarithmes de nombres alg´ ebriques (cf. Acta Arithmetica 2001).

Preuve : minoration d’une constante de Seshadri, o` u (x , y ) varie :

D´ emontr´ ee si x = 1 ou y = 1 (r´ eseau), Donc vraie sur un ouvert (amplitude).

M´ ethode susceptible d’autres applications (en cours).

(6)

Lemme d’interpolation dans un groupe alg. comm.

G , → P ^N groupe alg´ ebrique commutatif connexe sur C . G adh´ erence de Zariski de G ; γ ₁ , . . . , γ _` ∈ G ( C ).

W sous-espace vectoriel de Lie(G ).

Pour S, T > 0, on note Y _S,T le sous-sch´ ema ferm´ e de G form´ e par les points de la forme n ₁ γ ₁ + . . . + n _` γ _` avec 0 ≤ n j < S , ´ epaissis ` a l’ordre T le long de W .

Th´ eor` eme (Compositio Math., 2005)

Si D est assez grand alors le morphisme d’´ evaluation H ⁰ (G , O(D)) → H ⁰ (Y _S,T , O(D)) est surjectif.

Sans multiplicit´ es : Masser, 1982.

(7)

Le cas lin´eaire

Pour G lin´ eaire, formulation en termes d’alg` ebres de Hopf : Lemmes de z´ eros,

Lemmes d’interpolation, Dualit´ e de Fourier-Borel.

(8)

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

(9)

Irrationalit´e de valeurs de zˆeta

D´ efinition (fonction zˆ eta de Riemann) ζ(s ) = P ∞

n=1 1

n

^s

; ici s entier, s ≥ 2.

Propri´ et´ e

Si s est pair alors ζ(s) = c _s π ^s avec c _s ∈ Q ^∗ , donc ζ(s) 6∈ Q ¯ . Th´ eor` eme (Ap´ ery, 1978)

ζ(3) 6∈ Q .

Th´ eor` eme (Rivoal, 2000 ; Ball-Rivoal, 2001) ζ(s ) 6∈ Q pour une infinit´ e de s impairs.

Expos´ e au S´ eminaire Bourbaki, 2002.

Conjecture : π, ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . , alg. ind´ ep. sur Q .

(10)

Preuve de Rivoal et Ball-Rivoal

Symbole de Pochhammer (k) _p = k(k + 1) . . . (k + p − 1).

Pour a ≥ 3 impair, 1 ≤ r < a/2 et n pair, on pose S _n =

∞

X

k=1

(k − rn) _rn (k + n + 1) _rn (k) ^a _n+1 . On a

S _n = ` _0,n + ` _3,n ζ(3) + ` _5,n ζ(5) + . . . + ` _a,n ζ(a) tr` es petit quand n → ∞, avec ` i,n ∈ Q ` a d´ enominateur contrˆ ol´ e.

Le crit` ere de Nesterenko donne

dim _Q Vect _Q (1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(a)) ≥ 1 + o(1)

1 + log 2 log a.

(11)

D´efinition des polyzˆetas

D´ efinition

On appelle polyzˆ etas les s´ eries multiples de la forme ζ(s 1 , s 2 , . . . , s p ) = X

k

1

>k

2

>···>k

p

≥1

1 k ₁ ^s

¹

k ₂ ^s

²

· · · k _p ^s

^p

avec p ≥ 0, s ₁ ≥ 2 et s ₂ , . . . , s _p ≥ 1.

L’entier p s’appelle la profondeur et s 1 + s 2 + · · · + s p le poids.

Pour p = 0, on pose ζ(s ₁ , s ₂ , . . . , s _p ) = 1.

Apparaissent en physique th´ eorique, th´ eorie des noeuds, . . .

Structure alg´ ebrique int´ eressante.

(12)

Résultat général de décomposition

Th´ eor` eme (avec Cresson et Rivoal, Bull. SMF, 2008)

Soient P ∈ Q [X ₁ , . . . , X _p ], A ₁ , . . . , A _p ∈ N ^? , n ₁ , . . . , n _p ∈ N . Si la s´ erie

X

k

1

≥···≥k

_p

≥1

P (k 1 , . . . , k p ) (k ₁ ) ^A _n

¹

1

+1 · · · (k _p ) ^A _n

^p

p

+1

est convergente, alors elle s’´ ecrit comme une combinaison lin´ eaire ` a coefficients rationnels en les polyzˆ etas de profondeur

≤ p et de poids ≤ P p j=1 A _j .

Contient les constructions de Rivoal, Sorokin, Vasilyev, . . .

(13)

Remarques

D´ emontr´ e ind´ ependamment par Zlobin ; mais se

g´ en´ eralise aux polylogarithmes multiples en p variables.

Utilise la r´ egularisation des polyzˆ etas divergents.

Preuve algorithmique, impl´ ement´ ee sous GP/Pari tests grˆ ace ` a Medicis.

(14)

Premier phénomène de symétrie

Th´ eor` eme (avec Cresson et Rivoal, J. Reine Angew. Math., 2008)

Sous certaines conditions de sym´ etrie (tr` es restrictives) sur P, toute s´ erie convergente

X

k

1

≥···≥k

p

≥1

P (k ₁ , . . . , k _p ) (k ₁ ) ^A _n

₁¹

₊₁ · · · (k _p ) ^A _n

_p^p

₊₁

s’´ ecrit comme une combinaison Q -lin´ eaire de polyzˆ etas ζ(s ₁ , . . . , s _q ) avec s ₁ , . . . , s _q impairs.

Objectif : R´ esultat d’irrationalit´ e non trivial sur les polyzˆ etas.

(15)

Deuxième phénom` ene de symétrie

Th´ eor` eme (J. of Algebra, 2008)

Sous des conditions de sym´ etrie beaucoup moins restrictives sur P, toute s´ erie convergente

X

k

1

≥···≥k

_p

≥1

P (k ₁ , . . . , k _p ) (k 1 ) ^A _n

₁¹

₊₁ · · · (k p ) ^A _n

_p^p

₊₁

s’´ ecrit comme une combinaison Q -lin´ eaire de polyzˆ etas dans laquelle en profondeur p on a seulement des ζ(s 1 , . . . , s p ) avec s ₁ , . . . , s _p impairs.

(16)

R´esultat diophantien avec log 2

Th´ eor` eme (avec Zudilin, Math. Annalen, 2010)

Il existe un entier impair j ∈ {3, 5, . . . , 93} tel que 1, log 2 et ζ(j ) soient Q -lin´ eairement ind´ ependants.

Nouvelle construction des formes lin´ eaires, avec a pair et r < a :

∞

X

k=1

k + n

2 (k − rn) _rn (k + n + 1) _rn Q 2n

j=0 (k + j/2) ^a Troisi` eme ph´ enom` ene de sym´ etrie.

Autre ´ ecriture : facteur (−1) ^k dans la somme.

(17)

Programme de recherches

Unifier ces trois ph´ enom` enes de sym´ etrie : X

k

1

≥···≥k

_p

≥1

P(k 1 , . . . , k p )

(k 1 ) ^A _n

₁¹

₊₁ · · · (k p ) ^A _n

_p^p

₊₁ z ₁ ^k

¹

· · · z _p ^k

^p

avec z ₁ , . . . , z _p racines de l’unit´ e.

Sym´ etrie pour les int´ egrales utilis´ ees par Brown pour d´ emontrer la conjecture de Goncharov-Manin ?

(18)

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

(19)

Exposant d’irrationalit´e

D´ efinition

L’exposant d’irrationalit´ e de ξ ∈ R \ Q est la borne sup´ erieure µ(ξ) de l’ensemble des µ tels qu’il existe une infinit´ e de fractions p/q v´ erifiant |ξ − p/q| ≤ q ^−µ .

Utile en syst` emes dynamiques, . . . Th´ eor` eme (Ap´ ery, 1978)

ζ(3) 6∈ Q et µ(ζ(3)) ≤ 13, 41 . . .

Am´ elior´ e ensuite par Hata, Rhin-Viola, . . .

J. Th´ eor. Nombres Bordeaux, 2003 : changements de variables entre int´ egrales n-uples.

(20)

Une remarque de Khintchine (1926)

Probl` eme : Soit ξ ∈ R \ Q . Trouver les τ > 0 tels que, pour tout H assez grand, il existe (u, v ) ∈ Z ² \ {0} avec

max(|u|, |v |) ≤ H et |uξ − v | ≤ H ^−τ . R´ eponse : ce sont exactement les τ ≤ 1.

Preuve : notons ^p _q

ⁿ

n

les r´ eduites de ξ ∈ [0, 1] ; si q _n ≤ H < q _n+1 , alors

Avec τ = 1, ^v _u = ^p _q

ⁿ

n

convient.

Si τ > 1 convient alors pour H = q n+1 − 1 on a

|uξ − v | ≤ H ^−τ < 1 2q n+1

< |q _n ξ − p n |, contradiction.

(21)

Deux modifications

Pour tout H assez grand H = Q _n o` u (Q _n ) suite

strictement croissante d’entiers, telle que Q _n+1 = Q n ^1+o(1) . Cela ne change pas la borne sup. des τ qui conviennent.

On demande aussi une minoration de la forme lin´ eaire :

|u _n ξ − v _n | = Q _n ^−τ+o(1) . Cela ´ evite les r´ eduites, et change tout !

(22)

Majorations de l’exposant d’irrationalit´e

Lemme (classique)

Soient ξ ∈ R \ Q , τ > 0, et (Q n ) une suite strictement croissante d’entiers telle que Q n+1 = Q n ^1+o(1) .

Supposons qu’il existe des suites d’entiers (u _n ) et (v _n ) avec max(|u _n |, |v _n |) ≤ Q _n et |u _n ξ − v _n | = Q _n ^−τ+o ⁽¹⁾ . Alors on a τ ≤ _µ(ξ)−1 ¹ , i.e. µ(ξ) ≤ 1 + ¹ _τ .

Th´ eor` eme (avec Rivoal, Proc. AMS, 2010)

Si τ < _µ(ξ)−1 ¹ alors il existe de telles suites.

(23)

Remarques et g´en´eralisation

R´ epond aux questions pos´ ees pr´ ec´ edemment (IMRN, 2006).

Preuve : suite de Farey.

En outre d _n ³ |u _n (avec d _n = ppcm(1, 2, . . . , n)) dans la construction d’Ap´ ery. Permet de majorer, pour ξ = ζ(3), un nouvel exposant d’approximation rationnelle restreinte.

Th´ eor` eme (Indag. Math., 2009)

Il existe une partie de R , d´ efinie par des conditions

diophantiennes, qui ne contient pas ζ(3) et dont la dimension de Hausdorff est 0.5745. . .

(24)

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

(25)

Retour sur la remarque de Khintchine

Probl` eme : Soit ξ ∈ R \ Q . Trouver les τ > 0 tels que, pour tout H assez grand, il existe (u, v ) ∈ Z ² \ {0} avec

max(|u|, |v |) ≤ H et |uξ − v | ≤ H ^−τ . R´ eponse : ce sont exactement les τ ≤ 1.

On ne bat jamais le principe des tiroirs.

(26)

Cons´equence de la remarque de Khintchine

Proposition

Soient ξ ₀ , . . . , ξ _r ∈ R , avec r ≥ 1. Soit (Q _n ) une suite d’entiers strictement croissante, telle que Q _n+1 = Q _n ^1+o(1) . Si pour tout n assez grand il existe ` _0,n , . . . , ` _r _,n ∈ Z tels que

0≤i≤r max |` _i,n | ≤ Q _n et 0 6= |` _0,n ξ ₀ + . . . + ` _r _,n ξ _r | ≤ Q _n ^−τ avec τ > 1, alors dim _Q Vect _Q (ξ 0 , . . . , ξ r ) ≥ 3.

Crit` ere de Nesterenko si |` _0,n ξ ₀ + . . . + ` _r _,n ξ _r | = Q n ^−τ+o(1) .

Raffinement : avec Zudilin, Math. Annalen, 2010.

(27)

G´en´eralisation (Jarn´ık, Bugeaud, Laurent,. . . )

Probl` eme : Soient ξ ₀ , . . . , ξ _r ∈ R , avec r ≥ 1. Trouver les τ t.q. pour tout H assez grand il existe u ₀ , . . . , u _r ∈ Z avec

max |u i | ≤ H et 0 6= |u 0 ξ 0 + . . . + u r ξ r | ≤ H ^−τ . Tiroirs : tous les τ < dim Vect(ξ ₀ , . . . , ξ _r )− 1 conviennent.

Exemple o` u n’importe quel τ convient :

ξ ₀ = 1, ξ ₁ =

∞

X

k=1

1 10 ^(2k+1)! , ξ ₂ =

∞

X

k =1

1 10 ^(2k)! . - Si 10 ^(2k−1)! ≤ H < 10 ^(2k ^)! on a |p _k ξ 0 + 10 ^(2k−1)! ξ 1 | ≤ H ^−(2k+1) . - Si 10 ^(2k)! ≤ H < 10 ^(2k+1)! on a |p _k ⁰ ξ 0 + 10 ^(2k)! ξ 2 | ≤ H ^−(2k+2) .

Avec en plus une minoration : ¸ca va tout changer !

(28)

Généralisation avec minoration de la forme linéaire

Probl` eme : Soient ξ ₀ , . . . , ξ _r ∈ R , avec r ≥ 1. Trouver les τ t.q. pour tout H assez grand il existe u ₀ , . . . , u _r ∈ Z avec

max |u _i | ≤ H et |u ₀ ξ ₀ + . . . + u _r ξ _r | = H ^−τ+o(1) . Conjecture : pour presque tout (ξ ₀ , . . . , ξ _r ), tous les τ < dim _Q Vect _Q (ξ 0 , . . . , ξ r ) − 1 = r conviennent.

Exemple o` u aucun τ > 0 ne convient :

ξ ₀ = 1, ξ ₁ =

∞

X

k=1

1 10 ^(2k+1)! , ξ ₂ =

∞

X

k =1

1 10 ^(2k)! . Th´ eor` eme (Nesterenko, 1985) : aucun

τ > dim _Q Vect _Q (ξ ₀ , . . . , ξ _r ) − 1 ne convient jamais.

On ne bat jamais l’heuristique du principe des tiroirs.

(29)

Critère d’indépendance linéaire de Nesterenko

Th´ eor` eme (Nesterenko, 1985)

Soient ξ ₀ , . . . , ξ _r ∈ R , avec r ≥ 1. Soit τ > 0.

Soit (Q _n ) une suite d’entiers, strictement croissante, telle que Q _n+1 = Q n ^1+o ⁽¹⁾ .

Soit ` _i,n ∈ Z pour 0 ≤ i ≤ r et n ≥ 1. Supposons :

|` _i,n | ≤ Q _n pour tous i , n et

|` _0,n ξ ₀ + . . . + ` _r _,n ξ _r | = Q _n ^−τ+o(1) . Alors dim _Q Vect _Q (ξ 0 , . . . , ξ r ) ≥ τ + 1.

(30)

Raffinement du crit`ere de Nesterenko

Th´ eor` eme (avec Zudilin, Math. Annalen, 2010)

Soient ξ ₀ , . . . , ξ _r ∈ R , avec r ≥ 1, τ > 0 et γ ₁ , . . . , γ _r ≥ 0.

Soit (Q _n ) une suite d’entiers, strictement croissante, telle que Q _n+1 = Q n ^1+o ⁽¹⁾ .

Soit ` i,n ∈ Z pour 0 ≤ i ≤ r et n ≥ 1. Supposons : d _n ^e

ⁱ

|` _i,n et |` _i,n | ≤ Q _n pour tous i , n, avec 0 = e ₀ ≤ e ₁ ≤ . . . ≤ e _r , d _n = ppcm(1, 2, . . . , n),

d _n ^e

ⁱ

= Q _n ^γ

ⁱ

^+o(1) et |` _0,n ξ ₀ + . . . + ` _r,n ξ _r | = Q _n ^−τ+o(1) . Alors en posant % = dim _Q Vect _Q (ξ 0 , . . . , ξ r ) on a

% ≥ τ + 1 + γ ₁ + . . . + γ %−1 .

(31)

Nouvelle preuve du crit`ere de Nesterenko

Si e ₁ = . . . = e _r = 0 et τ + 1 > dim Vect(ξ ₀ , . . . , ξ _r ), alors dans P ^r ( R ) le point (ξ 0 , . . . , ξ r ) est :

Tr` es proche d’un point M ∈ Z ^r+1 car

dim _Q Vect _Q (ξ ₀ , . . . , ξ _r ) est major´ e (Principe des Tiroirs).

Assez proche d’un hyperplan H n d’´ equation

` 0,n X 0 + . . . + ` r ,n X r = 0.

Donc l’hyperplan H _n est assez proche du point M.

Donc H _n passe par M.

Donc H _n est tr` es proche de (ξ ₀ , . . . , ξ _r ) : trop proche.

Avec des diviseurs : premier th´ eor` eme de Minkowski.

(32)

Remarques et application

Minoration conjecturalement optimale.

Lien avec l’approximation simultan´ ee de ^ξ _ξ

¹

0

, . . . , ^ξ _ξ

^r

0

par des nombres rationnels ayant le mˆ eme d´ enominateur : avec Rivoal, Proc. AMS, 2010.

Th´ eor` eme (avec Zudilin, Math. Annalen, 2010)

Il existe un entier impair j ∈ {5, 7, . . . , 139} tel que 1, ζ(3) et ζ(j ) soient Q -lin´ eairement ind´ ependants.

Ball-Rivoal, 2001 : 139 169.

Zudilin, 2002 : 139 145.

Conjecture : 139 5.

(33)

Programme de recherches

En cours de r´ edaction : g´ en´ eralisation du crit` ere de Nesterenko ` a des formes lin´ eaires petites en plusieurs points.

Tr` es utile quand approximation de Pad´ e de type II ou simultan´ ee.

Th´ eor` eme (avec Rivoal, J. Math. Pures et Appl., 2003) Pour une infinit´ e d’entiers s ≥ 2 on a

Li _s (1/2) + (log(1/2)) ^s (s − 1)! 6∈ Q . Polylogarithmes : Li _s (z) = P ∞

k=1 z

^k

k

^s

.

(34)

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

(35)

La remarque de Khintchine avec ξ et ξ ²

Probl` eme : Supposons 1, ξ, ξ ² ∈ R lin´ eairement

ind´ ependants sur Q . Trouver les τ > 0 tels que, pour tout H assez grand, il existe (u ₀ , u ₁ , u ₂ ) ∈ Z ³ \ {0} avec

max |u _i | ≤ H et |u ₀ + u ₁ ξ + u ₂ ξ ² | ≤ H ^−τ . Th´ eor` eme (Jarn´ık, 1938)

Ce sont exactement les τ inf´ erieurs (ou ´ egaux ?) ` a _β ^β

¹

^(ξ)

1

(ξ)−1 . L’exposant β ₁ (ξ) sera d´ efini dans la diapositive suivante.

On a ¹⁺

√ 5

2 ≤ β ₁ (ξ) ≤ 2 d’o` u 2 ≤ _β ^β

¹

^(ξ)

1

(ξ)−1 ≤ 2.618 . . . Roy, 2003 : le principe des tiroirs est parfois battu !

(36)

D´efinition des exposants diophantiens

Soit ξ ∈ R \ Q non quadratique. Pour x = (x ₀ , x ₁ , x ₂ ) ∈ Z ³ on pose L(x ) = max(|x ₀ ξ − x ₁ |, |x ₀ ξ ² − x ₂ |).

D´ efinition

Pour 0 < ε ≤ 1 on note β ε (ξ) la borne inf´ erieure de l’ensemble des β > 0 tels que, pour tout H suffisamment grand, il existe x ∈ Z ³ \ {0} tel que

|x 0 | ≤ H et L(x) ≤ min(H ^−1/β , |x 0 | ^ε−1 ).

D´ efinition

On pose β 0 (ξ) = lim ε→0 β ε (ξ) ∈]0, +∞].

(37)

R´esultats connus

Principe des tiroirs : β ₁ (ξ) ≤ 2 pour tout ξ.

Davenport-Schmidt, 1969 : β ₀ (ξ) ≥ β ₁ (ξ) ≥ ¹⁺

√ 5 2 pour tout ξ.

Roy, 2003 : Construction explicite d’un ξ tel que β ₀ (ξ) = β ₁ (ξ) = ¹⁺

√ 5

2 , ` a partir du mot de Fibonacci.

Bugeaud-Laurent, 2005 : autres nombres ξ tels que β ₁ (ξ) < 2, construits ` a partir de mots sturmiens caract´ eristiques.

(38)

R´esultat combinatoire

Soit w = w ₁ w ₂ . . . un mot infini sur un alphabet A, non ultimement p´ eriodique.

Notons (n _i ) la suite strictement croissante (suppos´ ee infinie) des entiers n pour lesquels w ₁ w ₂ . . . w _n est un palindrome.

D´ efinition

On appelle densit´ e de pr´ efixes palindromes de w le nombre δ(w) = lim sup n _i+1 /n _i ∈ [1, +∞]

et on note S l’ensemble des valeurs prises par δ(w ).

Th´ eor` eme (J. Combin. Theory, Series A, 2006)

Les plus petits ´ el´ ements de S forment une suite croissante de nombres quadratiques explicites, commen¸cant par (1 + √

5)/2

et qui converge vers le plus petit point d’accumulation de S.

(39)

R´esultat diophantien

Th´ eor` eme (Monatshefte Math., 2007)

Tout mot w tel que δ(w ) < 2 fournit des ξ tels que β ₁ (ξ) ≤ β ₀ (ξ) < 2.

Tout nombre ξ tel que β ₀ (ξ) < 2 “provient” d’un mot w . Lorsque ξ et w se correspondent, on a β ₀ (ξ) = δ(w ).

{β ₀ (ξ), ξ ∈ R \ Q non quad.} ∩ ]1, 2[ = {δ(w )} ∩ ]1, 2[.

(40)

Programme de recherches

Passer ` a β ₁ (ξ) (cf. construction par Roy, ` a partir du mot de Fibonacci et d’un raffinement arithm´ etique, de

nombres dont les β ₁ (ξ) sont denses entre ¹⁺

√ 5 2 et 2).

Probl` eme dual : |u 0 + u 1 ξ + u 2 ξ ² | ≤ H ^−τ .

(41)

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

(42)

Distances, avec Patrice Philippon

Lemme de petites valeurs.

Distances entre sous-vari´ et´ es de P ^N .

cf. ε-p.g.c.d. et ε-factorisation.

(43)

Approximations de s.e.v., avec Michel Laurent

Pour F ⊂ R ⁿ s.e.v. fix´ e, on cherche G : s.e.v. d´ efini sur Q ,

de dimension donn´ ee,

tel que les s premiers angles canoniques entre F et G soient tr` es petits par rapport ` a H (G ).

W. Schmidt, Annals of Math., 1967.

(44)

Quelques probl`emes d’approximation diophantienne

Habilitation ` a Diriger des Recherches St´ ephane Fischler

Universit´ e Paris-Sud, Orsay

8 D´ ecembre 2010

Quelques probl`emes d’approximation diophantienne

Quelques probl`emes d’approximation diophantienne

Habilitation ` a Diriger des Recherches St´ ephane Fischler

Universit´ e Paris-Sud, Orsay

8 D´ ecembre 2010

Plan de l’expos´e

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

Lemme de z´eros li´e ` a une action de SL 2 ( Z ) sur G 2 m

Th´ eor` eme (avec Nakamaye, soumis)

Soient M, N ≥ 1, x , y ∈ C ∗ , et P ∈ C [X , Y ] non nul.

Supposons que :

Les points (x a y b , x c y d ) ∈ ( C ∗ ) 2 obtenus pour

1 ≤ a, b, c , d ≤ N avec ad − bc = 1 sont deux ` a deux distincts.

Le polynˆ ome P s’y annule ` a l’ordre M (au moins).

Le point (x , y ) n’appartient pas ` a un certain ensemble fini Σ N .

N est plus grand qu’une certaine constante absolue.

Alors on a deg P ≥ 1 4 MN.

Remarques et programme de recherches

Optimal ` a la valeur pr` es de la constante 1 4 .

Premier lemme de z´ eros pr´ ecis avec un groupe alg´ ebrique non commutatif.

Motiv´ e par une construction de Roy pour ´ etudier les points de la grassmannienne ` a coordonn´ ees logarithmes de nombres alg´ ebriques (cf. Acta Arithmetica 2001).

Preuve : minoration d’une constante de Seshadri, o` u (x , y ) varie :

D´ emontr´ ee si x = 1 ou y = 1 (r´ eseau), Donc vraie sur un ouvert (amplitude).

M´ ethode susceptible d’autres applications (en cours).

Lemme d’interpolation dans un groupe alg. comm.

G , → P N groupe alg´ ebrique commutatif connexe sur C . G adh´ erence de Zariski de G ; γ 1 , . . . , γ ` ∈ G ( C ).

W sous-espace vectoriel de Lie(G ).

Pour S, T > 0, on note Y S,T le sous-sch´ ema ferm´ e de G form´ e par les points de la forme n 1 γ 1 + . . . + n ` γ ` avec 0 ≤ n j < S , ´ epaissis ` a l’ordre T le long de W .

Th´ eor` eme (Compositio Math., 2005)

Si D est assez grand alors le morphisme d’´ evaluation H 0 (G , O(D)) → H 0 (Y S,T , O(D)) est surjectif.

Sans multiplicit´ es : Masser, 1982.

Le cas lin´eaire

Pour G lin´ eaire, formulation en termes d’alg` ebres de Hopf : Lemmes de z´ eros,

Lemmes d’interpolation, Dualit´ e de Fourier-Borel.

Plan

1 Lemmes de z´ eros et d’interpolation

2 Constructions de formes lin´ eaires en polyzˆ etas

3 Approximation rationnelle

4 Ind´ ependance lin´ eaire

5 Approximation simultan´ ee d’un nombre et de son carr´ e

6 Deux axes futurs de recherche

Irrationalit´e de valeurs de zˆeta

D´ efinition (fonction zˆ eta de Riemann) ζ(s ) = P ∞

n=1 1

n

; ici s entier, s ≥ 2.

Propri´ et´ e

Si s est pair alors ζ(s) = c s π s avec c s ∈ Q ∗ , donc ζ(s) 6∈ Q ¯ . Th´ eor` eme (Ap´ ery, 1978)

ζ(3) 6∈ Q .

Th´ eor` eme (Rivoal, 2000 ; Ball-Rivoal, 2001) ζ(s ) 6∈ Q pour une infinit´ e de s impairs.

Expos´ e au S´ eminaire Bourbaki, 2002.

Conjecture : π, ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . , alg. ind´ ep. sur Q .

Preuve de Rivoal et Ball-Rivoal

Symbole de Pochhammer (k) p = k(k + 1) . . . (k + p − 1).

Pour a ≥ 3 impair, 1 ≤ r < a/2 et n pair, on pose S n =

∞

X

k=1

(k − rn) rn (k + n + 1) rn (k) a n+1 . On a

S n = ` 0,n + ` 3,n ζ(3) + ` 5,n ζ(5) + . . . + ` a,n ζ(a) tr` es petit quand n → ∞, avec ` i,n ∈ Q ` a d´ enominateur contrˆ ol´ e.

Le crit` ere de Nesterenko donne

dim Q Vect Q (1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(a)) ≥ 1 + o(1)

1 + log 2 log a.

D´efinition des polyzˆetas

D´ efinition

On appelle polyzˆ etas les s´ eries multiples de la forme ζ(s 1 , s 2 , . . . , s p ) = X

k

>k

Lemme de z´eros li´e ` a une action de SL ₂ ( Z ) sur G ² m

Soient M, N ≥ 1, x , y ∈ C ^∗ , et P ∈ C [X , Y ] non nul.

Les points (x ^a y ^b , x ^c y ^d ) ∈ ( C ^∗ ) ² obtenus pour

Le point (x , y ) n’appartient pas ` a un certain ensemble fini Σ _N .

Alors on a deg P ≥ ¹ ₄ MN.

Optimal ` a la valeur pr` es de la constante ¹ ₄ .

G , → P ^N groupe alg´ ebrique commutatif connexe sur C . G adh´ erence de Zariski de G ; γ ₁ , . . . , γ _` ∈ G ( C ).

Pour S, T > 0, on note Y _S,T le sous-sch´ ema ferm´ e de G form´ e par les points de la forme n ₁ γ ₁ + . . . + n _` γ _` avec 0 ≤ n j < S , ´ epaissis ` a l’ordre T le long de W .

Si D est assez grand alors le morphisme d’´ evaluation H ⁰ (G , O(D)) → H ⁰ (Y _S,T , O(D)) est surjectif.

Si s est pair alors ζ(s) = c _s π ^s avec c _s ∈ Q ^∗ , donc ζ(s) 6∈ Q ¯ . Th´ eor` eme (Ap´ ery, 1978)

Symbole de Pochhammer (k) _p = k(k + 1) . . . (k + p − 1).

Pour a ≥ 3 impair, 1 ≤ r < a/2 et n pair, on pose S _n =

(k − rn) _rn (k + n + 1) _rn (k) ^a _n+1 . On a

S _n = ` _0,n + ` _3,n ζ(3) + ` _5,n ζ(5) + . . . + ` _a,n ζ(a) tr` es petit quand n → ∞, avec ` i,n ∈ Q ` a d´ enominateur contrˆ ol´ e.

dim _Q Vect _Q (1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(a)) ≥ 1 + o(1)

1 k ₁ ^s

k ₂ ^s

· · · k _p ^s

avec p ≥ 0, s ₁ ≥ 2 et s ₂ , . . . , s _p ≥ 1.

Pour p = 0, on pose ζ(s ₁ , s ₂ , . . . , s _p ) = 1.

Soient P ∈ Q [X ₁ , . . . , X _p ], A ₁ , . . . , A _p ∈ N ^? , n ₁ , . . . , n _p ∈ N . Si la s´ erie

P (k 1 , . . . , k p ) (k ₁ ) ^A _n

+1 · · · (k _p ) ^A _n

≤ p et de poids ≤ P p j=1 A _j .

P (k ₁ , . . . , k _p ) (k ₁ ) ^A _n

₊₁ · · · (k _p ) ^A _n

₊₁

s’´ ecrit comme une combinaison Q -lin´ eaire de polyzˆ etas ζ(s ₁ , . . . , s _q ) avec s ₁ , . . . , s _q impairs.

P (k ₁ , . . . , k _p ) (k 1 ) ^A _n

₊₁ · · · (k p ) ^A _n

₊₁

s’´ ecrit comme une combinaison Q -lin´ eaire de polyzˆ etas dans laquelle en profondeur p on a seulement des ζ(s 1 , . . . , s p ) avec s ₁ , . . . , s _p impairs.

(k − rn) _rn (k + n + 1) _rn Q 2n

j=0 (k + j/2) ^a Troisi` eme ph´ enom` ene de sym´ etrie.

Autre ´ ecriture : facteur (−1) ^k dans la somme.

(k 1 ) ^A _n