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Submitted on 1 Jan 1959
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Étude du refroidissement d’un gaz de particules chargées dans un plasma totalement ionisé
A. Brin, J.-L. Delcroix, J. Salmon
To cite this version:
A. Brin, J.-L. Delcroix, J. Salmon. Étude du refroidissement d’un gaz de particules chargées
dans un plasma totalement ionisé. J. Phys. Radium, 1959, 20 (5), pp.529-534. �10.1051/jphys-
rad:01959002005052900�. �jpa-00236093�
529.
ÉTUDE DU REFROIDISSEMENT D’UN GAZ DE PARTICULES CHARGÉES DANS UN PLASMA TOTALEMENT IONISÉ
Par A. BRIN,
Commissariat à l’Énergie Atomique.
J.-L. DELCROIX,
École Normale Supérieure.
J. SALMON,
Commissariat à l’Énergie Atomique.
Résumé.
2014L’étude du refroidissement d’un gaz de particules chargées au sein d’un plasma
totalement ionisé est entreprise dans le cadre des hypothèses de Rosenbluth, MacDonald et Judd
en supposant en outre la concentration du gaz faible vis-à-vis de celle des particules du plasma.
Dans ces conditions le phénomène est régi par une certaine équation aux dérivées partielles.
Cette équation est linéaire ; on peut appliquer la méthode des fonctions propres et valeurs propres et définir ainsi des temps de relaxation.
Dans un cas particulier important on peut expliciter les écarts caractéristiques et les temps de relaxation de ces écarts. On compare avec les résultats de Spitzer.
Abstract.
2014The cooling of a gas of charged particles in a fully ionized plasma is studied follow-
ing the assumptions of Rosenbluth, MacDonald and Judd. The gas concentration is assumed low compared with the concentration of plasma particles.
In these cases, the process obeys a partial derivate equation. This equation is linear ; then, the method of eigen functions and eigen values is suitable, and it is possible to define relaxation times.
In a particularly important case, the characteristic deviations and relaxation times can be obtained in detail. A comparaison is made with the results of Spitzer.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM TOME 20, MAI 1959, PAGE 529.
10 Introduction.
-Nous nous proposons d’étu- dier l’évolution de la fonction de distribution d’un groupe de particules P chargées au sein d’un plasma
totalement ionisé, à partir d’une fonction de dis- tribution initiale isotrope mais différente à
priori de la forme maxwellienne, la concen-
tration de ces particules dites particules test étant
très faible devant les concentrations des particules positives et négatives du plasma.
.
Celui-ci est constitué en premier lieu par des électrons e de masse me et de charge
-e, leur den-
sité est ne et leur fonction de distribution /e(we).
D’autre part, les ions positifs i ont une masse mi
et une charge Zi leur densité est ni et leur fonction de distribution li(wi).
,Le plasma est en équilibre dans un thermostat à la température T o les fonctions fe(we) et f i(w;) sont
donc indépendantes du temps et possèdent la
forme Maxwellienne.
k, constante de Boltzmann.
Le plasma est quasi-neutre, ce qui implique la
condition
Les particules étudiés ont pour masse m et pour
charge Z ; leur densité est n et leur fonction de distribution l(w, t), caractérisé à l’instant initial par une certaine forme ffn(W),’ f évolue avec le temps vers la forme Maxwellienne f o..
La densité n est supposée très faible devant ne
et ni. La condition de neutralité n’est donc pas affectée par la présence des particules P et de plus
les interactions des particules P entre elles jouent
un rôle négligeable devant celui des interactions des particules P avec les particules e et i. L’évo-
lution de f est donc commandée par ces dernières.
Les potentiels qui régissent ces interactions sont
.du type Coulombien avec effet d’écran, soit
h désignant la longueur de Debye du plasma (voir
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01959002005052900
530
appendice I). Les expressions des sections efficaces
sont donc dans le référentiel du centre de masse.
INTERACTION P - e
INTERACTION P -1
t4 et 03BCi désignent les masses réduites respectives,
. ui et ue les modules des vecteurs vitesse rela- tive w - we et w - w;, 0, et Oi les angles de
déviation.
L’effet d’écran limite la validité des formules (5)
et (6) aux domaines Qem - 7r et Oi.
-Tu, les sec-
tions efficaces étant nulles en dehors de ces inter-
valles ; Oem et 8im sont donnés par les formules
20 Opérateur de collision.
-L’équation d’évo-
lution s’écrit :
Dans cette équation figurent au second membre,
les opérateurs de collision P - e et P - i. Les
expressions choisies pour ceux-ci sont celles de Fokker-Planck à savoir :
Cette équation suppose que les interactions loin-
taines (6 « 7r) sont prépondérantes ; wx, wv et wz, y désignent les composantes Cartésiennes de w, Aw,, >e, la valeur moyenne de la variation par unité de temps de la composante wx sous l’effet des collisions avec les électrons et Awx Awy >e la valeur moyenne par unité de temps du produit des
variations des composantes w. et W1I8 Les somma-
tions sont faites par rapport aux trois composantes
et l’expression LB/ (- collision P - 1 test ana-
logue à celle de LB/ ( - ) collision P - el
°Le calcul de LB/ (-’) collision P 2013 Jet de
L ( B/ 2013 ) collision P - sera fait en utilisant la méthode et les approximations de Rosenbluth,
MacDonald et Judd [2].
Il vient ainsi :
Dans cette formule re est donné par l’expression :
tandis que les fonctions he et ge s’écrivent :
Calculons (13) et (14) en fractionnant l’inter- valle 0
-oo en deux intervalles 0 - w et w - oo
à l’intérieur desquels on prendra le signe conve-
nable pour (w
---we) ; posons d’autre part
et introduisons la fonction erreur et sa dérivée :
Il vient ainsi :
Reportant (18) et (19) dans (11) il vient tous
calculs faits.
Le calcul de ( -’ ) ut, collision P ---- i est
’identique
et joint à celui de (-’) Bdf/ collision P - e, permet d’expliciter complètement (9), introduisons alors la variable réduite
et les paramètres
Les rapports wiw,,o et wiwio qui figurent dans
les opérateurs de collisions s’écrivent :
L’équation (9) s’écrit maintenant :
Faisons enfin dans (23) le changement de fonc-
tion
Il vient :
On remarque immédiatement la solution.
laquelle correspond à la forme Maxwellienne
La fonction de distribution des particules au fur
et à mesure de leur refroidissement tend vers la forme (27). Le formalisme et les approximation
faites lors de l’établissement de l’équation de
Fokker-Planck conduisent donc à un résultat cohé- rent à savoir la possibilité du retour à l’équilibre.
.
Il est à remarquer que le développement taylorien
utilisé dans l’établissement de l’équation de Fokker-
Planck est du deuxième ordre et que le premier
ordre seul n’assurerait pas l’existence d’une solu- tion stationnaire. Il en va de même en théorie ciné-
tique des plasmas faiblement ionisés ; l’action de l’opérateur de collision sur une fonction isotrope
des vitesses conduit à la formule de Chapman et Cowling dont l’établissement réclame également un développement taylorien jusqu’au second ordrT et
assure en conséquence la possibilité du retour à
l’équilibre par l’existence d’une solution maxwel- lienne.
On peut en conclure que dans les deux cas le
développement jusqu’au premier ordre ne traduit
que la conservation de la quantité de mouvement et qu’il faut aller jusqu’au second ordre pour
exprimer la conservation de l’énergie.
,3° Étude générale de l’équation (25).
-Le pro- blème de l’évolution de la fonction de distribution est donc celui de la résolution de l’équation (25),
avec les conditions aux limites.
On peut transformer l’équation (25) en une équa-
tion aux différences fmies, bien adaptée à l’utili-
sation d’un calculateur électronique.
_On peut également considérer le second membre
de (25) comme l’action d’un opérateur hnéaire sur la fonction u et chercher les valeurs propres et fonctions propres de cet opérateur, ce qui facilite
la recherche et l’interprétation de la solution. Nous verrons un exemple de cette méthode au para- ,"
graphe suivant.
3° Cas partieulier important.
-Nous allons étudier l’équation (25) dans le cas où les quan- tités zse et xsi c’est-à-dire wJweo et wiwio sont
faibles devant l’unité pour la plus grande parlie des
particules P. Il est facile de vérifier que ceci est
équivalent à la condition plus physique.
1 TiniTo « mimi « -1-e (29)
en appelant Tiu la température cinétique initiale
des particules P, les inégalités s’appliqueront éven-
532
tuellement au problème du refroidissement d’un
gaz de particules lourdes dans un gaz léger.
Faisons x petit dans l’équation (25) en utilisant
les développements limites
.’
Posant
et tenant compte de l’inégalité
nous obtenons l’équation très simple
Dans ce cas il est possible de trouver une expres-
sion analytique des fonctions propres de l’opéra-
teur du second membre.
En effet une étude détaillée de l’équation
montre qu’on doit imposèr aux solutions u les
conditions aux limites
et que les fonctions u. ainsi que les valeurs Ã. de X données par les expressions
formant un ensemble de fonctions propres et de valeurs propres satisfaisant à la fois à l’équa-
tion (33) et aux conditions (34) et (35); H 2A+ 1(x)
désigne le polynôme d’Hermite de degré 2.n + 1.
Exprimons alors la solution de (32) sous la forme :
et, reportons dans (32) il vient
Multiplions les deux membres par x e-za H2p+ 1(x)
et intégrons de zéro à l’infini en utilisant les rela-
tions d’orthogonalité des polynômes de Hermite.
Il vient :
d’où
ce qui donne pour u(x, T)
Les constantes An peuvent être obtenues à partir
de la fonction de distribution initiale fin(x)
posons
et faisons ’t’égal à zéro dans (39) il vient
Multiplions encore par x e--0153l H+ 1(x) et inté-
grons en faisant varier p de zéro à l’mfmi, il vient :
d’où l’expression finale de la fonction de distri- bution
avec
Connaissant les masses, charges et densités m,
me, mi, Z, Zi, n, ni, ne en jeu ainsi que la tempé-
rature du plasma To et sa longueur de Debye h on
déduit explicitement la forme de la fonction f(w, t)
en fonction de la distribution initiale fin{W), f(w, t)
apparaît comme une somme d’exponentielles de
constantes de temps
Explicitons to.
D’une part :
d’autre part :
On peut donc écrire :
Les termes en logarithmes influent peu sur la valeur de chacun des termes du crochet tandis que mi Zi est toujours très supérieur à me. Il vient
donc pour"to l’expression approchée.
Or Spitzer [3] donne pour le temps de relaxation entre deux distributions Maxwelliennes initia- lement à des températures différentes Tin et To et
avec retour à To l’expression
avec
Tjn m
Comme nous avons suppose pp 2013 « m et comme
o mi
log A influe peu sur le dénominateur on voit que notre temps ta se confond pratiquement avec le temps d’équipartition de Spitzer. Remarquons
.
d’autre part qu’on peut résumer nos résultats en
disant que to est une limite supérieure des temps de
relaxation qui interviennent. C’est la constante de temps principale ; notre méthode permet de définir
des écarts non Maxwelliens caractéristiques et to
est le temps de relaxation des écarts du premier
ordrê.
Appendice I.
-Il y a une certaine difficulté à définir de façon non ambiguë la longueur de Debye
dans un plasma, du mcins quand on utilise cette
notion pour introduire une coupure raisonnable dans l’étude des problèmes dynamiques et en parti-
culier dans les intégrales de collision [4]. On trouve
dans la littérature les deux formules contradic- toires.
et
On obtient en fait la formule (2) quand on cal-
cule correctement par la méthode des fonctions de distribution multiples de J. Yvon les corrélations entre électrons et ions dans un plasma en équilibre thermodynamique. L’effet d’écran qu’on trouve
alors comporte de façon tout à fait symétrique une
contribution due aux électrons et une contribution due aux ions. C’est cette formule que l’on doit utiliser pour calculer les propriétés statistiques
d’un plasma en équilibre par exemple l’énergie
moyenne d’interaction entre les particules.
Quand on étudie les collisions on utilise au con-
traire la formule (1) ; on néglige l’effet d’écran dû
aux ions ; cela revient à admettre que les collisions sont des phénomènes trop rapides pour que cet effet ait le temps de se produire. Il est facile de
vérifier par un raisonnement élémentaire que ceci est justifié pour les collisions e
-P. On peut en effet,définir un « temps efficace » de collision par la formule
dans laquelle p désigne le paramètre d’impact et We
la vitesse de l’électron. Cette quantité est de l’ordre
de grandeur du temps que passent les deux parti-
cules considérées à une distance de l’ordre de p.
Pour les collisions les plus lointaines la valeur moyenne de ce temps est t avec
en appelant me et wi les fréquences de plasma élec- tronique et ionique, f étant bien plus petit que wi,
il est donc raisonnable d’utiliser l’expression (1) pourfle problème qui nous intéresse.
Append,iee II.
-Étudions l’équation
et montrons que les solutions de cette équation
n’ont de sens physique que si l’on a
Rappelons tout d’abord que
et 4ue la fonction f doit être bornée partout et
.tendre vers zéro lorsque x tend vers l’infini.
.
