Structure des ondes de choc dans un gaz partiellement ionisé

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Structure des ondes de choc dans un gaz partiellement ionisé

M. Jaffrin

To cite this version:

M. Jaffrin. Structure des ondes de choc dans un gaz partiellement ionisé. Journal de Physique, 1965,

26 (8-9), pp.483-485. �10.1051/jphys:01965002608-9048300�. �jpa-00206008�

483.

STRUCTURE DES ONDES DE CHOC DANS UN GAZ PARTIELLEMENT IONISÉ (1)

Par M. JAFFRIN,

Office National d’Études et de Recherches Aérospatiales.

Résumé. - La structure d’une onde de choc stationnaire plane ^{dans un gaz} partiellement ^ionisé

est étudiée suivant un modèle hydrodynamique ^{à trois} fluides. Dans le cas où le plasma ^reste quasi

neutre et l’ionisation est figée, les distributions des vitesses, températures, champ électrique ^et potentiel ^au travers du choc sont obtenues par intégration numérique pour différentes valeurs du

degré d’ionisation et du nombre de Mach.

Abstract. 2014 The structure of a steady plane ^{shock in a} partially ^{ionized gas is} investigated using ^a three-fluid Navier-Stokes model. With the assumptions ^of quasi-neutrality ^{and frozen} ionisation, ^the velocities, temperatures, ^{electric field and} potential distributions through ^{the shock}

are obtained by ^numerical integration for différent values of the degree of ionisation and Mach number.

LE JOURNAL

PHYSIQUE ^TOME 26, AOUT-SEPTEMBRE 1965,

1. Introduction.

Dans les souffieries et les tubes a choc hypersoniques ^la temperature ^du gaz

apr6s le choc atteint plusieurs milliers de degr6s

et le gaz s’ionise. Nous consid6rons ici le ^cas d’une onde de choc normale stationnaire. On sait que la

temperature, la vitesse et la densite sont discon- tinues sur l’onde de choc.

Les relations d’Hugoniot permettent de calculer

ces discontinuités mais ne donnent aucun rensei-

gnement ^{sur le} champ electrique induit dans le

choc, ^sinon qu’il ^{est nul a I’amont et a} l’aval. II est donc n6cessaire d’etudier la structure du choc c’est-a-dire de remplacer ^ces discontinuités _par

une variation continue sur une tres courte dis- tance en faisant intervenir certains m6canismes de

dissipation. ^Ce probl6me ^est bien resolu pour ^un gaz ordinaire, mais dans le cas d’un plasma qui

est un m6lange ^de plusieurs esp6ces, ^{les unes} poss6dant ^des charges 6lectriques, ^{les autres} neutres, la diffusion et le champ electrique ^modi-

fient considérablement les resultats classiques.

Notre analyse ^{est bas6e sur un modele a trois} fluides, ^les ions, ^{les electrons et les} atomes, gou- verne par les equations de Navier-Stokes pour

chaque ^{fluide et} 1’6quation de Poisson. Nous avons

suppose que Ie gaz est ionise avant le‘ choc, que l’ionisation reste fig6e ^{au cours du choc et} qu’il n’y ^a pas de champ magn6tique impose.

2. equations ^{de base.}

^Les equations ^d’un

6coulement de plasma monodimensionnel et sta- tionnaire sont :

L’equation ^de Poisson, pour le champ electrique longitudinal Ex

(1) ^{Ce travail,} pr6sent6 ^{au Colloque} de ^{Physique des}

Milieux Ionises tenu a Toulouse les 28 et 29 mai 1965, ^a

ete effectu6 par 1’auteur ^au Massachusetts Institute of

Technology; Cambridge, Massachussets, ^{U. S. A.}

les equations de conservation de _masse, de quan- tit6 de mouvement et d’energie, ^soit respecti-

vement :

Les quantités n’, u’, ^{m et T’} d6signent ^{la den-} sit6, ^la vitesse, ^{la masse et la} temperature respec- tivement tandis que la pression ^{est donn6e} par

1’6quation ^d’etat

avec j = i, e, a ^{et la} convention ei

_e, valeur absolue de la charge 6lectronique, ^ee

^e,

ea

0 ou les indices i, ^{e et a} repr6sentent ^les ions,

les electrons et les atomes. Les symboles y ^{et K} d6signent les coefficients de viscosite et de conduc- tibilit6 thermique, ^{Pik est} le transfert de quantite

de mouvement entre les especes / ^{et k du aux}

collisions et Çik ^est le transfert d’energie. ^Ces

coefficients 6tant des fonctions connues des temp6- ratures, ^{densités et} vitesses, nous avons un sys- t6me de treize equations ^{dont six sont} alg6briques

pour treize inconnues p’, u’, n;, Tj’ ^et Ex.

3. Coefficients de transport ^{et de} transfert.

Nous 6tendons les formules de la th6orie ein6tique

pour ^un gaz pur monoatomique ^{au cas de} I’espece j

d’un m6lange.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01965002608-9048300

484

oii c

(8kT’ /nm)1{2 ^{est la vitesse} d’agitation ^ther- mique ^{et vi est la} frequence totale de collision [1].

ou Q’;k ^est la section efficace de collision. Les expres- sions des coefficients de transport ^se simplifient

dans les cas limites suivants :

10 a == O. Gaz neutre (cas ^de l’argon)

20 oc

1. Gaz entierement ionise

Les formules pr6c6dentes ^montrent que les 6lee- trons ont une grande conductibiIité thermique ^et

une faible viscosite et que les coefficients de ^trans-

port augmentent ^d’autant plus rapidement ^{avec la} temperature que le degr6 d’ionisation ^est élevé.

Les transferts de quantite ^{de mouvement et} d’energie ^{entre les} esp6ces ^{ont ete calculees par} Burgers [2] ^{et Petschek et} Byron [3]. Ils s’ecrivent

respectivement :

On v6rifie imm6diatement la conservation de la

quantite ^{de mouvement et} d’6nergie

4. Méthode de resolution.

En ajoutant ^les equations ^de Navier-Stokes pour les trois especes,

les termes de transfert additionn6s s’annulent et les equations ^obtenues peuvent ^etre integrtes ^une

fois a 1’aide de 1’6quation de Poisson pour donner les equations gouvernant ^le m6lange. ^{On normalise}

ensuite les variables _par rapport ^a leurs valeurs a 1’etat aval (indice 2), h 1’exception ^du champ electrique ^{et du} potentiel tp’ dont les valeurs nor-

malis6es E _{et cp} sont

0U

est la longueur ^de Debye.

Les equations ^sans dimensions ainsi obtenues contiennent les param6tres ^{suivants :}

le degr6 d’ionisation

’

le nombre de Mach du plasma

les rapports des libres parcours moyens ion-ion ^et atome-atome

a la longueur ^de Debye.

Le nombre de Mach du plasma ^{M d6crolt} lorsque ^a augmente ^{et un} choc existe entre M > 1.

Dans le cas usuel ou ÀD2 ^« Inf(I]] , laa$) ^1’examen

des equations ^sans dimensions montre que 1’energie electrique ^{et la} charge d’espace ^{sont tres} petites

et les equations déterminant E et la charge ^d’es-

pace (ni

ne) ^{e sont} d6coupl6es ^{des autres} equa-

tions. En outre, ^comme la section efficace de colli- sion Q;a ^est g6n6ralement ^tres grande ^{a cause du} phenomene d’6change ^de charges, ^{les termes de}

transfert montrent que les ions ^et les atomes ont des vitesses et des temperatures ^{voisines. Au con-}

traire le couplage ^{entre la} temperature ^6lectro- nique ^{et les autres} temperatures ^{est faible a cause}

du grand ^{nombre de} collisions n6cessaire, ^{de l’ordre}

de m2/me

1/E2 pour que les temp6ratures s’6ga-

lisent. La m6thode de resolution est expos6e ^dans

la reference [4]. ^On calcule d’abord _ua, Ta ^et Te ^à partir ^des equations globales ^du m6lange ^{et de} 1’equation d’energie ^des electrons, par ^une methode

classique d’integration ^{dans les} plans vitesse-tem-

p6rature ^{entre les deux} points singuliers repre-

sentant les 6tats amont et aval. Puis on determine le champ electrique par 1’6quation ^{de mouvement}

des electrons et on calcule ui et Ti _par iteration à

partir ^{de ua et Ta. Les} valeurs des sections efficaces utilis6es sont tir6es de resultats experimentaux

obtenus pour I’argon.

5. Résultats.

Quelque ^{soit le} degr6 ^d’ioni-

sation non nul, ^{la structure du choc} comprend

d’abord un choc thermique d’épaisseur lii2/E ^beau-

coup plus grande que le libre parcours moyen, ^au

cours duquel ^la temperature 6lectronique ^atteint

presque ^sa valeur finale tandis que la temperature

et la vitesse des ions et des atomes varient peu.

L’energie ein6tique ^de 1’ecoulemen test d’abord

dissip6e par la conduction thermique ^des electrons,

ceux-ci 6tant chauff 6s les premiers ^{a cause de leur}

conductibilite 6lev6e. La diffusion ion-atome ^est

negligeable. ^La deceleration et 1’echauff ement des ions et des atomes ont lieu principalement ^{dans un}

sous choc, c’est-h-dire un deuxi6me choc beaucoup plus ^fin noye ^{dans le} premier, ^dont 1’epaisseur ^est

de l’ordre du libre parcours moyen. Ce ^sous choc

est représenté ^{dilate sur les} figures ^{1 et 2. Les}

485

FIG. 1.

Distributions de vitesses, temperatures, champ electrique ^et potentiel ^{dans un} choc modere (M 1 = 2, (X = 0,1).

m6canismes de dissipation ^{du sous choc sont la}

conduction et la viscosite des ions et des atomes et la température 6lectronique ^{reste constante.}

L’equilibre thermique ^{est atteint en aval} apr6s ^un

nombre suffisant de collisions. Pour un choc modere

(fig. 1, M 1

^{2, a}

0,1) ^le champ electrique ^est toujours n6gatif ^{et atteint son} amplitude ^maximale

dans le sous choc. Au d6but du choc, ^les particules

lourdes diffusent ^vers 1’aval plus vite que les 6lec-

trons, 1’exe6s d’electrons cree un champ electrique n6gatif qui temps ^a annuler la separation ^de charge

et les electrons quoique subsoniques subissent le meme choc que les ions. Le potentiel ^{croit au cours}

du choc et 1’energie potentielle ^{est de} l’ordre de

1’energie thermique.

Quand ^le degr6 d’ionisation croit, M 1 ^restant constant, ^la deceleration de 1’ecoulement dans le choc thermique ^est plus importante ainsi que la diffusion ion-atome. L’amplitude ^du champ ^6lee-

FIG. 2.

Distributions de vitesses, temperatures, champ electrique ^et potentiel ^{dans un} choc fort (M 1

10,

«=0,1j.

trique ^{est accrue mais non} 1’616vation de potentiel qui ^reste pratiquement ind6pendante ^{de a. Le cas}

limite d’un plasma enti6rement ionise a ete 6tudi6

dans la reference [5].

Lorsque le nombre de Mach est grand (fig. 2, M1 = 10, ^«

0,1) ^{on note un} rapide ^accrois-

sement de la temperature electronique ^{au d6but}

du choc qui correspond ^{a un} champ electrique pr6-

curseur dont 1’amplitude ^{varie comme} M2. ^La

diffusion ion-atome est importante. L’elevation de

potentiel ^{au travers du choc} augmente ^{avec M.}

L’élévation de potentiel ^{au travers d’une onde}

de choc mesur6e par Heywood [6] ^{dans un tube à}

choc magn6tique ^{annulaire au} M. I. T. est en

bon accord avec la valeur pr6dite par la th6orie.

11 semble done que la ^mesure du potentiel ^au

passage du choc puisse ^{fournir une m6thode} simple

pour localiser ^le front du choc et determiner son

6paisseur ^{dans une} experience.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^FAY (J. A.), ^{A. V. C.} O. Everett Research Lab. AMP 71,

mars 1962.

[2] ^BURGERS (J. M.), dans Plasma Dynamics, éd. par Clauser (F. H.) (Addison Wesley, 1960), p.156.

[3] ^PETSCHEK (H.) ^{et BYRON} (S.), ^Annals of Physics, 1957, 1, ^270.

[4] ^JAFFRIN (M. Y.), Phys. Fluids, 1965, 8, ^606.

[5] ^JAFFRIN (M. Y.) et PROBSTEIN (R. F.), Phys. Fluids, 1964, 7, ^1658.

[6] ^HEYWOOD (J. B.), ^Fluid Mech. Lab. Pub. n° 65-1.

Dept. ^{of Mech.} Eng. ^{M. I. T.} Cambridge, ^Mass.