Contribution de la stochasticité des lignes de champ magnétique au transport anormal dans un plasma confiné

(1)

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Submitted on 1 Jan 1997

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Contribution de la stochasticité des lignes de champ magnétique au transport anormal dans un plasma

confiné

A. Oualyoudine, D. Saifaoui, A. Dezairi, A. Rouak

To cite this version:

A. Oualyoudine, D. Saifaoui, A. Dezairi, A. Rouak. Contribution de la stochasticité des lignes de champ magnétique au transport anormal dans un plasma confiné. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (5), pp.1045-1061. �10.1051/jp3:1997174�. �jpa-00249628�

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J Phys. III £Yance 7 (1997) 1045-1061 MAY 1997, PAGE 1045

Contribution de la stochasticit4 des lignes de champ magn4tique

au transport anormal dons _un plasma confin4

A- Oualyoudine (~), D. Saifaoui _(~> *), ^A. Dezairi (~) et A. Rouak (~) (~) Laboratoire de Physique Thdorique, Facultd des Sciences Am Chock, BP. 5366 Maarif,

Casablanca, Maroc

(~) Laboratoire de Physique Thdorique, Facultd des Sciences Ben M'sik, Casablanca, Maroc

(Regu le 28 _mar 1996, rdvisd le 27 janvier 1997, acceptd le 11 fdvrier 1997)

PACS.52.65.+z Plasma Simulation

Rdsum4. L'4volution de la stochasticit4 des lignes de champ magndtique _a dt4 4tud14e numb riquement en simulant les 4quations des lignes de champ. Nous _avons _mis _au point _une m4thode numdrique qui permet d'dtudier la transition de la stochasticit4 partielle h la stochasticitd glo-

bale Nous _avons aussi 4tudi4 la diffusion des hgnes de champ h travers les surfaces magn4tiques

en utilisant _un modAle du coefficient de diffusion _que _nous _avons introduit. La dynamique _non-

gaussienne des lignes de champ _a 4t4 analys4e h l'aide du paramAtre Kurtosis

Abstract. The evolution of stochastic magnetic field lines has been studied numerically We have developed _a numerical technique in order to study the transition from partial stochasticity

to global stochasticity of magnetic field lines Also, _we have introduced _a model (Ds of diffusion coefficient in order to study the diffusion of lines through magnetic ^surfaces. The non-Gaussian

dynamics of lines has been analyzed _using the Kurtosis parameter.

Introduction

Les Atudes dans le domaine de la fusion contr61de d'un plasma de tokamak ont montrd que le confinement de la matiAre et de l'Anergie dApend AnormAment de la structure de champ magnA- tique. La destruction des surfaces magndtiques et la formation des rdgions stochastiques des

lignes du champ rdsultant des instabilitds magndtohydrodynamiques ^conduisent h la ddgrada-

tion du confinement du plasma _[9]

La diffusion des lignes de champ magnAtique h travers les parois magn4tiques d'une manibre chaotique contribue _au transport anormal dans le tokamak _par la perturbation de la structure du champ, cette perturbation entraine la destruction des surfaces magnAtiques qui sont _res-

ponsables du confinement et la crAation des i16ts magndtiques ^entourAs de _zones chaotiques.

Les particules sont donc transportdes le long des lignes de champ magn4tique chaotique qui permettent de relier la rdgion centrale du plasma h _sa pdriphdrie [3,6,9].

En gdndral, les dquations des lignes de champ _peuvent Atre dcrites _en terme d'harniltonien [1-3> ^et ^leur comportement stochastique peut Atre Atudid correctement _en utilisant la section

(° Auteur auquel doit Atre adress6e la correspondance (e-mail

: SC-SD©casanet.net.ma)

Les #ditions _de _Physique ₁₉₉₇

(3)

de PoincarA de la surface. En plus de _ces suppositions, ^la section de PoincarA de la surface peut Atre d4crite par une description du mapping discret [1,2,12>.

La diffusion dans le plasma confinA _a dtd dtudide _par plusieurs auteurs- Par exemple Krommes et al- [15], Misguich et al- [5], Mendonga _[2] et Laval [10]. Notre contribution dans _ce domaine de la diffusion consiste h Atudier l'influence _de l'Avolution de la stochasticitA des lignes de champ

magn4tique _sur la perturbation des surfaces magnAtiques, la diffusion des lignes h travers les

parois magnAtiques _en utilisant _un modAle que nous avons introduit et l'analyse de la dynamique non-gaussienne-

Dans les sections I et 2, _nous donnons les dquations des lignes du champ magn4tique, puis

nous rappelons la d4finition du coefficient de diffusion thAorique.

Dans la section 3, nous donnons la transformation qui permet ^de remplacer les dquations des lignes de champ _par _un mapping discret _[2> pour faciliter l'intAgration de _ces dquations-

Dans la section 4, _nous avons AtudiA l'Avolution des lignes ^de champ magnAtique en fonction du paramAtre de stochasticit6 _en simulant les Aquations du mapping discret- Dans la

section 5, nous montrons comment _on peut ddtecter, _avec _une mdthode numdrique _que _nous

avons dlabor4e, la transition de la stochasticit4 partielle h la stochasticitd globale _[7]-

Dans la section 6, _nous _proposons _un modAle de coefficient de diffusion Ds _qui amAliore celui de Mendonga _[2] _pour les grandes ^valeurs de K supArieures h K~ et dont la limite du rapport de Ds _sur Dquas,1,n4a,<e(Ds/DQL) ^tend vers l'unitA quand K tend _vers l'mfini conform4ment

aux prAvisions th40riques _[13].

Dans la section 7, _nous _sommes intAress4s h l'Atude de la dynamique non-gaussienne des

lignes de champ magnAtique en utilisant le paramAtre Kurtosis [8].

1. #quations _des _lignes _du _champ _magn4tique

Dans les tokamaks, les coordonnAes du champ magnAtique sont fonctions du flux radial ~fi(r), ^de l'angle toroidal ((r) et de l'angle poloidal 9(r)- Le champ magnAtique peut s'Acrire _sous forme

contravariante _comme suit

B ₌ V4 ~ V9 ₊ Vi ~ V4~ ill

off il~ ₌ il~jr) est le flux poloidal Les dquations des lignes de champ sont

fi ^~ 4 _~~~

°"

~

_°"p

of do j~~

Ce sont formellement les Aquations canoniques du _mouvement ayant pour hamiltonien il~ oh ( joue le role de la variable temps- ^On _suppose ^dons la suite qne l'hamiltonien s'4cnt

:

wpi<, o, o

= wpo(~) + 4pi~, _o, _fi ₁₄₁

avec

(lip( « i"pot

. Gas 4p

= 0

Les dquations du mouvement (2) et (3) sont intdgrables et les lignes ^de champ magndtique sont toutes tangentes aux surfaces magnAtiques _rAguliAres dAterminAes _par

~fi ⁼ constante-

. Cas 4p _# ₀

Quelques surfaces magnAtiques autour des surfaces rationnelles seront Aventuellement dAtruites

(4)

N°5 STOCHASTICITE DES LIGNES DE CHAMP MAGNETIQUE 1047

et remplacAes _par des rAgions stochastiques- Si _ces rAgions sont suffisamment chevauchdes, _nous

aurons une stochasticitd totale. La diffusion des hgnes de champ magnAtique significative _aura

lieu et permet ^des connexions entre les parties internes et externes de la configuration toroidale-

2. Coefficient de diffusion

Pour ddfinir le coefficient de diffusion, _nous considdrons le ddveloppement de l'hamiltonien

perturbde _en sArie de Fourier _en fonction des variables 9 et ( _[2]

4p(~fi, 9, f)

=

~j _Am(~fi, f)expfim9) (5)

avec

Am(~fi, II

=

~ arm(~filexpfiR(I,

oh _n et _m sont les nombres d'onde toroidal et poloidal.

On dAfinit la d4viation radiale Ail(() ₌ _~fi(() _~fio de la ligne de champ magnAtique induite par la perturbation _:

A~fi(f) ₌ I ~

m /~^Am (f')exp[im9(f')jdf'- (6)

~ o

Le carrA moyen de la ddviation peut alors Atre ddterminA _en termes des moyennes statistiques _:

f f'

(A~fi~(f)) =

/ _df' / dj"c(j', j") (7)

0 0

oh C(f', f") _est la fonction de corrAlation qui est donnAe _par

C(f" f"I

"

~j ~j ~'~" (Am'((')Am" (f"l~~pl~~'9(f'l ₊ i~"9(f")11 ₁₈₁

~, ~,,

Le coefficient de diffusion asymptotique des lignes stochastiques du champ est donna par :

3. Mapping discret

Dans _ce paragraphe, _nous montrons comment et dans quelles conditions _nous pouvons rempla-

cer les Aquations du mouvement par un mapping ^discret [4]. ^Dans ^le cas simple de la surface

magnAtique rAguliAre _~fip ₌ 0, la reprdsentation de Poincard de chaque ligne de champ magn4- tique ^dans le plan f ₌ 0(mod _27r) _se rAduit _au mapping suivant

~fik+1 " i~k (10)

°k+1 " °k + 21rt(lfik+1j. (ii)

Dans le _cas oh la transformation est canonique, _nous _pouvons la dAriver d'une fonction gAnd- ratrice [14] qui est d4finie _par

~~+>

l~~(~fik+I> °k)

" °k~fik+1 + 2~ /

t(ffi)dffi (12)

(5)

°~+~ " 411' _'~~

"

Sl' ~~~~

Dans le cas d'une perturbation magndtique _~fip # 0, il est possible de ddcrire la section de Poincar4 de la surface _par _un mapping discret de la forme suivante ii> :

~fik+I _" _{~fik +} f(lbk+1> °k) (l~)

9k+1 " 9k + 2~t(ffik+1) + §(ink+1> °k). (I$)

La nouvelle fonction gdndratrice s'Acnt F2(~fik+I, °k)

" F~(~fik+I> °kj _~ ~(~fik+I, °kj. (l~j

Les fonctions f et g ^sont dAterminAes _par les Aquations suivantes

of ^og

0~fik+1 ~ S ~ ~ _~~~~

pour ^4terminer F h partir _u

4p(~b, ^9, 11 =

~ ~ arm(~b)exp[im9 ₊ infl ₍₁₉₎

m n

On _suppose _que arm(~b) _a la forme suivante

a~~ = f~mexp(ij~m) (20)

oh fnm et #nm sont rdels et _on suppose fnm ₌ fm ind4pendant du nombre toroidal _n _et

#nm = in + #m. Dans _ces conditions 4p devient

4p

=

~ _fmcos(m9 ₊ _#m) ~ _cos(nf ₊ _In_). ₍₂₁₎

m n

Dans la suite _nous considdrons l'existence d'une infinitA de composantes ^de ^Fourier oh _n varie

de _-cc h _+cc _et _nous _supposons _que in prend des valeurs alAatoires.

Supposons _que in

= an oh _a » I. Dans _ce _cas 4p s'ecrit

+co

4p(~fi, 9, ii

=

2~fl ~j _6(f ₊

o 2~n) (22)

n=-co

oh

fl

=

~ _fmcos(m9 ₊ _#m) ₍₂₃₎

m

Avec les suppositions antArieures _et _sur _un intervalle de At

= 2~, le mapping gAnAral se

transforme _en _un mapping discret suivant

~fik+1 " ~fik + ~j(4~lllfm)Slll(1ll9k + ~im) (~~)

m

(6)

N°5 STOCHASTICITt DES LIGNES DE CHAMP MAGNETIQUE 1049

9k+1 " ok ₊ 2~t(~fik+1). (25)

Si _nous n4gligeons la phase #m (#m ₌ 0) et _nous supposons que t(~fik+i)

= ~k+i, _on dAduit la nouvelle forme du mapping discret

Ik+i = Ik + ~ _Kmsin(m9k ₍₂₆₎

m

°k+1 _" °k + Ik+1 (27)

oh

Ik ₌ 2~~fik et Km

= (2~)~mfm. (28)

La forme simple du mapping est le mapping standard _pour Km ₌ K61m oh dim est le symbole de Kroenecker.

4. #volution _des _lignes _de _champ rnagn4tique _en fonction du paramktre de Stocl~asticit4 K

4.I. kQUATIONS _Du _MOUVEMENT. Pour Atudier l'Avolution des lignes du champ magnA- tique dans le plan de phase II, 9) oh 1= 2~~bk ^et ^dans ^le plan ix

= ~fi cos9, _y ₌

~fi sin 9) _nous

avons simulA les Aquations du mouvement des lignes du champ magnAtique (3) et (4).

AprAs discrAtisation de _ces Aquations du mouvement _sous forme de mapping standard _et g4nA- ralis4 qui sont du type _:

In+i _" In + Kisin(9n) ₊ K2sin(29n) (29)

9n+1 ₌ on + In+1. (30)

4-2. SIMULATIONS

4.2-1- Lignes de champ magnAtique- Dans l'objectif d'Atudier l'Avolution de la stochasticit4 des lignes de champ magnAtique, _nous avons reprAsentA dans le plan _(~fi, 9) les rAsultats des

simulations _sur Ies figures h 4. Ces courbes sont Ies courbes de Kam iii qui dvoluent _en fonction du paramAtre de stochasticitd K. La figure I correspond h la simulation du mapping standard _pour _une valeur de K infdrieure h K~ oh K~ ₌ 0,97 est la constante de Chirikov. Sur

cette figure, _on _remarque _que toutes les lignes sont rdguliAres. La figure 2 correspond h _une

valeur de K proche de K~ et _on constate qu'un certain nombre de lignes de champ deviennent

stochastiques. Par contre _sur les figures 3 et 4, _nous _avons simulA Ies 4quations _avec des valeurs de K supArieures h K~ et _sur _ces figures la majoritA des lignes deviennent stochastiques.

Aussi _nous _avons repr6sent4 _ces mAmes rdsultats de simulations dans le plan (x, y) off _:

x = ~ficos9 _y ₌ ~fisin9. (31)

Les r4sultats _sont reprdsentds _sur les figures 5 h 8. Nous remarquons que sur les figures qui correspondent h des valeurs de K infdrieures h K~, toutes les lignes ^de champ sont pidg6es (Figs. 5 et 6). Par contre sur la figure 8 obtenue _pour _une valeur de K supArieure h K~, toutes les lignes de champ sont stochastiques.

(7)

6,00

I

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j

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(8)

Nob STOCHASTICITE DES LIGNES DE CHAMP MAGNETIQUE 1051

6,00 .?I>.It'~ II" f', _?.,i'

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Fig. 3. #volution _{de la} stochasticit4 des lignes de champ magn6tique darts le plan de phase _{(@, ~fi).}

Pour K sup6neur h Kc.

[Evolution ^of stochastic magnetic ^field ^lines in the phase plane _(@, _~fi) ^for ^values ^of the parameter K _> Kc-j

6,00 _.. '. _'

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Fig 4. #volution _de _la stochasticit6 des lignes de champ magn6tique dans le plan de phase _(@, il).

Pour K sup6rieur h Kc.

[Evolution of stochastic magnetic ^field lines in the phase plane _(@, il) for values of the parameter K _> Kc-j

(9)

8,oo

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x

Fig. 5. #volution _{de la} stochasticit4 des lignes de champ magn4tique dans le plan de phase (~, y)

K inf6neur h Kc.

[Evolution of stochastic magnetic field lines _in the phase plane (~, y) for values of the parameter K < Kc-j

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(10)

Nab STOCHASTICIT# DES LIGNES DE CHAMP MAGNETIQUE 1053

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Fig. 7. #volution _de _la stochasticit4 des hgnes de champ magn4tique ^dans le plan de phase (~, y).

[Evolution of stochastic magnetic field lines in the phase plane (~, y) for values of the parameter K _> Kc-j

8,oo

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Fig 8. (volution _de _la stochasticit6 des lignes de champ magn6tique ^darts le plan de phase (~, y).

[Evolution of stochastic magnetic field lines _in the phase plane (~, y) for values of the parameter K > Kc-j

(11)

5. Wansition h la stochasticit4 globale

S-I- M#THODE _DE D#TERMINATION _DES _LIGNES STOCHASTIQUES DU CHAMP MAGN#TIQUE On sait _que si la perturbation appliqu4e _au ^faisceau des lignes du champ magn4tique augmente [10], ^des ^surfaces sent ddtruites h _cause de la stochasticitd, et les rdgions dites "thin regions"

prAs ^des ^surfaces s6paratrices _sent les premiAres qui deviennent stochastiques.

Si l'amplitude de fluctuation continue h augmenter, ^les ^surfaces magn4tiques rdguliAres sent

progressivement ddtruites alors la stochasticit6 globale est atteinte. La transition de la stochas- ticit6 partielle h la stochasticitA globale prend naissance lorsque la dernibre courbe de Kam _se dAtruit [1, iii.

Nous proposons une mAthode _pour la d4tection du seuil de la destruction des courbes. _en employant _une progression informatique qui consiste h la suivie point _par point d'une ligne du

champ magnAtique. Si _pour _un point ^donnA ^M (ilM, 6M) ^de ^la ligne L, _on localise _un autre

point ^N (ilN, _6N) _sur la mAme ligne et _avec la perturbation des lignes de champ, le point ^N quitte la trajectoire et reste dans _un voisinage V(M, _e) centrA _en M et de rayon e.

Si le module de MN est difiArent de zdro quand ilM tend _vers ilN dans _ce _cas _on dit _que la

ligne est stochastique vArifiant la condition de stochasticit4 qui est donn4e _par

lim (MN( # 0 (32)

et _un exemple d'une ligne stochastique est illustrA _sur la figure ii.

Si toutes les lignes de champ vArifient le critAre de l'Aquation (32), atom _on _a la globale sto- chasticitA.

Dons _nos investigations, _nous calculons pour chaque paire de points _sur _une m0me courbe les difiArences _r

= ilM _~fiN et 6M 6N La condition (32) est testAe pour un nombre N de lignes du

champ magnAtique obtenu aprAs _ne itArations. Le calcul _a AtA fait _sur _un HP9000, N

= 1000

et ne = 10000 _et plus N _est grand, meilleure est la prAcision.

5.2. TRANSITION. _Le phAnomAne de diffusion _aura lieu lorsque les lignes du champ magnA- tique sent en majoritA stochastiques Pour le mapping standard, cette condition est satisfaite

pour K > Kc. Dans le _cas du mapping g4nAralisA ^h ^l'ordre ² et dons le but de chercher les

couples (Ki, K2) h partir desquels _on _a la transition h la stochasticit4 globale, _nous considA-

rons deux points (~1, ₆₁₎ _et _(~j2, ₆₂₎ quelconques appartenant ^{h la} mAme surface magnAtique supposde perturbAe. Pour ~ji #

~fi2 et 61 " 62 on pane d'un dAbut de contour fermA (i16ts

magnAtiques). Dans notre investigation, _nous _avons pris 100 lignes ^du champ rAparties _sur l'intervalle [0, 10j, la transition h la stochasticitA globale _se fait lorsque 100 % de lignes satisfont le critbre ci-dessus (K _> Kc).

En appliquant ceci au mapping standard, _nous _avons retrou,~A la _constante de Chirikov Kc h partir de la figure 9.

Pour Atudier la transition, _nous considArons _un nombre de lignes [gal h 1000, et on considbre

qu'une ligne est p14g4e si le pourcentage ^des lignes stochastiques est infArieure h100 et elle _sera stochastique _pour _un pourcentage ^des lignes (gal h 100. Le r4sultat des simulations _se trouve sur la figure 9. La courbe de la figure 10 correspond h _une grille de l'ensemble des couples (Ki, K2) correspondant h la transition _vers l'Atat stochastique des surfaces magnAtiques. Ki

et K2 sent les param@tres de stochasticitA du mapping g4n4ralis4.

(12)

N°5 STOCHASTICITE DES LIGNES DE CHAMP MAGNETIQUE 1055

P

i oo

o,oi o,i i io ioo

k

Fig. 9. Courbe de la transition de la stochasticitd partielle h la stochasticit6 globale : pourcentage des lignes stochastiques _en fonction du parambtre K de stochasticitd _en utilisant le mapping standard.

[Transition from partial stochasticity to global stochasticity. The per ^cent of stochastic field lines P calculated numerically from the standard mapping _as function of the parameter K, for _a total number of N

= 10~ field lines.]

6. Modble de coefficient de diffusion

6.I. DLFINITION _DE _LA _LONGUEUR STOCHASTIQUE. Le coefficient de diffusion de Men-

don&a est _:

~~ ~~~~

P~i~~m Ii ^~~~~

oh Li est la longueur stochastique de Mendon&a. L~ est aussi le nombre d'itArations nAcessaires pour quitter l'intervalle [0, 27rj, c'est-h-dire [~) ~[[ > 27r et quand la ligne quitte l'intervalle [0, 27rj, on dit _que la ligne est stochastique et dons le _cas contraire, on dit que la ligne est

piAg4e. ^Si la ligne est piAgAe, Li est infini _et 1/L~ _ne contribue _pas _au coefficient de diffusion.

Pour _un ensemble de lignes piAgAes

1=N 1

£ _~ _0. (~~~

Dlignes _PI~g~~~ "

~_~

Li Donc it existe _une valeur critique de K

= Kc au-dessus de laquelle les lignes commencent h diffuser. Le coefficient de diffusion thAorique _ne dAcrit pas la transition h la stochasticitA

globale. Mendon&a _a _suggArA l'expression (33).

6.2. LONGUEUR DE DIFFUSION STOCHASTIQUE. Cependant le modAle de Mendon&a reste

valable uniquement _pour des valeurs _moyennes de K c'est-h-dire proches de Kc. D'ob la nAces- sitA d'introduire _un modAle qui amAliore le modAle de Mendon&a.