Réseaux temporels simples étendus : Application à la gestion de satellites agiles

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Réseaux temporels simples étendus : Application à la gestion de satellites agiles

Cédric Pralet, Gérard Verfaillie

To cite this version:

Cédric Pralet, Gérard Verfaillie. Réseaux temporels simples étendus : Application à la gestion de

satellites agiles. Huitièmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes - JFPC 2012,

May 2012, Toulouse, France. �hal-00830477�

Actes JFPC 2012

R´ eseaux temporels simples ´ etendus

Application ` a la gestion de satellites agiles

C´ edric Pralet G´ erard Verfaillie

ONERA – The French Aerospace Lab, F-31055, Toulouse, France [email protected] [email protected]

R´ esum´ e

Les r´ eseaux temporels simples (STN, Simple Tem- poral Networks) permettent de repr´ esenter une conjonc- tion de contraintes de distance minimale et maximale requises sur certains couples de positions temporelles.

Ce papier propose une extension des STN incluant des contraintes temporelles plus g´ en´ erales, pour lesquelles la distance ` a respecter entre deux positions temporelles x et y n’est plus forc´ ement constante mais peut d´ ependre des instanciations de x et de y. De telles contraintes sont utiles pour traiter des probl` emes dans lesquels le temps de transition entre deux activit´ es peut d´ ependre de l’ins- tant d’activation de la transition. L’extension propos´ ee est appel´ ee le cadre des“Time-dependent STN”(TSTN).

Les propri´ et´ es de ce cadre sont ´ etudi´ ees et les techniques de r´ esolution classiques sur les STN sont ´ etendues aux TSTN. Les contributions propos´ ees sont int´ egr´ ees dans un algorithme de recherche locale utilis´ e pour la gestion de satellites dits agiles.

1 Motivations

La gestion des aspects temporels est un point cl´ e dans le traitement d’applications issues du domaine de l’ordonnancement ou de la planification. Ces domaines mettent en effet g´ en´ eralement en jeu des contraintes sur les dates de d´ ebut au plus tˆ ot et de fin au plus tard de certaines activit´ es, des contraintes de pr´ ec´ edence ou de non recouvrement entre activit´ es, ou encore des contraintes de distance temporelle requise entre acti- vit´ es. Ces contraintes peuvent dans de nombreux cas ˆ

etre exprim´ ees (1) ou bien comme des contraintes tem- porelles dites simples, de la forme x − y ∈ [α, β], avec x, y des variables correspondant ` a deux positions tem- porelles et α, β des constantes ; (2) ou bien comme des contraintes temporelles dites disjonctives, corres- pondant ` a une disjonction de contraintes temporelles simples. Une conjonction de contraintes temporelles

simples peut ˆ etre repr´ esent´ ee sous la forme d’un STN (Simple Temporal Network [6]). Les contraintes tem- porelles disjonctives peuvent quant ` a elles ˆ etre repr´ e- sent´ ees sous la forme d’un DTN (Disjunctive Temporal Network [18]).

Un des int´ erˆ ets du cadre STN est la complexit´ e po- lynomiale de certains probl` emes [6], notamment : (a) la d´ etermination de la coh´ erence d’un STN, c’est-` a- dire l’existence d’une instanciation des variables tem- porelles satisfaisant toutes les contraintes, (b) la d´ e- termination des dates au plus tˆ ot / au plus tard asso- ci´ ees ` a chaque variable temporelle, utile pour mainte- nir un ordonnancement avec flexibilit´ e temporelle, et (c) la d´ etermination du minimal network [13] associ´ e au STN, donnant les distances temporelles minimale et maximale s´ eparant deux variables temporelles quel- conques du STN. Un autre int´ erˆ et des STN est qu’ils sont souvent (voire toujours) utilis´ es comme ´ el´ ement de base dans la r´ esolution des DTN ou de r´ eseaux tem- porels plus complexes.

Dans ce papier, nous mettons ` a profit les diff´ erentes techniques d´ evelopp´ ees dans le cadre STN pour trai- ter une application issue du domaine spatial. Cette application, dans laquelle les aspects temporels sont fortement pr´ esents, correspond ` a la gestion de satel- lites d’observation de la Terre tels que ceux du syst` eme Pl´ eiades. De tels satellites sont situ´ es en orbite basse,

`

a quelques centaines de kilom` etres d’altitude. Ils em- barquent un instrument d’observation fixe ` a bord et sont dits agiles, ce qui signifie qu’ils ont la capacit´ e de se mouvoir autour de leurs trois axes de rotation (rou- lis, tangage, lacet). Cette agilit´ e leur permet de pointer

`

a gauche, ` a droite, en avant ou en arri` ere du point au sol ` a la verticale du satellite. La mission de ces satel- lites consiste ` a r´ ealiser des prises de vue de polygones

`

a la surface du globe. Ces polygones sont d´ ecoup´ es en

bandes devant ˆ etre balay´ ees par l’instrument d’obser-

10 11 12 13 14 15 16 17

0 50 100 150 200

min duration of the transition

end time of first acq

70 72 74 76 78 80 82

0 50 100 150 200

end time of first acq

7 8 9 10 11 12

0 50 100 150 200

end time of first acq

(a) (b) (c)

Figure 1 – Dur´ ees minimales, en secondes, de basculement d’une zone i se terminant au point de latitude- longitude 41 ^◦ 17 ⁰ 48 ⁰⁰ N-2 ^◦ 5 ⁰ 12 ⁰⁰ E ` a une zone j commen¸ cant au point de latitude-longitude 42 <sup>◦</sup> 31 <sup>0</sup> 12 <sup>00</sup> N-2 <sup>◦</sup> 6 <sup>0</sup> 15 <sup>00</sup> E, pour diff´ erents angles de balayage par rapport ` a la trace au sol du satellite : (a) balayage de i ` a 40 <sup>◦</sup> et balayage de j ` a 20 ^◦ ; (b) balayage de i ` a 40 <sup>◦</sup> et balayage de j ` a -80 ^◦ ; (c) balayage de i ` a 90 <sup>◦</sup> et balayage de j ` a 82 ^◦

vation. Le probl` eme d’ordonnancement de prises de vue pour un satellite agile a notamment donn´ e lieu au challenge ROADEF 2003 [16], pour lequel certaines simplifications par rapport au probl` eme r´ eel ont ´ et´ e adopt´ ees, la principale ´ etant que les dur´ ees n´ ecessaires au basculement du satellite entre deux prises de vue i et j sont pr´ ecalcul´ ees et consid´ er´ ees comme constantes.

Dans ce cas, l’ex´ ecutabilit´ e des ordonnancements pro- duits n’est garantie que si les dur´ ees constantes choisies sont des majorants des dur´ ees r´ eelles.

En pratique, l’hypoth` ese de temps de transition constants entre deux prises de vue n’est pas v´ eri- fi´ ee [12]. Comme illustr´ e ` a la figure 1, la dur´ ee mi- nimale de basculement requise entre la fin d’une prise de vue i et le d´ ebut d’une prise de vue j d´ epend de la date ` a laquelle la prise de vue i se termine. Pour la figure 1(b), l’absence de point sur la courbe apr` es la date t = 150 correspond au fait qu’apr` es cette date, la transition de i vers j n’est plus possible. Ces figures montrent la grande variabilit´ e des temps de transi- tion (jusqu’` a une dizaine de secondes ici, dur´ ee pen- dant laquelle le satellite parcourt entre 50 et 100km au sol). Elles illustrent ´ egalement la diversit´ e des sch´ emas d’´ evolution des temps de transitions minimaux. Ces temps sont calcul´ es par r´ esolution d’un probl` eme d’op- timisation de commande continue prenant en compte le mouvement du satellite sur son orbite, le d´ eplace- ment des points au sol du fait de la rotation de la Terre et des contraintes sur la cin´ ematique du satellite.

Pour toutes ces raisons, il apparaˆıt utile de d´ efinir un nouveau cadre permettant de mod´ eliser des tran- sitions entre activit´ es dont la dur´ ee d´ epend de la date d’enclenchement de la transition. Cet aspect se rap- proche des travaux effectu´ es autour du time-dependent scheduling [5, 7], dans lequel les dur´ ees de transition prennent des formes particuli` eres, constantes par mor- ceaux ou lin´ eaires par morceaux, non directement uti-

lisables ici. Nous d´ ecrivons tout d’abord le cadre pro- pos´ e (les Time-dependent STN) ainsi que ses propri´ e- t´ es (sect. 2). Les preuves ne sont pas incluses par manque de place. Des techniques sont ensuite intro- duites pour calculer les dates de r´ ealisation au plus tˆ ot et au plus tard associ´ ees ` a chaque variable tem- porelle (sect. 3). Ces techniques sont utilis´ ees au sein d’un algorithme de recherche locale utilis´ e pour l’or- donnancement d’activit´ es d’un satellite agile (sect. 4).

2 R´ eseaux temporels simples ´ etendus

Nous rappelons tout d’abord quelques d´ efinitions as- soci´ ees aux STN. Dans tout ce qui suit, le domaine d’une variable x est not´ e d(x).

2.1 R´ eseaux temporels simples

D´ efinition 1. Un r´ eseau temporel simple (STN) est un couple (V, C) avec V un ensemble fini de variables dont le domaine est un intervalle ferm´ e [l, u] ⊂ R et C un ensemble fini de contraintes binaires de la forme x − y ∈ [α, β] avec x, y ∈ V , α ∈ R ∪ {−∞} et β ∈ R ∪ {+∞}. Ces contraintes sont appel´ ees des contraintes temporelles simples.

Une solution d’un STN (V, C) est une instanciation des variables de V qui satisfait toutes les contraintes de C. Un STN est dit coh´ erent si et seulement si il admet au moins une solution.

Les contraintes unaires x ∈ [α, β], y compris celles

d´ efinissant les domaines de valeurs possibles des dif-

f´ erentes variables, peuvent se reformuler comme des

contraintes temporelles simples x − x ₀ ∈ [α, β], avec

x ₀ une variable de domaine [0, 0] jouant le rˆ ole de

position temporelle de r´ ef´ erence. Par ailleurs, comme

x−y ∈ [α, β] ´ equivaut ` a (x−y ≤ β)∧(y−x ≤ −α), il est

possible de se ramener uniquement ` a des contraintes de la forme y − x ≤ c avec c une constante.

Un ´ el´ ement important associ´ e ` a un STN est son graphe de distance. Ce graphe contient un nœud par variable du STN et, pour chaque contrainte y − x ≤ c du STN, un arc orient´ e de x vers y et pond´ er´ e par c.

Sur la base de ce graphe de distance, il est possible de montrer les r´ esultats suivants [6] :

1. un STN est coh´ erent si et seulement si il n’existe pas de cycle de longueur n´ egative dans son graphe de distance ;

2. si d _0i (resp. d _i0 ) d´ esigne la longueur du plus court chemin dans le graphe de distance du nœud r´ e- f´ erence ´ etiquet´ e par x ₀ ` a un nœud ´ etiquet´ e par une variable temporelle x i (resp. de x i ` a x 0 ), alors l’ensemble des instanciations coh´ erentes de x i cor- respond ` a l’intervalle [−d i0 , d 0i ] ; les plus courts chemins peuvent ˆ etre calcul´ es pour tout i via l’al- gorithme de Bellman-Ford ou via des algorithmes s’apparentant ` a de la propagation de contraintes par arc-coh´ erence [3, 4, 8, 11] ;

3. si l’on note d ij la longueur du plus court chemin de x i ` a x j dans le graphe de distance et d ji la lon- gueur du plus court chemin de x j ` a x i , alors l’in- tervalle [−d ji , d ij ] repr´ esente l’ensemble des dis- tances temporelles possibles entre x i et x j ; de tels plus courts chemins peuvent ˆ etre d´ etermin´ es pour tous i, j en utilisant l’algorithme de Floyd- Warshall ou des algorithmes bas´ es sur de la pro- pagation par chemin-coh´ erence [6, 19, 15, 14].

Exemple Nous consid´ erons un probl` eme simplifi´ e d’ordonnancement d’activit´ es d’un satellite agile. Ce probl` eme fait intervenir 3 acquisitions acq ₁ , acq ₂ , acq ₃ devant ˆ etre r´ ealis´ ees dans l’ordre acq ₃ → acq ₁ → acq ₂ . Pour tout i ∈ [1..3], on note T min _i et T max _i les dates de d´ ebut au plus tˆ ot et de fin au plus tard de acq _i . La dur´ ee de acq _i est not´ ee Da _i . Les dur´ ees de transition minimales entre la fin de acq 3 et le d´ ebut de acq 1 , et entre la fin de acq 1 et le d´ ebut de acq 2 , sont not´ ees respectivement Dt 3,1 et Dt 1,2 . Ces dur´ ees sont suppos´ ees constantes dans cette version simpli- fi´ ee. Nous consid´ erons ´ egalement deux fenˆ etres tem- porelles w 1 = [T s 1 , T e 1 ] et w 2 = [T s 2 , T e 2 ] au cours desquelles un vidage de donn´ ees vers des stations sol est possible. Le satellite doit vider acq 2 puis acq 3 dans la fenˆ etre w 1 , avant de vider acq 1 dans w 2 . La dur´ ee de vidage d’une acquisition acq i est not´ ee Dv i .

Ce probl` eme peut ˆ etre mod´ elis´ e sous la forme d’un STN contenant, pour toute acquisition acq _i (i ∈ [1..3]), les variables temporelles suivantes :

– une date de d´ ebut de r´ ealisation sa _i et une date de fin de r´ ealisation ea _i , avec comme domaines de valeurs d(sa i ) = d(ea i ) = [T min i , T max i ] ;

– une date de d´ ebut de vidage sv i et une date de fin de vidage ev i , avec comme domaines de valeurs [T s 1 , T e 1 ] pour i = 2, 3 et [T s 2 , T e 2 ] pour i = 1.

Les contraintes temporelles simples 1 ` a 7 sont im- pos´ ees sur ces variables. Les contraintes 1 et 2 d´ efi- nissent la dur´ ee des acquisitions et des vidages. Les contraintes 3 et 4 imposent des temps de transition minimaux entre acquisitions. Les contraintes 5 et 6 as- surent le non chevauchement des activit´ es de vidages.

La contrainte 7 exprime qu’une acquisition ne peut ˆ

etre vid´ ee qu’apr` es la fin de sa r´ ealisation. La figure 2 donne le graphe de distance associ´ e ` a cet exemple.

∀i ∈ [1..3], ea _i − sa _i = Da _i (1)

∀i ∈ [1..3], ev i − sv i = Dv i (2)

sa ₁ − ea ₃ ≥ Dt _3,1 (3)

sa 2 − ea 1 ≥ Dt 1,2 (4)

sv ₃ − ev ₂ ≥ 0 (5)

sv 1 − ev 3 ≥ 0 (6)

∀i ∈ [1..3], sv i − ea i ≥ 0 (7)

sa

ea

sa

ea

sa

ea

sv

ev

0

sv

ev

sv

ev

0

−Dv

−Dv

−Dv

Dv

Dv

Dv

−Da

−Da

−Da

Da

Da

Da

0

0 0

-Dt

-Dt

Figure 2 – Graphe de distance (la position temporelle de r´ ef´ erence x ₀ n’est pas repr´ esent´ ee)

2.2 Contraintes temporelles t-simples

Nous introduisons une nouvelle classe de contraintes temporelles appel´ ees des contraintes temporelles t- simples. Ces derni` eres sont plus g´ en´ erales que les contraintes temporelles simples et permettent de mani- puler des temps de transition entre activit´ es fonctions de la date d’enclenchement des transitions.

D´ efinition 2. Une contrainte temporelle t-simple est un triplet (x, y, dmin) compos´ e de deux variables tem- porelles x et y, et d’une fonction dmin : d(x)×d(y) → R appel´ ee fonction de distance minimale (fonction non n´ ecessairement continue).

Une contrainte temporelle t-simple (x, y, dmin) est

´

egalement not´ ee y − x ≥ dmin(x, y). La contrainte est

satisfaite par un couple de valeurs (a, b) ∈ d(x) × d(y)

si et seulement si b − a ≥ dmin(a, b).

Informellement, dmin(x, y) sp´ ecifie une distance temporelle minimale entre l’occurrence de l’´ ev´ enement associ´ e ` a la variable temporelle x et l’occurrence de l’´ ev´ enement associ´ e ` a la variable temporelle y.

Pour illustrer l’int´ erˆ et d’avoir une distance minimale dmin d´ ependant ` a la fois de x et de y, consid´ erons l’exemple des satellites agiles. Soit x la variable sp´ e- cifiant la date de fin d’une acquisition acq. L’attitude obtenue en terminant acq ` a la date x est not´ ee Att (x), une attitude du satellite ´ etant d´ efinie par une direc- tion de pointage et par les vitesses de rotation suivant chacun des trois axes (roulis, tangage, lacet). Soit y la variable donnant la date de d´ ebut de l’acquisition acq ⁰ ` a r´ ealiser juste apr` es acq. L’attitude n´ ecessaire pour commencer acq ⁰ ` a la date y est not´ ee Att ⁰ (y). Soit tminbas la fonction (disponible dans notre librairie de calculs d’agilit´ e) telle que tminbas(att, att ⁰ ) donne le temps minimal requis pour basculer d’une attitude att

`

a une attitude att ⁰ . On parle dans ce cas de rendez- vous en attitude de att vers att ⁰ . Alors, en d´ efinissant dmin(x, y) = tminbas(Att(x), Att ⁰ (y)), la contrainte temporelle t-simple y − x ≥ dmin(x, y) exprime que la dur´ ee entre la fin de acq et le d´ ebut de acq ⁰ doit ˆ etre sup´ erieure ` a la dur´ ee minimale de basculement de l’attitude Att(x) ` a l’attitude Att ⁰ (y).

Dans certains cas, la fonction dmin(x, y) est ind´ e- pendante de y. Cette remarque concerne notamment le time-dependent scheduling [5, 7], dans lequel la du- r´ ee de r´ ealisation d’une tˆ ache d´ epend uniquement de la date de d´ ebut de cette tˆ ache (contrainte temporelle t- simple “d´ eg´ en´ er´ ee”, de la forme y − x ≥ dmin(x) avec dmin(x) le temps de r´ ealisation de la tˆ ache si cette derni` ere commence ` a la date x). Les contraintes tem- porelles t-simples couvrent ´ egalement les contraintes temporelles simples y − x ≥ c, en utilisant une fonc- tion de distance minimale constante dmin = c.

Remarquons enfin qu’une contrainte temporelle t- simple se r´ ef` ere ` a la dur´ ee minimale d’une transition.

Une telle approche est utilisable pour g´ erer les satel- lites agiles sous l’hypoth` ese (r´ ealiste) que tout rendez- vous en attitude faisable en une dur´ ee δ est aussi fai- sable en une dur´ ee δ <sup>0</sup> ≥ δ. Cette hypoth` ese de faisabi- lit´ e d’un “rendez-vous paresseux” n’est pas forc´ ement v´ erifi´ ee pour tout syst` eme physique.

2.3 Propri´ et´ es de monotonie

Nous commen¸ cons par d´ efinir la fonction de retard associ´ ee ` a une contrainte temporelle t-simple.

D´ efinition 3. La fonction de retard associ´ ee ` a une contrainte temporelle t-simple ct : (x, y, dmin) est la fonction delay _ct : d(x) × d(y) → R d´ efinie par : delay _ct (a, b) = a + dmin(a, b) − b.

Informellement, delay _ct (a, b) donne le retard obtenu en b si l’on enclenche, ` a la date a, une transition en temps minimal de x vers y. Ce retard s’exprime comme la diff´ erence entre la date minimale de fin de la tran- sition (a + dmin(a, b)) et la date de fin de transition requise (b). Un retard strictement n´ egatif correspond

`

a une transition se terminant en avance par rapport ` a la date limite b. Un retard strictement positif corres- pond ` a une violation de la contrainte ct. Un retard nul correspond ` a une arriv´ ee “pile ` a l’heure”.

La fonction de retard peut satisfaire une propri´ et´ e de monotonie d´ efinie ci-dessous, qui sera utilis´ ee par la suite pour identifier des classes traitables.

D´ efinition 4. Une contrainte temporelle t-simple ct : (x, y, dmin) est dite ` a retard monotone si et seulement si sa fonction de retard delay _ct (., .) satisfait : ∀a, a ⁰ ∈ d(x), ∀b, b ⁰ ∈ d(y),

(a ≤ a ⁰ ) → (delay _ct (a, b) ≤ delay _ct (a ⁰ , b)) (8) (b ≤ b ⁰ ) → (delay _ct (a, b) ≥ delay _ct (a, b ⁰ )) (9) La contrainte est dite ` a retard strictement monotone si les monotonies sur les deux arguments sont strictes.

La d´ efinition 4 signifie que pour ˆ etre ` a retard mono- tone, une contrainte temporelle t-simple (x, y, dmin) doit v´ erifier d’une part que plus la transition de x vers y est enclench´ ee tard, plus le retard est grand ` a l’arri- v´ ee en y, et d’autre part que plus l’on cherche ` a arriver tˆ ot au rendez-vous (en y), plus le retard est ´ elev´ e.

Nous d´ efinissons maintenant les fonctions d’arriv´ ee au plus tˆ ot et de d´ epart au plus tard associ´ ees ` a une contrainte temporelle t-simple. Par la suite, pour une fonction F : R → R et un intervalle fini ferm´ e I de R , on note (1) firstNeg (F, I ) le plus petit a ∈ I tel que F (a) ≤ 0 (valeur +∞ si une telle valeur n’existe pas) ; (2) lastNeg(F, I) le plus grand a ∈ I tel que F(a) ≤ 0 (valeur −∞ si une telle valeur n’existe pas) ¹ .

D´ efinition 5. Les fonctions d’arriv´ ee au plus tˆ ot (ear- liest arrival) et de d´ epart au plus tard (latest depar- ture) associ´ ees ` a une contrainte temporelle t-simple ct : (x, y, dmin) sont les fonctions earr _ct et ldep _ct d´ e- finies respectivement sur d(x) et d(y) et donn´ ees par :

∀a ∈ d(x), earr ct (a) = firstNeg (delay _ct (a, .), d(y))

∀b ∈ d(y), ldep _ct (b) = lastNeg(delay _ct (., b), d(x)) Informellement, earr _ct (a) fournit la plus petite date d’arriv´ ee en y sans retard si la transition est enclench´ ee

`

a la date a. ldep(b) fournit la date d’enclenchement au plus tard pour une arriv´ ee sans retard en b.

1. Les quantit´ es firstNeg(F, I) et lastNeg(F, I) ne sont ma-

th´ ematiquement pas forc´ ement bien d´ efinies si la fonction F

pr´ esente des discontinuit´ es ; nous utilisons en fait implicitement

le fait que le travail se fait en machine avec une pr´ ecision finie.

Pour une contrainte temporelle simple y − x ≥ c, il est possible de donner une formulation analytique de earr et ldep. Dans le cas g´ en´ eral, il faut passer par le calcul de firstNeg(F, I) et lastNeg(F, I ), qui consti- tue un probl` eme d’optimisation en soi. Une m´ ethode it´ erative pour approximer firstNeg (F, I = [a 1 , a 2 ]) est donn´ ee ` a l’algorithme 1. Cette m´ ethode g´ en´ eralise la m´ ethode dite de la fausse position, utilisable pour trouver un z´ ero d’une fonction. Appliqu´ ee au cas des contraintes temporelles t-simples, elle consiste, si le point P ₁ = (a ₁ , F (a ₁ )) est ` a retard positif (F (a <sub>1</sub> ) > 0) et le point P <sub>2</sub> = (a <sub>2</sub> , F (a <sub>2</sub> )) est ` a retard n´ egatif (F (a ₂ ) < 0), ` a ´ etudier comment se comporte le retard F (a ₃ ) en a ₃ avec a ₃ l’abscisse du point d’intersection de la droite passant par P ₁ , P ₂ avec l’axe des abscisses.

Si P 3 = (a 3 , F (a 3 )) est ` a retard positif (resp. n´ egatif), la recherche se poursuit en prenant P 1 = P 3 (resp.

P 2 = P 3 ). Si la contrainte temporelle t-simple consid´ e- r´ ee est ` a retard strictement monotone, cette m´ ethode converge vers firstNeg (F, I ) ; sinon, la m´ ethode peut renvoyer une valeur a > firstNeg(F, I), mais dans ce cas a satisfait F (a) ≤ 0 (` a la pr´ ecision pr` es). La vi- tesse de convergence en pratique est particuli` erement bonne pour la fonction de retard des satellites agiles.

Algorithm 1: M´ ethode possible de calcul de firstNeg(F, I), avec I=[a 1 , a 2 ], maxIter un nombre max d’it´ erations et prec une pr´ ecision souhait´ ee

1

firstNeg (F, [a

, a

], maxIter, prec)

2

begin

3

f

← F (a

) ; if f

≤ 0 then return a

f

← F (a

) ; if f

> 0 then return +∞

5

for i = 1 to maxIter do

6

a

= (f1 ∗ a2 − f2 ∗ a1)/(f1 − f2)

7

f

= F(a

)

8

if |f

| < prec then return a

9

else if f

> 0 then (a

, f

) ← (a

, f

)

10

else (a

, f

) ← (a

, f

)

11

return a

Sur la base des quantit´ es earr et ldep, il est possible de d´ efinir une seconde propri´ et´ e de monotonie, plus forte que la monotonie de la fonction de retard (cf.

prop. 1) et pouvant ˆ etre viol´ ee en pratique.

D´ efinition 6. Une contrainte temporelle t-simple ct : (x, y, dmin) est dite ` a d´ ecalage monotone si et seule- ment si elle v´ erifie, ∀a, a ⁰ ∈ d(x), ∀b, b ⁰ ∈ d(y),

(a ⁰ ≥ a) → (earr _ct (a ⁰ ) ≥ earr _ct (a) + (a ⁰ − a)) (b ⁰ ≥ b) → (ldep _ct (b ⁰ ) ≥ ldep _ct (b) + (b ⁰ − b)) Proposition 1. Soit ct : (x, y, dmin) une contrainte temporelle t-simple. Si ct est ` a d´ ecalage monotone, alors ct est ` a retard strictement monotone.

Informellement, une contrainte temporelle t-simple est ` a d´ ecalage monotone si et seulement si d’une part lorsque la date d’enclenchement d’une transition est repouss´ ee, la date d’arriv´ ee au plus tˆ ot est d´ ecal´ ee d’autant, et d’autre part lorsque la date de fin de la transition est avanc´ ee, la date d’enclenchement au plus tard est d´ ecal´ ee d’autant. Dans le cas des satel- lites agiles, la fonction de distance minimale dmin peut pr´ esenter des comportements du type de ceux de la fi- gure 1 qui entraˆınent que les contraintes ne sont pas toujours ` a d´ ecalage monotone.

Les deux propositions suivantes montrent que les propri´ et´ es de monotonie sont satisfaites par les contraintes temporelles simples et par plusieurs contraintes temporelles classiquement utilis´ ees dans le time-dependent scheduling (voir [5]).

Proposition 2. Les contraintes temporelles simples y − x ≥ c sont ` a d´ ecalage monotone (et donc aussi ` a retard strictement monotone).

Proposition 3. Soit x, y deux variables temporelles correspondant respectivement aux dates de d´ ebut et de fin d’une tˆ ache. Les r´ esultats de monotonie donn´ es ` a la table 1 sont corrects.

Fonction de distance Forme Monotonie dmin(x, y) = dmin(x) d´ ecalage retard

A + Bx oui oui (strict)

A − Bx non oui ssi B≤1

strict ssi B<1 max(A, A + B(x − D)) oui oui (strict) A si x<D, A + B sinon oui oui (strict)

A − B min(x, D) non oui ssi B≤1

strict ssi B<1

Table 1 – Monotonie de fonctions de distance utili- s´ ees en time-dependent scheduling, avec A, B, D des constantes telles que A ≥ 0, B > 0 et D > min(d(x))

2.4 Arc-coh´ erence des contraintes temporelles t- simples

La propri´ et´ e de retard monotone permet de simpli- fier l’´ etablissement de l’arc-coh´ erence.

Proposition 4. Soit ct : (x, y, dmin) une contrainte temporelle t-simple ` a retard monotone. Etablir l’arc- coh´ erence aux bornes pour ct est ´ equivalent ` a ´ etablir l’arc-coh´ erence sur les domaines complets de x et y.

La raison est qu’en cas de retard monotone, si

max(d(x)) poss` ede un support b sur y, alors b est aussi

un support pour toutes les autres valeurs du domaine de x, et de mani` ere similaire le support de min(d(y)) sur x est un support pour toutes les valeurs de y.

Proposition 5. Soit ct : (x, y, dmin) une contrainte temporelle t-simple. L’arc-coh´ erence aux bornes pour la contrainte ct peut ˆ etre ´ etablie par les modifications de domaine suivantes :

d(y) ← d(y) ∩ [earr _ct (min(d(x))), +∞[ (10) d(x) ← d(x) ∩ ] − ∞, ldep _ct (max(d(y)))] (11) La r` egle 10 permet de modifier la date de r´ ealisation au plus tˆ ot associ´ ee ` a y. La r` egle 11 permet de modifier la date de r´ ealisation au plus tard associ´ ee ` a x. Les modifications de domaines sont telles que les domaines courants d(x) et d(y) restent des intervalles ferm´ es.

Proposition 6. L’arc-coh´ erence d’une contrainte temporelle t-simple ct : (x, y, dmin) ` a retard monotone peut ˆ etre ´ etablie par les r` egles 10 et 11.

Si l’hypoth` ese de retard monotone n’est pas satis- faite, l’arc-coh´ erence aux bornes peut tout de mˆ eme ˆ etre ´ etablie. Dans ce cas, elle n’implique pas l’arc- coh´ erence et elle est susceptible de supprimer des va- leurs coh´ erentes des domaines des variables.

2.5 Cadre des TSTN

Sur la base des contraintes temporelles t-simples, il est possible d’introduire un nouveau cadre appel´ e le cadre des TSTN pour “Time-dependent STN”.

D´ efinition 7. Un TSTN est un couple (V, C) avec V un ensemble fini de variables de domaine [l, u] ⊂ R et C un ensemble fini de contraintes temporelles t-simples (x, y, dmin) avec x, y ∈ V .

Une solution d’un TSTN est une affectation des va- riables de V qui satisfait toutes les contraintes de C.

Un TSTN est dit coh´ erent s’il admet au moins une so- lution. Un TSTN est dit ` a retard monotone (resp. ` a d´ e- calage monotone) si toutes ses contraintes temporelles sont ` a retard monotone (resp. ` a d´ ecalage monotone).

Exemple Nous reconsid´ erons l’exemple faisant in- tervenir trois acquisitions acq 1 , acq 2 , acq 3 . Les dur´ ees de transition minimales requises entre acquisitions ne sont cette fois pas consid´ er´ ees comme constantes. Dans le mod` ele TSTN obtenu, la seule diff´ erence est que les contraintes temporelles simples des ´ equations 3 et 4 sont remplac´ ees par les contraintes temporelles t-simples des ´ equations 12 et 13, dans lesquelles pour une acquisition acq <sub>i</sub> , Satt <sub>i</sub> (t) et Eatt <sub>i</sub> (t) donnent res- pectivement les attitudes requises pour enclencher et finir acq i ` a la date t. Le graphe de distance associ´ e

`

a un TSTN peut ˆ etre d´ efini de mani` ere analogue au graphe de distance associ´ e ` a un STN (voir la figure 3).

sa ₁ − ea ₃ ≥ tminbas(Eatt ₃ (ea ₃ ), Satt ₁ (sa ₁ )) (12) sa 2 − ea 1 ≥ tminbas(Eatt 1 (ea 1 ), Satt 2 (sa 2 )) (13)

sa

ea

sa

ea

sa

ea

sv

ev

sv

ev

0 sv

ev

0

−Dv

−Dv

−Dv

Dv

Dv

Dv

−Da

−Da

−Da

−tminbas (Eatt

(ea

), Satt

(ea

)) −tminbas(Eatt

(ea

), Satt

(ea

))

Da

Da

Da

0

0 0

Figure 3 – Graphe de distance du TSTN (la r´ ef´ erence temporelle x 0 n’est pas repr´ esent´ ee)

La proposition suivante ´ etend sur les TSTN un r´ e- sultat classique sur les STN. Elle est valable que les contraintes soient ` a retard monotone ou non.

Proposition 7. Si toutes les contraintes d’un TSTN sont arc-coh´ erentes aux bornes, alors l’ordonnance- ment obtenu en fixant des dates au plus tˆ ot (resp. des dates au plus tard) est une solution du TSTN.

3 R´ esolution des TSTN

La tˆ ache ` a laquelle nous nous int´ eressons est celle de la d´ etermination de la coh´ erence d’un TSTN et des dates au plus tˆ ot et au plus tard associ´ ees ` a chaque va- riable temporelle. Les algorithmes propos´ es reprennent et g´ en´ eralisent des techniques STN existantes.

3.1 Propagation de contraintes

Le premier ´ el´ ement utilis´ e est un sch´ ema de propa- gation des bornes min et max des diff´ erentes variables temporelles. Cet ´ el´ ement relativement standard s’ins- pire des approches d´ efinies dans [4, 8, 11]. Ces der- ni` eres reviennent ` a maintenir une liste de variables pour lesquelles les contraintes portant sur ces variables doivent ˆ etre r´ evis´ ees avec, pour chaque variable z de la liste, un maintien de la nature de la (des) r´ evision(s) ` a effectuer : (a) si z a subi une modification de sa borne min, les bornes min de toutes les variables t li´ ees ` a z par une contrainte t − z ≥ c doivent ˆ etre r´ evis´ ees ; (b) si z a subi une modification de sa borne max, les bornes max de toutes les variables t li´ ees ` a z par une contrainte z − t ≥ c doivent ˆ etre r´ evis´ ees.

Par rapport aux approches STN classiques, nous

choisissons pour les TSTN une propagation de

contraintes dans laquelle est maintenue une liste conte- nant non pas des variables mais des contraintes. Cette liste est partitionn´ ee en deux sous-listes, l’une conte- nant les contraintes ` a r´ eviser pouvant modifier une borne min (contraintes y − x ≥ dmin(x, y) r´ eveill´ ees suite ` a une modification de min x et susceptibles de modifier min y), l’autre contenant les contraintes ` a r´ e- viser pouvant modifier une borne max (contraintes y − x ≥ dmin(x, y) r´ eveill´ ees suite ` a une modifica- tion de max y et susceptibles de modifier max x). Par rapport ` a une version liste de variables, le maintien de listes de contraintes permettra de g´ erer plus finement certains aspects (voir plus loin).

Enfin, la r´ evision d’une contrainte temporelle t- simple du point de vue des bornes min et/ou max se fait en utilisant les r` egles de la proposition 6, avec une

´

evaluation de earr ct et ldep _ct analytique lorsque cela est possible, par recherche it´ erative sinon.

3.2 D´ etection de cycles de longueur n´ egative Avec des domaines de valeurs born´ es, la propagation par arc-coh´ erence sur les STN est capable de d´ etecter l’incoh´ erence. Cependant, le nombre de r´ evisions de contraintes requises pour arriver ` a ce r´ esultat est po- tentiellement prohibitif par rapport ` a des approches d´ efinies dans [3, 4], qui utilisent le fait que l’incoh´ e- rence d’un STN est ´ equivalente ` a l’existence d’un cycle de longueur n´ egative dans son graphe de distance.

L’id´ ee de base de ces approches consiste ` a d´ etecter de tels cycles ` a la vol´ ee en maintenant des chaˆınes de propagation. Ces derni` eres correspondent ` a des expli- cations des valeurs courantes des bornes min et max des diff´ erentes variables. Une contrainte y − x ≥ c est dite active du point de vue des bornes min (resp. des bornes max) si et seulement si la derni` ere r´ evision de cette contrainte est responsable de la derni` ere modifi- cation de la borne min de y (resp. de la borne max de x). [3] montre que s’il existe un cycle dans le graphe orient´ e dont les arcs correspondent aux contraintes ac- tives du point de vue des bornes min, alors le STN est incoh´ erent. L’intuition est que si un cycle de propa- gation x 1 → x 2 → . . . → x n → x 1 est d´ etect´ e, alors la valeur minimale de x 1 modifie la valeur minimale de x 2 ... qui elle-mˆ eme modifie la valeur minimale de x n qui elle-mˆ eme modifie la valeur minimale de x 1 , et donc il est possible de vider le domaine de x 1 en par- courant ce cycle un nombre suffisant de fois. Le mˆ eme r´ esultat s’applique au graphe orient´ e contenant un arc par contrainte active du point de vue des bornes max.

Le point bloquant pour adapter ces techniques au cas des contraintes temporelles t-simples est que pour un TSTN dans le cas g´ en´ eral, l’existence d’un cycle de propagation n’est pas n´ ecessairement synonyme d’in- coh´ erence, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple Soit (V, C) = ({x, y}, {ct 1 , ct 2 }) un TSTN contenant deux variables temporelles de domaines d(x) = d(y) = [0.5, 2], et deux contraintes ct 1 : y −x ≤ 0.5 et ct 2 : y − x ≥ dmin(x, y), avec dmin la fonction de distance minimale d´ efinie par dmin(a, b) = 1 −a/2.

La fonction de retard associ´ ee ` a ct 2 est strictement monotone (elle vaut delay _ct

(a, b) = 1 + a/2 − b).

L’´ etablissement de l’arc-coh´ erence pour ct 2

(r` egle 10) modifie la borne min de y et donne d(y) = [1 + 1/4, 2]. Une propagation sur la contrainte ct ₁ modifie alors la borne min de x et donne d(x) = [1 − 1/4, 2]. Le r´ esultat obtenu est un cycle de propagation, puisque la borne min de x a modifi´ e la borne min de y qui elle-mˆ eme a modifi´ e la borne min de x. Dans le cadre STN classique, l’existence d’un tel cycle implique une incoh´ erence. Dans le cadre TSTN, une telle conclusion est fausse puisque par exemple l’instanciation x = 1, y = 1.5 est coh´ erente.

La raison ` a cela est que dans le cadre TSTN, les r´ e- ductions de domaines induites par des reparcours d’un cycle de propagation peuvent devenir de plus en plus petites. C’est ce qui se produit sur l’exemple ci-dessus o` u apr` es n parcours du cycle on a d(x) = [1 −1/2 ⁿ , 2].

D’un point de vue impl´ ementation en machine, la pr´ e- cision finie implique que le parcours des cycles s’arrˆ ete

`

a un moment donn´ e, mais potentiellement apr` es un tr` es grand nombre d’it´ erations.

L’exemple montre ´ egalement que la monotonie stricte de la fonction de retard ne suffit pas pour conclure ` a l’incoh´ erence en cas de d´ etection de cycle.

Une condition suffisante, satisfaite pour les STN clas- siques, est donn´ ee ci-dessous. Cette condition assure qu’un cycle ne devient pas “moins n´ egatif” au fur et ` a mesure de ses reparcours.

Proposition 8. Si un cycle de propagation est d´ etect´ e dans un TSTN, alors il suffit que toutes les contraintes temporelles t-simples du cycle soient ` a d´ ecalage mono- tone pour conclure que le TSTN est incoh´ erent.

Proposition 9. En particulier, (1) pour un TSTN

`

a d´ ecalage monotone, l’existence d’un cycle de propa- gation implique l’incoh´ erence du TSTN ; (2) pour un TSTN dont le graphe de distance ne contient aucun cycle impliquant une contrainte temporelle t-simple ` a d´ ecalage non monotone, l’existence d’un cycle de pro- pagation implique l’incoh´ erence du TSTN.

Dans l’application satellite agile qui motive ce tra-

vail, la fonction de distance minimale n’est pas mono-

tone, mais par contre le point 2 de la proposition 9

s’applique sur les cas d’´ etude trait´ es. D´ eduire une in-

coh´ erence suite ` a une d´ etection de cycle est dans ce cas

correct. Si aucune des conditions de la proposition 9

ne s’applique, plusieurs options sont envisageables. La

premi` ere consiste ` a ne pas inclure les contraintes tem- porelles ` a d´ ecalage non monotones dans les chaˆınes de propagation. La seconde, incorrecte dans le sens o` u elle peut conduire ` a des d´ etections d’incoh´ erence ` a tort, consiste ` a consid´ erer que le TSTN est incoh´ erent d` es qu’un cycle de propagation est d´ etect´ e.

En termes de complexit´ e, la proposition suivante g´ e- n´ eralise aux TSTN, et donc aux probl` emes de time- dependent scheduling, les r´ esultats de complexit´ e po- lynomiale disponibles sur les STN.

Proposition 10. L’algorithme utilisant propagation par arc-coh´ erence aux bornes et d´ etection de cycle sur un TSTN (V, C) ´ etablit l’arc-coh´ erence aux bornes en O(|V ||C|) r´ evisions de contraintes (borne ind´ epen- dante de la taille des domaines des variables).

Cˆ ot´ e impl´ ementation, la d´ etection de cycles de pro- pagation ` a la vol´ ee s’appuie sur une structure de don- n´ ee efficace [1] utilis´ ee pour maintenir des ordres to- pologiques dans les graphes de propagation des bornes min et max. L’existence de cycles dans ces graphes est en effet ´ equivalente ` a la non existence d’ordres topo- logiques des nœuds dans ces mˆ emes graphes.

3.3 D´ epropagation de contraintes

Les m´ ethodes de propagation de contraintes per- mettent directement de traiter le cas de l’ajout d’une contrainte au TSTN de d´ epart ou le cas du ren- forcement d’une contrainte. Concernant le retrait ou l’assouplissement d’une contrainte, il est possible de r´ eutiliser directement les strat´ egies d´ efinies dans [11]

pour les STN. Ces strat´ egies permettent de r´ etablir

`

a moindre coˆ ut les bornes min et max des variables temporelles. La technique de base consiste ` a suivre les chaˆınes de propagation pour savoir quels domaines de variables r´ einitialiser et quelles contraintes repro- pager. Lors du retrait ou d’un assouplissement d’une contrainte y − x ≥ dmin(x, y), si cette contrainte est active du point de vue de la borne min de y (resp. de la borne max de x), alors la borne min de y (resp. la borne max de x) est r´ einitialis´ ee ` a la va- leur qu’elle avait avant toute propagation. Cette r´ e- initialisation peut elle-mˆ eme d´ eclencher d’autres r´ e- initialisations. Les contraintes du TSTN de la forme y − z ≥ dmin(z, y) (resp. z − x ≥ dmin(x, z)) sont ajout´ ees ` a la liste des contraintes ` a propager du point de vue des bornes min (resp. max) des variables.

La seule diff´ erence par rapport ` a la litt´ erature STN est l’utilisation de listes de contraintes ` a propager (et non de variables), qui permet de faire une d´ epropaga- tion l´ eg` erement plus fine : sur l’exemple de r´ einitiali- sation de la borne min de y, la version classique STN ajoute ` a une liste des variables ` a propager toute va- riable z li´ ee ` a y par une contrainte y −z ≥ dmin(z, y),

et ce faisant repropage in fine toutes les contraintes de la forme u − z ≥ dmin(z, u), mˆ eme celles avec u 6= y.

3.4 Ordonnancement des r´ evisions de contraintes Nous utilisons une derni` ere technique dont le but est de minimiser le nombre de r´ evisions de contraintes. Cet objectif est int´ eressant pour les STN mais l’est d’au- tant plus pour les TSTN, pour lesquels le coˆ ut d’une r´ evision de contrainte peut ˆ etre significativement plus

´

elev´ e. L’approche propos´ ee reprend et ´ etend une tech- nique d´ evelopp´ ee pour les STN ⁻ [8], une sous-classe des STN dans laquelle les contraintes temporelles simples doivent pouvoir ˆ etre mises sous la forme y −x ≥ c avec c ≥ 0. L’id´ ee consiste ` a construire les composantes for- tement connexes du graphe de distance, ` a les ordonner suivant un ordre topologique, et ` a utiliser cet ordre topologique pour savoir dans quel ordre propager les contraintes. Nous rappelons tout d’abord la d´ efinition de la notion de composante fortement connexe.

D´ efinition 8. Soit G = (V, A) un graphe orient´ e, avec V l’ensemble des nœuds et A l’ensemble des arcs. Une composante fortement connexe de G (SCC, Strong Connected Component) est un sous-graphe G ⁰ maxi- mal de G tel qu’il existe dans G ⁰ un chemin de n’im- porte quel nœud ` a n’importe quel autre nœud.

Le DAG ( Directed Acyclic Graph) des SCCs de G est le graphe orient´ e dont les nœuds sont les SCCs de G et tel qu’il existe un arc d’un SCC c 1 vers un SCC c ₂ si et seulement si il existe dans G un arc d’un des sommets de c ₁ vers un des sommets de c ₂ .

Un ordre topologique des SCCs est un ordre tel que chaque SCC c est plac´ e dans cet ordre strictement apr` es chacun de ses parents c ⁰ dans le DAG des SCCs (c ⁰ ≺ c). Pour un nœud x du graphe de d´ epart G, on note scc(x) le SCC qui contient x.

Propager les contraintes temporelles en suivant un ordre topologique des SCCs du graphe de distance revient ` a utiliser le r´ esultat selon lequel r´ esoudre un probl` eme de plus court chemin dans un graphe acy- clique est plus facile que dans un graphe quelconque.

Pour appliquer ce r´ esultat, les contraintes ` a propa- ger sont ordonn´ ees suivant un ordre topologique des SCCs. Plus pr´ ecis´ ement, concernant la propagation des bornes min, on propage en priorit´ e les contraintes y − x ≥ dmin(x, y) avec scc(y) maximal au sens de l’ordre des SCCs, et en cas d’´ egalit´ e en privil´ egiant les contraintes telles que scc(x) 6= scc(y), pour repousser au maximum la propagation des contraintes internes

`

a un SCC. Pour la propagation des bornes max, les

contraintes sont ordonn´ ees par scc(x) croissant et en

cas d’´ egalit´ e en privil´ egiant les contraintes telles que

scc(y) 6= scc(x). Sur l’exemple de la figure 3, les SCCs

sont repr´ esent´ es en pointill´ es. Un mauvais ordre de

propagation des bornes min consisterait ` a propager d’abord la contrainte entre sa 2 et ea 1 puis celle entre sa 1 et ea 3 . Un bon ordre, coh´ erent avec l’ordre des SCCs, consisterait ` a faire l’inverse.

Par rapport ` a l’utilisation des SCCs faite dans [8]

pour les STN ⁻ , la m´ ethode propos´ ee est adapt´ ee non seulement aux STN g´ en´ eraux mais aussi aux TSTN.

Cˆ ot´ e impl´ ementation, pour ne pas recalculer le DAG des SCCs apr` es chaque ajout ou retrait de contrainte, nous utilisons des algorithmes adapt´ es au maintien dy- namique des SCCs [9, 17].

4 Exp´ erimentations

Les techniques propos´ ees pr´ ec´ edemment sont impl´ e- ment´ ees dans un outil d’ordonnancement fonctionnant

`

a base de recherche locale. Les mouvements locaux consistent en des modifications d’un ordonnancement courant. Ils se traduisent par des ajouts ou des re- traits de contraintes temporelles t-simples. Le cˆ ot´ e re- cherche locale implique qu’il est rapide de faire/d´ efaire un mouvement local, dans un esprit similaire aux ou- tils Comet [10] et LocalSolver [2]. Une diff´ erence par rapport aux outils classiques de recherche locale ` a base de contraintes est que dans le cas des TSTN, les va- riables temporelles ne sont pas instanci´ ees ` a une va- leur unique (on maintient pour chacune un intervalle de valeurs). L’outil de r´ esolution STN/TSTN est im- pl´ ement´ e en Java. Les r´ esultats sont obtenus sur un processeur Intel i5-520 1.2GHz, 4GBRAM.

Des exp´ erimentations non d´ etaill´ ees ici ont tout d’abord ´ et´ e r´ ealis´ ees sur des STN obtenus ` a partir de probl` emes d’ordonnancement de la SMT-LIB. L’objec- tif ´ etait de valider l’int´ erˆ et de l’heuristique de propa- gation bas´ ee sur un ordre topologique des SCCs. Cette heuristique se r´ ev` ele ˆ etre une strat´ egie robuste permet- tant, sur certains probl` emes, de gagner un ou plusieurs ordres de grandeur en termes de nombre de r´ evisions de contraintes. Plus pr´ ecis´ ement, sur des STN coh´ e- rents, cette heuristique est toujours au moins aussi bonne qu’une approche par gestion des contraintes ` a propager sous forme de liste FIFO ou LIFO. Sur des STN incoh´ erents, propager suivant l’ordre des SCCs n’est par contre pas toujours la strat´ egie qui ´ etablit le plus vite l’incoh´ erence.

Nous d´ etaillons ci-apr` es les exp´ erimentations r´ eali- s´ ees sur les TSTN dans le contexte satellites agiles. Le probl` eme consid´ er´ e est une simple contrainte de non chevauchement sur une s´ equence ordonn´ ee de n ac- quisitions acq ₁ → . . . → acq _n , avec n variant entre 5 et 13. Ces acquisitions correspondent ` a des zones au sol situ´ ees entre le nord le l’Espagne et le nord de la France. La contrainte de non chevauchement entre acquisitions s’exprime comme un ensemble de

contraintes temporelles t-simples de la forme s i+1 − e i ≥ tminbas(Eatt i (e i ), Satt i+1 (s i+1 )) avec, pour une acquisition j, s j /e j les dates de d´ ebut/fin de cette ac- quisition, et Satt j (t)/Eatt j (t) les attitudes n´ ecessaires pour enclencher/finir j ` a la date t. Sont ajout´ ees ` a cela des contraintes temporelles simples fixant une dur´ ee constante pour chaque prise de vue.

Deux m´ ethodes sont compar´ ees : d’un cˆ ot´ e une ap- proche TSTN avec prise en compte des temps de tran- sition exacts entre acquisitions, et de l’autre une ap- proche STN avec pr´ ecalcul de majorants sur les temps de transition. Les ordonnancements obtenus dans les deux cas sont flexibles dans le sens o` u la propagation sur les STN/TSTN fournit en sortie des variables tem- porelles dont le domaine ´ elagu´ e n’est en g´ en´ eral pas r´ eduit ` a une seule valeur possible. Le crit` ere ´ etudi´ e est la flexibilit´ e temporelle moyenne, mesur´ ee comme la moyenne sur l’ensemble des variables temporelles x de la diff´ erence entre date au plus tˆ ot et date au plus tard pour x. La flexibilit´ e temporelle est importante pour offrir le plus de latitude possible concernant le choix de l’angle de r´ ealisation d’une prise de vue, qui influence la qualit´ e image.

Trois sc´ enarios sont ´ etudi´ es. Dans le premier sc´ ena- rio, les acquisitions sont des bandes de longueur 80km environ, ` a observer avec un cap de 0 degr´ e, le cap cor- respondant ` a l’angle entre la trace au sol du satellite et la direction de balayage de la zone. La figure 4(a) montre que dans ce cas la flexibilit´ e temporelle obtenue avec les TSTN est ` a peine meilleure que celle obtenue avec des STN. La raison est que si toutes les prises de vue sont r´ ealis´ ees avec un cap de 0 degr´ e, les temps de transition minimaux entre prises de vue varient peu avec les dates d’enclenchement des transitions.

Dans le deuxi` eme sc´ enario, le cap de balayage des zones passe ` a 30 degr´ es. La figure 4(b) montre que la flexibilit´ e temporelle obtenue avec les TSTN est meilleure d’environ 20 secondes en moyenne, et que la diff´ erence de flexibilit´ e entre STN et TSTN croˆıt avec le nombre d’acquisitions planifi´ ees.

Dans le troisi` eme et dernier sc´ enario, la longueur des zones ` a balayer passe ` a 40km environ et le cap de balayage est choisi al´ eatoirement pour chaque zone.

Dans ce cas, l’approche STN ne permet de planifier que les s´ equences de longueur n = 5 et 6. Elle conclue

`

a une incoh´ erence du probl` eme pour n ≥ 7. A l’inverse,

l’approche TSTN permet de planifier l’ensemble des

13 acquisitions. Une des raisons est que plus les caps

de balayage sont distincts, plus les temps de transi-

tion minimaux entre prises de vue d´ ependent des dates

d’enclenchement des transitions. La possibilit´ e d’avoir

des caps de balayage distincts est importante en pra-

tique. Elle permet est effet, ´ etant donn´ e un polygone

au sol, de le d´ ecouper suivant des bandes dont l’orien-

20 40 60 80 100 120 140 160

5 6 7 8 9 10 11 12 13

time flexibility

nbAcqsPlanned flexTSTN_cap0

flexSTN_cap0

0 20 40 60 80 100 120

5 6 7 8 9 10 11 12 13

nbAcqsPlanned flexTSTN_cap30

flexSTN_cap30

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

5 6 7 8 9 10 11 12 13

nbAcqsPlanned flexTSTN_capRandom

flexSTN_capRandom

(a) (b) (c)

Figure 4 – Comparaison des flexibilit´ es temporelles moyennes, en secondes, obtenues avec l’utilisation de majorants pr´ ecalcul´ es sur les temps de transition (flexSTN) et avec les temps de transitions exacts (flexTSTN)

tation est libre, et donc potentiellement de r´ eduire le nombre de bandes ` a balayer.

Pour donner un ordre d’id´ ee des temps de calcul, pour 13 acquisitions ajout´ ees une ` a une au plan cou- rant, une pr´ ecision de une seconde sur les dates, et un nombre d’it´ erations ´ egal ` a 10 ⁴ pour la convergence des fonctions firstNeg et lastNeg, l’approche TSTN consomme en moyenne 2ms par ajout. Avec l’approche STN, le temps de calcul est inf´ erieur ` a 0.1ms par ajout.

Pour des pr´ ecisions de 10 ⁻¹ , 10 ⁻² , 10 ⁻³ et 10 ⁻⁴ se- conde sur les dates, les temps de calcul avec les TSTN passent respectivement ` a 3ms, 12ms, 66ms et 182ms par ajout. Une approche type peut consister ` a ´ etudier d’abord les diff´ erents ordonnancements possibles d’un point de vue gros grain puis ` a pr´ eciser les choses en utilisant une pr´ ecision plus fine.

En conclusion, ce papier a pr´ esent´ e les TSTN, leurs propri´ et´ es, des techniques de r´ esolution et une applica- tion ` a la gestion de satellites agiles. Il serait int´ eressant d’´ etudier d’autres propri´ et´ es de ce cadre et de tester l’approche sur d’autres applications.

R´ ef´ erences

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